6. MODELE ZACISKOWE UKŁADÓW ELEKTRYCZNCH

6.1. WIELOBIEGUNNIKI I ICH MODELE MATEMATYCZNE

Wielobiegunnikiem nazywamy element, którego liczba zacisków jest większa od 2 (m>2).

Z każdym zaciskiem wielobiegunnika związana jest para wielkości elektrycznych: I_k oraz U_k)., gdzie k oznacza kolejny numer bieguna (zacisku).

Napięcia zacisków wielobiegunnika odnosimy względem dowolnie wybranego (nieokreślonego - w sensie niezdeterminowanego a priori) zacisku odniesienia, usytuowanego w przestrzeni otaczającej wielobiegunnik. Sposób oznaczenia wielkości elektrycznych, zaciskowych m-biegunnika przedstawia rys.6.1.

Rys. 6.1.

Stan elektryczny wielobiegunnika jest jednoznacznie określony jeśli znane są wektory prądów i napięć zaciskowych definiowane w sposób następujący:

- macierz kolumnowa prądów zaciskowych (6.1)

- macierz kolumnowa napięć zaciskowych (6.2)

Postulat 1. Prądy zaciskowe każdego wielobiegunnika (traktowanego jako uogólniony węzeł elektryczny) spełniają - zgodnie z PPK - równanie:

(6.3)

Postulat 2. W każdym wielobiegunniku LINIOWYM, każdy prąd zaciskowy I_k jest funkcją liniową wszystkich napięć występujących pomiędzy wszystkimi parami zacisków wielobiegunnika, a zatem wszystkich napięć zaciskowych Ui dla i=1,2,...,m:

(6.4)

Postulat 2, w którym utożsamiono zależność funkcyjną od napięć międzyzaciskowych z zależnością od napięć zaciskowych wyjaśnia rys.6.2, na którym widnieje inny zacisk odniesienia O'.

Nowy wektor napięć zaciskowych spełnia zależność:

Napięcie między dowolną parą zacisków wielobiegunnika (np. między k oraz l) wyniesie:

wg rys. 6.1. U_kl=U_k-U_l

wg rys. 6.2. U_kl'=U_k'-U_l'=(U_k+U₀)-(U_l+U₀)=U_k-U_l=U_kl

6.2. MACIERZ ADMITANCYJNA m-biegunnika

Zakładamy, że wielobiegunnik nie jest układem zdegenerowanym, tzn. żadna para zacisków nie jest zwarta.

Drugi ze sformułowanych postulatów pozwala na przedstawienie związku (6.4) w postaci m równań algebraicznych linowych:

(6.5)

Gdzie prąd I_k⁰ nazywany prądem zerowym jest szczególnym przypadkiem prądu I_k a mianowicie

(6.6)

to znaczy, że prąd Ik^0 jest prądem k-tego zacisku wielobiegunnika, gdy wszystkie zaciski wielobiegunnika są połączone bezpośrednio z węzłem odniesienia Zatem wektor prądów zerowych (6.7) posiada, zgodnie z postulatem 1, następującą właściwość, po założeniu zerowych wartości napięć zaciskowych: Uk=0, k=1,2,...,m):

(6.8)

Analizując wektor prądów zerowych można wyodrębnić dwa przypadki:

1. I⁰ = 0 (6.9)

Macierz prądów zerowych jest macierzą zerową, tzn. po zwarciu wszystkich zacisków wielobiegunnika wszystkie prądy zerowe przyjmują wartość zerową. Wielobiegunnik spełniający warunek (6.9) nazywamy WIELOBIEGUNNIKIEM NIEGENERUJąCYM.

(wielobiegunnik zachowuje się jak układ pasywny)

2. I⁰ ≠ 0 (6.10)

Macierz prądów zerowych nie jest macierzą zerową, tzn. co najmniej dwa elementy tej macierzy są różne od zera - równanie (6.8). Wielobiegunnik spełniający powyższy warunek nazywamy WIELOBIEGUNNIKIEM SAMOGENERUJąCYM.

