5. OBWODY PRĄDU HARMONICZNEGO

5.1. ZWIĄZKI POMIĘDZY NAPIĘCIEM I PRĄDEM
DLA ELEMENTÓW R, L, C

• REZYSTOR

Przy przepływie prądu harmonicznego

(5.1)

przez rezystor o rezystancji R, na jego zaciskach pojawi się napięcie

(5.2)

przy czym amplituda przebiegu napięcia

(5.3)

a faza początkowa

(5.4)

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) wynosi zero (rys.5.1):

(5.5)

Rys.5.1	Napięcie na idealnym rezystorze jest w fazie z prądem

W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Symboliczna wartość chwilowa prądu

(5.6)

napięcia

(5.7)

Zatem

(5.8)

co oznacza, że

(5.9)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

(5.10)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (5.10) znajdujemy

(5.11)

a z przyrównania argumentów
(5.12)

Pomnożenie wskazu I przez R powoduje wydłużenie tego wskazu R razy. Wobec tego wskaz napięcia znajduje się na tej samej prostej co wskaz I (rys.5.2)

Rys.5.2. Wykres wskazowy rezystora

• CEWKA INDUKCYJNA

W punkcie 1.7 stwierdziliśmy, że przy przepływie prądu w cewce idealnej o indukcyjności L, napięcie na jej zaciskach wyraża zależność (1.25)

Przyjmując, że w cewce płynie prąd harmoniczny

(5.13)

napięcie na cewce wynosi

(5.14)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu napięcia

(5.15)

natomiast faza początkowa
(5.16)

Czyli przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) cewki indukcyjnej wynosi (rys.5.3):

(5.17)

Rys.5.3	Napięcie na zaciskach idealnej cewki wyprzedza prąd o 90^o

Dla cewki indukcyjnej - symboliczna wartość chwilowa prądu

(5.18)

napięcia

(5.19)

Zatem

(5.20)

co oznacza, że

(5.21)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

(5.22)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (5.22) znajdujemy

(5.23)

reaktancja indukcyjna

susceptancja indukcyjna

a z przyrównania argumentów
(5.24)

Pomnożenie wskazu I przez jωL powoduje wydłużenie wskazu I i jego obrót o 90^o „w przód” (rys.5.4)

Rys.5.4. Wykres wskazowy cewki

• KONDENSATOR

W punkcie 1.7 stwierdziliśmy, że gdy istnieje napięcie u(t) na zaciskach idealnego kondensatora o pojemności C, to prąd płynący przez kondensator opisuje zależność (1.19)

Przyjmując, że na zaciskach kondensatora występuje napięcie

(5.25)

to prąd płynący przez kondensator wynosi

(5.26)

Z powyższej zależności wynika, że amplituda przebiegu prądu

(5.27)

natomiast faza początkowa
(5.28)

Zatem przesunięcie fazowe ϕ między przebiegami u(t) i i(t) kondensatora wynosi (rys.5.5):

(5.29)

Rys.5.5	Prąd płynący przez idealny kondensator wyprzedza napięcie o 90^o

Dla kondensatora - symboliczna wartość chwilowa napięcia

(5.30)

prądu

(5.31)

Zatem

(5.32)

co oznacza, że

(5.33)

Przedstawiając symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

(5.34)

Z przyrównania modułów w wyrażeniu (5.34) znajdujemy

(5.35)

susceptancja pojemnościowa

reaktancja pojemnościowa

a z przyrównania argumentów
(5.36)

Pomnożenie wskazu I przez 1/jωC powoduje wydłużenie wskazu I i jego obrót o 90^o „wstecz” (rys.5.6)

Rys.5.6. Wykres wskazowy kondensatora

5.2. PODSTAWOWE PRAWA W POSTACI ZESPOLONEJ

Prawo Ohma

Symboliczna wartość skuteczna napięcia U dwójnika równa się iloczynowi impedancji dwójnika Z i wartości skutecznej prądu I w nim płynącego:

(5.37)

Impedancja (opór zespolony) Z charakteryzuje przewodnictwo elektryczne dwójnika przy przepływie prądu sinusoidalnego.

