7. MODELE ZACISKOWE UKŁADÓW ELEKTRYCZNCH

7.1. WIELOBIEGUNNIKI I ICH MODELE MATEMATYCZNE

Wielobiegunnikiem - zgodnie z klasyfikację elementów obwodu elektrycznego przeprowadzoną na podstawie kryterium liczby połączeń elementu z otoczeniem (liczba zacisków, końcówek, biegunów) - nazywamy element, którego liczba zacisków jest większa od 2 (m>2).

Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest para wielkości elektrycznych: I_k oraz U_k)., gdzie k oznacza kolejny numer bieguna (zacisku).

Napięcia zacisków wielobiegunnika odnosimy (określamy) względem dowolnie wybranego (nieokreślonego - w sensie niezdeterminowanego „a priorii”) zacisku odniesienia, usytuowanego w przestrzeni otaczającej wielobiegunnik. Sposób oznaczenia wielkości elektrycznych, zaciskowych m-biegunnika przedstawia rys.7.1.

Rys. 7.1.

Stan elektryczny wielobiegunnika jest jednoznacznie określony jeśli znane są wektory prądów i napięć zaciskowych definiowane w sposób następujący:

- macierz kolumnowa prądów zaciskowych (7.1)

- macierz kolumnowa napięć zaciskowych (7.2)

Postulat 1. Prądy zaciskowe każdego wielobiegunnika (traktowanego jako uogólniony węzeł elektryczny) spełniają - zgodnie z PPK - równanie:

(7.3)

Postulat 2. W każdym wielobiegunniku LINIOWYM, każdy prąd zaciskowy I_k jest funkcją liniową wszystkich napięć występujących pomiędzy wszystkimi parami zacisków wielobiegunnika, a zatem wszystkich napięć zaciskowych Ui dla i=1,2,...,m:

(7.4)

Postulat 2, w którym utożsamiono zależność funkcyjną od napięć międzyzaciskowych z zależnością od napięć zaciskowych wyjaśnia rys.7.2, na którym widnieje inny zacisk odniesienia O'.

Nowy wektor napięć zaciskowych spełnia zależność:

Napięcie między dowolną parą zacisków wielobiegunnika (np. między k oraz l) wyniesie:

wg rys. 7.1. U_kl=U_k-U_l

wg rys. 7.2. U_kl'=U_k'-U_l'=(U_k+U₀)-(U_l+U₀)=U_k-U_l=U_kl

7.2. MACIERZ ADMITANCYJNA m-biegunnika

Zakładamy, że wielobiegunnik nie jest układem zdegenerowanym, tzn. żadna para zacisków nie jest zwarta.

Drugi z postulatów sformułowanych pozwala na przedstawienie związku (7.4) w postaci m równań algebraicznych linowych:

(7.5)

Gdzie prąd I_k⁰ nazywany prądem zerowym jest szczególnym przypadkiem prądu I_k , a mianowicie

(7.6)

to znaczy, że prąd Ik^0 jest prądem k-tego zacisku wielobiegunnika, gdy wszystkie zaciski wielobiegunnika są połączone bezpośrednio z węzłem odniesienia - rys.7.3. Zatem wektor prądów zerowych (7.7) posiada, zgodnie z postulatem 1, następującą właściwość (wynikającą z (7.5), po

założeniu zerowych wartości napięć zaciskowych: U_k=0, k=1,2,...,m):

(7.8)

Analizując wektor prądów zerowych można wyodrębnić dwa przypadki:

1. I⁰ = 0 (7.9)

Macierz prądów zerowych jest macierzą zerową, tzn. po zwarciu wszystkich zacisków wielobiegunnika wszystkie prądy zerowe przyjmują wartość zerową. Wielobiegunnik spełniający warunek (7.9) nazywamy WIELOBIEGUNNIKIEM NIEGENERUJąCYM.

Oznacza to, że w wewnętrznej strukturze wielobiegunnika nie występują nieskompensowane źródła energii i wielobiegunnik zachowuje się jak układ pasywny.