(wielobiegunnik zachowuje się jak układ aktywny)

Występujące w równaniach (6.5) współczynniki y_kl mają wymiar admitancji. Macierz tych współczynników (o wymiarze mm) oznaczamy symbolem Y

(6.11)

i nazywamy ADMITANCYJNą MACIERZą NIEOKREśLONą WIELOBIEGUNNIKA.

W oparciu o (6.1), (6.2), (6.7) i (6.11) można zapisać równania (6.5) w postaci macierzowej

I = YU + I⁰ (6.12)

dla wielobiegunnika samogenerującego, bądź uwzględniając (6.9), w postaci

I = YU (6.13)

dla wielobiegunnika niegenerującego.

Układ równań 6.5 pozwala na określenie dowolnego elementu macierzy admitancyjnej.

Np. element y11 wyniesie: ilustruje to rys.6.4.

Zatem dowolny element y_ij określony jest związkiem:

(6.14)

UWAGA:

• suma wszystkich elementów każdej kolumny macierzy admitancyjnej nieokreślonej jest równa zeru.

• suma wszystkich elementów każdego wiersza macierzy admitancyjnej nieokreślonej jest równa zeru.

6.3. CZWÓRNIKI ELEKTRYCZNE

6.3.1. WIELOBIEGUNNIK A WIELOWROTNIK I CZWÓRNIK

Definicja1.

Jeśli: wielobiegunnik posiada parzystą liczbę zacisków (tzn. m=2n) zgrupowanych w n par

i dla każdej pary zacisków zachodzi związek (warunek regularności)

(6.15)

to: - każdą tak określoną parę zacisków nazywamy "bramą", "wrotami";

- napięcie na bramie określone jest odpowiednią różnicą napięć zaciskowych tworzących tę bramę;

- wielobiegunnik nazywamy wówczas WIELOWROTNIKIEM bądź WIELOBRAMNIKIEM.

Definicja 2.

Czwórnikiem (dwubramnikiem, dwuwrotnikiem) nazywamy wielowrotnik, dla którego 2n=4, czyli n=2.

Wyodrębnienie z klasy wielobiegunników wielowrotników a z ich zbioru czwórników

Każdy wielowrotnik a zatem i czwórnik można opisać wektorem napięć i prądów związanych z jego wrotami i tak:

dla wielowrotnika

,
(6.16)

dla czwórnika

,
(6.17)

Przyjęte założenia pozwalają przedstawić czwórnik następująco

Para zacisków 1-1' - wrota pierwotne

2-2' - wrota wtórne

Granicznymi stanami pracy każdej z bram są:

• stan jałowy - gdy prąd danej bramy jest równy zeru

(I₁=0 lub I₂=0)

• stan zwarcia - gdy napięcie danej bramy jest równe zeru

(U₁=0 lub U₂=0)

6.3.2. PODSTAWOWE RÓWNANIA (ZACISKOWE) CZWÓRNIKA

Równaniami czwórnika nazywamy zależności wiążące ze sobą WIELKOŚCI ZACISKOWE, a więc prąd i napięcie wejściowe (I₁, U₁) oraz prąd i napięcie wyjściowe (I₂, U₂).

Spośród czterech wielkości zaciskowych tylko dwie mogą być przyjęte jako niezależne, a dwie pozostałe jako zależne. Para wielkości niezależnych może być wybrana na sześć różnych sposobów, czwórnik można zatem opisać jednym z sześciu rodzajów równań zaciskowych.

	Para wielkości zaciskowych		RODZAJ RÓWNAŃ
		ZALEŻNYCH		NIEZALEŻNYCH
1.	I1, I2	U1, U2	ADMITANCYJNE
2.	U1, U2	I1, I2	IMPEDANCYJNE
3.	U1, I2	I1, U2	HYBRYDOWE
4.	I1, U2	U1, I2	HYBRYDOWE ODWROTNE
5.	U1, I1	U2, I2	ŁAŃCUCHOWE
6.	U2, I12	U1, I1	ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

1. RÓWNANIA ADMITANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są napięcia: pierwotne U₁ oraz wtórne U₂. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia czwórnika

gdzie:

Zatem równania admitancyjne czwórnika otrzymuje się jako:

(6.18)

(6.18)

lub w postaci macierzowej

(6.19)