Podstawiając w (5.37) symboliczne wartości skuteczne w postaci wykładniczej, otrzymujemy

(5.38)

czyli:
(5.39)

Zatem

(5.40)

rezystancja

reaktancja

Impedancję Z można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (rys.5.7) za pomocą trójkąta impedancji.

Rys.5.7.

Prawo Ohma można także przedstawić następująco:

Symboliczna wartość skuteczna prądu I płynącego przez dwójnik równa się iloczynowi admitancji dwójnika Y i wartości skutecznej napięcia U na jego zaciskach:

(5.41)

Admitancja (przewodność zespolona - jej jednostką jest simens S) dwójnika równa się odwrotności jego impedancji:

(5.42)

co oznacza, że

(5.43)

czyli:
(5.44)

Zatem

(5.45)

konduktancja

susceptancja

Admitancję Y można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (rys.5.8) za pomocą trójkąta admitancji.

Rys.5.8.

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK)

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych prądów i_n(t) we wszystkich gałęziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu, jest w każdej chwili czasu równa zeru:

(5.46)

gdzie: λ_k = ±1 („+” jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; „-” jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (5.46a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (5.46b) odpowiednich prądów:

(5.46a)

(5.46b)

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK)

Algebraiczna suma symbolicznych wartości chwilowych napięć u_n(t) na wszystkich elementach, tworzących dowolnie wybrane oczko obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

(5.47)

gdzie: ν_k = ±1 („+” jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kierunkiem obiegu oczka; „-” jeśli jest przeciwny)

Jest ono także słuszne dla symbolicznych amplitud (5.47a) oraz symbolicznych wartości skutecznych (5.47b) odpowiednich napięć:

(5.47a)

(5.47b)

5.3. POŁĄCZENIA DWÓJNIKÓW

• Połączenie szeregowe n dwójników (rys.5.9)

Rys. 5.9.

(5.48)

(5.49)

• Połączenie równoległe n dwójników (rys.5.10)

Rys. 5.10.

(5.50)

(5.51)

5.4. POŁĄCZENIA ELEMENTÓW R, L, C

Obwód szeregowy RLC

Rysunek 5.11. przedstawia połączenie szeregowe idealnego rezystora R, idealnej cewki indukcyjnej L i idealnego kondensatora C.

Rys. 5.11.

	Wartość
	napięcia na elemencie	impedancji elementu
R
L
C

Ponieważ

(5.52)

Zatem:

(5.53)

(5.54)

Obwód równoległy RLC (Rys. 5.12)

Rys. 5.12.

	Wartość
	prądu w elemencie	admitancji elementu
R
L
C

Ponieważ

(5.56)

Zatem:

(5.57)

(5.58)

5.5. TWIERDZENIE THEVENINA I NORTONA W POSTACI SYMBOLICZNEJ

Twierdzenie Thevenina

(o zastępczym źródle/generatorze napięciowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia (rys.5.13) o napięciu źródłowym U₀ i impedancji wewnętrznej Z_W, przy czym:

- napięcie źródłowe U₀ jest równe napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika (napięciu stanu jałowego U_SJ)

- impedancja wewnętrzna Z_W, jest równa impedancji zastępczej (impedancji wejściowej Z_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych źródeł napięcia zwarciami, a idealnych źródeł prądowych rozwarciami).

Rys.5.13

Twierdzenie Nortona

(o zastępczym źródle/generatorze prądowym)

Dowolny aktywny dwójnik klasy SLS można zastąpić obwodem równoważnym, złożonym z równoległego połączenia idealnego źródła prądu (rys.5.14.) o prądzie źródłowym I_Z i admitancji wewnętrznej Y_W, przy czym:

- prąd źródłowy I_Z jest równy prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika (prądowi stanu zwarcia I_SZ)

- admitancja wewnętrzna Y_W, jest równa admitancji zastępczej (admitancji wejściowej Y_AB) dwójnika pasywnego (bezźródłowego), otrzymanego po wyzerowaniu w wewnętrznej strukturze dwójnika aktywnego wszystkich autonomicznych źródeł energii (zastąpieniu idealnych źródeł napięcia zwarciami, a idealnych źródeł prądowych rozwarciami).