2. I⁰ ≠ 0 (7.10)

Macierz prądów zerowych nie jest macierzą zerową, tzn. co najmniej dwa elementy tej macierzy są różne od zera - równanie (7.8). Wielobiegunnik spełniający powyższy warunek nazywamy WIELOBIEGUNNIKIEM SAMOGENERUJąCYM.

Oznacza to, że w wewnętrznej strukturze wielobiegunnika występują nieskompensowane źródła energii i wielobiegunnik zachowuje się jak układ aktywny.

Występujące w równaniach (7.5) współczynniki y_kl mają wymiar admitancji. Macierz tych współczynników (o wymiarze mm) oznaczamy symbolem Y

(7.11)

i nazywamy ADMITANCYJNą MACIERZą NIEOKREśLONą WIELOBIEGUNNIKA.

W oparciu o (7.1), (7.2), (7.7) i (7.11) można zapisać równania (7.5) w postaci macierzowej

I = YU + I⁰ (7.12)

dla wielobiegunnika samogenerującego, bądź uwzględniając (7.9), w postaci

I = YU (7.13)

dla wielobiegunnika niegenerującego.

Układ równań 7.5 pozwala na określenie dowolnego elementu macierzy admitancyjnej.

Np. element y11 wyniesie: ilustruje to rys.7.4.

Zatem dowolny element y_ij określony jest związkiem:

(7.14)

UWAGA:

• suma wszystkich elementów każdej kolumny macierzy admitancyjnej nieokreślonej jest równa zeru.

• suma wszystkich elementów każdego wiersza macierzy admitancyjnej nieokreślonej jest równa zeru.

7.3. CZWÓRNIKI ELEKTRYCZNE

7.3.1. WIELOBIEGUNNIK A WIELOWROTNIK I CZWÓRNIK

Definicja 1.

Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n) zgrupowanych w n par

i dla każdej pary zacisków zachodzi związek

(7.15)

to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";

- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć zaciskowych tworzących tę bramę;

- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM bądź WIELOBRAMNIKIEM.

Definicja 2.

Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.

Wyodrębnienie z klasy wielobiegunników wielowrotników a z ich zbioru czwórników ilustruje rys.7.5.

Rys.7.5.

Każdy wielowrotnik a zatem i czwórnik można opisać wektorem napięć i prądów związanych z jego wrotami i tak:

dla wielowrotnika

,
(7.16)

dla czwórnika

,
(7.17)

Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik jak na rys.7.6.

Rys.7.6.

Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:

• stan jałowy - gdy prąd danej bramy jest równy zeru

(I₁=0 lub I₂=0)

• stan zwarcia - gdy napięcie danej bramy jest równe zeru

(U₁=0 lub U₂=0)

7.3.2. PODSTAWOWE RÓWNANIA CZWÓRNIKA

Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą wielkości charakteryzujące warunki jego pracy, a więc prąd i napięcie wejściowe ( I₁, U₁) oraz wyjściowe (I₂, U₂).

Ze względu na to, którą dwójkę z czterech wielkości elektrycznych wrót czwórnika przyjmiemy jako zmienne niezależne możemy sformułować sześć związków liniowych pomiędzy tymi wielkościami.

1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA

(7.18)

lub w postaci macierzowej

(7.19)

gdzie Y nazywamy macierzą admitancyjną czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (7.18) przedstawia rys.7.7.

Rys.7.7.

Elementami macierzy admitancyjnej są w ogólnym przypadku liczby zespolone - można je wyznaczyć z układu równań 7.18 w granicznych stanach pracy czwórnika:

2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA

(7.20)

lub w postaci macierzowej

(7.21)

gdzie Z nazywamy macierzą impedancyjną czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (7.20) przedstawia rys.7.8.

Rys.7.8.

Elementami macierzy impedancyjnej są w ogólnym przypadku liczby zespolone mające wymiar impedancji [Ω]. Można je wyznaczyć z równań 7.20 analogicznie jak poprzednio:

	impedancja wejściowa-jałowa, tzn. impedancja "widziana" od strony bramy wejściowej przy rozwartej (stan jałowy) bramie wyjściowej.
	impedancja wyjściowa-jałowa, tzn. impedancja "widziana" od strony bramy wyjściowej przy rozwartej (stan jałowy) bramie wejściowej.
	odpowiednie transmitancje napięciowo-prądowe stanu jałowego, np.: z12- stosunek napięcia na rozwartej bramie wejściowej do prądu bramy wyjściowej, do której dołączony jest sygnał wymuszający (następuje transmisja sygnału przez czwórnik od wyjścia do wejścia).

3. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE CZWÓRNIKA

Równaniami łańcuchowymi opisujemy czwórnik wówczas, gdy znana jest para wielkości elektrycznych związanych z jedną bramą a poszukujemy wielkości elektrycznych związanych z drugą bramą.

W tym przypadku znamy [U₂, I₂] - wówczas równania mają postać

(7.22)

lub w postaci macierzowej

(7.23)

gdzie A nazywamy macierzą łańcuchową czwórnika, a jej elementy parametrami łańcuchowymi czwórnika.

	Parametr bezwymiarowy będący odwrotnością transmitancji napięciowej czwórnika w stanie rozwarcia strony wtórnej.
	Parametr posiadający wymiar impedancji, będący odwrotnością transmitancji prądowo-napięciowej w stanie zwarcia strony wtórnej.
	Parametr posiadający wymiar admitancji, będący odwrotnością transmitancji napięciowo-prądowej w stanie rozwarcia strony wtórnej.
	Parametr bezwymiarowy będący odwrotnością transmitancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia strony wtórnej.

4. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

Jeśli znane są wielkości [U₁, I₁] a poszukujemy [U₂, I₂], to równania typu (7.22) przyjmują postać

(7.24)

lub w postaci macierzowej

(7.25)

gdzie B nazywamy macierzą łańcuchową odwrotną czwórnika.

	Parametr bezwymiarowy będący transmitancją napięciową czwórnika w stanie rozwarcia strony pierwotnej.
	Parametr posiadający wymiar impedancji, równy transmitancji napięciowo-prądowej w stanie zwarcia strony pierwotnej.
	Parametr posiadający wymiar admitancji, będący transmitancją prądowo-napięciową w stanie rozwarcia strony pierwotnej.
	Parametr bezwymiarowy równy transmitancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia strony pierwotnej.

5. RÓWNANIA HYBRYDOWE (szeregowo-równoległe)

Jeżeli napięcie wejściowe U₁ oraz prąd wyjściowy I₂ uzależnimy od I₁ oraz U₂, to otrzymamy równania hybrydowe czwórnika:

(7.26)

lub w postaci macierzowej

(7.27)

gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (7.26) przedstawia rys.7.9.

Rys.7.9.

	Impedancja strony pierwotnej czwórnika w stanie zwarcia strony wtórnej.
	Parametr bezwymiarowy będący odwrotnością transmitancji napięciowej czwórnika w stanie rozwarcia strony pierwotnej.
	Parametr bezwymiarowy równy transmitancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia strony wtórnej.
	Admitancja strony wtórnej czwórnika w stanie rozwarcia strony pierwotnej.

6. RÓWNANIA HYBRYDOWE ODWROTNE (równoległo-szeregowe)

(7.28)

lub w postaci macierzowej

(7.29)

gdzie G nazywamy macierzą hybrydową odwrotną czwórnika.

Równaniom (7.28) odpowiada model obwodowy czwórnika przedstawiony na rys.7.10.

Rys.7.10.

	Admitancja strony pierwotnej czwórnika w stanie rozwarcia strony wtórnej.
	Parametr bezwymiarowy będący odwrotnością transmitancji prądowej czwórnika w stanie zwarcia strony pierwotnej.
	Parametr bezwymiarowy równy transmitancji napięciowej czwórnika w stanie rozwarcia strony wtórnej.
	Impedancja strony wtórnej czwórnika w stanie zwarcia strony pierwotnej.

PRZYKŁAD 1: Wyznaczyć parametry łańcuchowe czwórnika.

Dane: Z1=j10Ω, Z2=5Ω, Z3=j10Ω.

Równania łańcuchowe (7.22):

Wprowadzamy

z dzielnika prądu:

• 
  ponieważ jest to czwórnik symetryczny

- 14 -

- 15 -

---