Elementy macierzy admitancyjnej Y nazywamy parametrami admitancyjnymi czwórnika - można je wyznaczyć z układu równań 6.18 (jako stosunki prądów zaciskowych do napięć zaciskowych przy zwarciu jednej z par zacisków):

admitancja dwójnika 1-1' (od P)	admitancja wzajemna od W do P
admitancja wzajemna od P do W	admitancja dwójnika 2-2' (od W)

Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (6.18/19)

2. RÓWNANIA IMPEDANCYJNE CZWÓRNIKA

Przyjmujemy, że wielkościami niezależnymi są prądy I₁ oraz I₂. Odpowiada to następującemu sposobowi pobudzenia czwórnika

gdzie:

Zatem równania impedancyjne czwórnika otrzymuje się jako:

(6.20)

lub w postaci macierzowej

(6.21)

gdzie Z nazywamy macierzą impedancyjną czwórnika.

Elementami macierzy impedancyjnej (parametrami impedancyjny-mi) są w ogólnym przypadku liczby zespolone mające wymiar impedancji [Ω]. Można je wyznaczyć z równań 6.20 jako stosunki napięć zaciskowych do prądów zaciskowych przy rozwarciu jednej z par zacisków:

impedancja dwójnika 1-1' (od P) impedancja wejściowa pierwotna rozwarciowa	impedancja wzajemna od W do P
impedancja wzajemna od P do W	impedancja dwójnika 2-2' (od W) impedancja wejściowa wtórna rozwarciowa

Model obwodowy (schemat zastępczy) czwórnika dla równań (6.20/21)

3. RÓWNANIA HYBRYDOWE (szeregowo-równoległe)

Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest prąd pierwotny I₁ oraz napięcie wtórne U₂ - otrzymamy równania hybrydowe (mieszane) czwórnika:

(6.22)

lub w postaci macierzowej

(6.23)

gdzie H nazywamy macierzą hybrydową czwórnika.

Model obwodowy czwórnika dla równań (6.22)

[Ω]	[-]
[-]	[S]

4. RÓWNANIA HYBRYDOWE ODWROTNE (równoległo-szeregowe)

Jeśli przyjmiemy, że wielkościami niezależnymi jest napięcie pierwotne U₁ oraz prąd wtórny I₂ - otrzymamy równania hybrydowe odwrotne (mieszane odwrotne) czwórnika:

(6.24)

lub w postaci macierzowej

(6.25)

gdzie G nazywamy macierzą hybrydową odwrotną czwórnika.

Schemat zastępczy czwórnika

[S]	[-]
[-]	[Ω]

5. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE CZWÓRNIKA

Równaniami łańcuchowymi opisujemy czwórnik wówczas, gdy znana jest para wielkości elektrycznych związanych z bramą wtórną [U₂, I₂] a poszukujemy wielkości elektrycznych związanych z bramą pierwotną [U₁, I₁].

(6.26)

lub w postaci macierzowej

(6.27)

gdzie A nazywamy macierzą łańcuchową czwórnika a jej elementy parametrami łańcuchowymi czwórnika (są one stosunkami wielkości zaciskowych pierwotnych do wtórnych, określonymi przy rozwarciu lub zwarciu zacisków wtórnych)

[-]	[Ω]
[S]	[-]

6. RÓWNANIA ŁAŃCUCHOWE ODWROTNE

Jeśli znane są wielkości związane z bramą pierwotną [U₁, I₁] a poszukujemy związanych z bramą wtórną [U₂, I₂], to równania typu (6.26) przyjmują postać

(6.28)

lub w zapisie macierzowym

(6.29)

gdzie B nazywamy macierzą łańcuchową odwrotną czwórnika a jej elementy parametrami łańcuchowymi odwrotnymi czwórnika (są one stosunkami wielkości zaciskowych wtórnych do pierwotnych, określonymi przy rozwarciu lub zwarciu zacisków pierwotnych)

[-]	[Ω]
[S]	[-]

PRZYKŁAD 1: Wyznaczyć parametry łańcuchowe czwórnika.

Dane: Z1=j10Ω, Z2=5Ω, Z3=j10Ω.

Równania łańcuchowe (6.26):

Wprowadzamy

z dzielnika prądu:

• 
  

- 18 -

- 17 -

---