Rys.5.14

5.6. MOC W OBWODACH PRĄDU HARMONICZNEGO

Jeśli na zaciskach układu klasy SLS występuje wymuszenie harmoniczne napięciowe, to prąd zmienia się również sinusoidalnie z tą samą pulsacją:

Moc chwilowa pobierana przez analizowany układ wyniesie zatem

(5.59)

Na podstawie tożsamości
, powyższą zależność zapiszemy w postaci

(5.60)

a ponieważ
oraz

ostatecznie otrzymamy (rys.5.15)

(5.61)

rys.5.15

Wartość średnią mocy p(t) można określić, uwzględniając jej okresowość, jako:

(5.62)

Tę wartość średnią w obwodach prądu harmonicznego nazywamy

MOCĄ CZYNNĄ i oznaczamy przez P

[W] (5.63)

W obwodach prądu harmonicznego iloczyn wartości skutecznych napięcia i prądu nazywamy

MOCĄ POZORNĄ i oznaczamy przez S

[VA] (5.64)

Istnieje ponadto pojęcie

MOCY BIERNEJ oznaczanej symbolem Q

[var]

(5.65)

ZESPOLONĄ MOCĄ POZORNĄ nazywamy wielkość

(5.66)

Podstawiając
oraz
otrzymujemy

(5.67)

Część rzeczywista zespolonej mocy pozornej jest równa mocy czynnej P, a część urojona mocy biernej Q układu, czyli:

(5.68)

Wobec tego zespoloną moc pozorną można przedstawić w postaci:

(5.67)

Moduł zespolonej mocy pozornej

(5.68)

jest równy mocy pozornej układu

a argument zespolonej mocy pozornej

(5.69)

kątowi przesunięcia fazowego między napięciem i prądem

Zespoloną moc pozorną S można przedstawić geometrycznie na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (rys.5.16) za pomocą trójkąta mocy.

Rys.5.16.

Wyrazimy zespoloną moc pozorną w zależności od impedancji Z dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

czyli

wobec czego
(5.70)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

(5.71)

a moc pozorna jest równa

(5.72)

Natomiast zespolona moc pozorna w zależności od admitancji Y dwójnika.

Na podstawie prawa Ohma mamy:

Wartość sprzężoną I^* otrzymamy, zastępując wszystkie wielkości występujące w tym wzorze przez wielkości sprzężone.

Zatem

wobec czego
(5.73)

Moc czynna i bierna wynoszą zatem

(5.74)

a moc pozorna jest równa

(5.75)

DOPASOWANIE OBCIĄŻENIA DO ŹRÓDŁA

Mówiąc o dopasowaniu, mamy najczęściej na myśli warunek uzyskania maksymalnej mocy czynnej użytecznej.

Dwójnik źródłowy z impedancją obciążenia

Impedancja obciążenia ma postać:

(5.76)

lub jako admitancja:

(5.77)

Moc czynną wydzieloną na obciążeniu określają relacje

(5.78)

Dokonajmy przekształceń ostatniego równania:

=
(5.79)

(5.80)

Moc użyteczna jest więc funkcją dwóch parametrów obciążenia: R i X. Wyznaczmy pochodne cząstkowe:

(5.81)

Funkcja (5.80) ma ekstremum (max) w punkcie, dla którego jest spełniony układ równań:

(5.82)

co sprowadza się do warunku:

(5.83)

Warunek dopasowania ze względu ma maksymalną moc czynną ma więc postać:

(5.84)

Impedancja (admitancja) obciążenia musi być równa impedancji (admitancji) sprzężonej do impedancji (admitancji) źródła.

W takim przypadku w obciążeniu wydziela się maksymalna moc czynna oraz przesyłania mocy przy dopasowaniu wyniosą:

(5.85-6)

- 20 -

- 19 -

---