Przyrosty absolutne i względne (1)

Najprostszym sposobem porównywania zmian zjawiska w czasie jest analiza przyrostów absolutnych i względnych.

Przyrosty absolutne mogą być obliczane w stosunku do:

- jednego okresu

a) przyjmując wielkość zjawiska w okresie t* = l za podstawę, mamy:

y₂ - y₁, ... , y_n-1 - y₁ , y_n - y₁

b) przyjmując wielkość zjawiska w okresie t* = k za podstawę, mamy:

y₁ - y_k, y₂ - y_k, ... , y_n-1 - y_k, y_n - y_k

a zatem możemy zapisać:

Δ_t/k = y_t - y_k; t = 1, 2, ..., n

- stale zmieniającego się okresu bazowego, tzn.

y₂ - y₁, ... , y_n-1 - y_n-2 , y_n - y_n-1

czyli:

Δ_t/t-1 = y_t - y_t-1; t = 2, 3, ..., n

Przyrosty absolutne i względne (2)

Przyrosty absolutne informują, o ile wzrósł (zmalał) poziom zjawiska w okresie badanym w porównaniu z jego poziomem w okresie bazowym. Są to wielkości mianowane, wyrażone w takich samych jednostkach miary jak badane zjawisko.

Przyrostem względnym nazywamy stosunek przyrostu absolutnego zjawiska do jego poziomu w okresie bazowym. Bywa on także określany wskaźnikiem tempa przyrostu.

Przyrosty względne można więc przedstawić w postaci jednopodstawowej:

lub łańcuchowej:

Jeśli przyrosty względne lub pomnożymy przez 100, to otrzymamy procentowe przyrosty względne, zwane tempem zmian (tempem przyrostu lub obniżki).

Tempo zmian informuje, o ile procent poziom zjawiska w danym okresie jest wyższy (niższy) od poziomu w okresie przyjętym za podstawę porównań.

Indywidualne indeksy dynamiki (1)

Przez indeksy dynamiki rozumiemy mierniki określające stosunek wielkości zjawiska w dwóch różnych okresach. Indeksy dynamiki mogą dotyczyć zjawisk jednorodnych opisanych pojedynczym szeregiem czasowym. Indeksy takie noszą nazwę indywidualnych indeksów dynamiki. Przyjmując okres podstawowy t* = l i okres badany t = n, jednopodstawowe indeksy indywidualne oznaczać będziemy symbolem i_n/1, a łańcuchowe i_n/n-1; przy czym:

Indeksy mogą być wyrażone w liczbach dziesiętnych lub (po pomnożeniu przez 100) w procentach. Interpretując indeksy zawsze będziemy je wyrażać w procentach.

Jeżeli indeks jest mniejszy od l (0 < i < l lub 0% < i [%] < 100%), świadczy to o spadku zjawiska (np. i_n/1 = 0,98 oznacza spadek poziomu zjawiska w okresie badanym o 2% w stosunku do okresu podstawowego); jeśli i > l, oznacza to wzrost poziomu zjawiska w okresie badanym, a jeśli i = l, oznacza to, że zjawisko pozostało na tym samym poziomie.

Indywidualne indeksy dynamiki (2)

Średnie tempo zmian zjawiska w czasie wyznacza się za pomocą średniej geometrycznej indeksów łańcuchowych. Średnia geometryczna indeksów łańcuchowych ma postać:

a w postaci logarytmicznej:

Średniookresowe tempo zmian w badanych n okresach oblicza się jako różnicę:

lub w wyrażeniu procentowym:

Taki sposób obliczania średniego tempa zmian w badanych okresach ma tę wadę, że zupełnie pomija wartości zawarte między skrajnymi wyrazami szeregu, co w efekcie może prowadzić do błędnego oszacowania przeciętnego tempa zmian.

Stopa wzrostu

Średnie tempo zmian jest określane także mianem stopy wzrostu i oznaczane literą r. Przyjmując, że średnie tempo jest stałe we wszystkich badanych okresach, wielkość zjawiska w momencie n można wyznaczyć znając początkową wartość zjawiska z wzoru:

stąd wyrażenie:

Powyższe wyrażenie jest wykorzystywane do określenia przyszłej wartości pieniądza przy stałej stopie procentowej (np. wartości zainwestowanego kapitału po n latach przy założeniu rocznej kapitalizacji odsetek).

Zamiana indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe

• Jeśli dane są indeksy jednopodstawowe (t* = 1), to można je zamienić na indeksy łańcuchowe. Ogólna zasada jest następująca: należy podzielić indeksy jednopodstawowe zgodne z wzorem:

Jeśli dane są indeksy łańcuchowe, to indeksy jednopodstawowe wyznaczamy zgodnie z zasadą:

— gdy za podstawę przyjmujemy pierwszy okres badania t* = l (lub t* = 0), to mnożąc indeksy łańcuchowe otrzymujemy:

— gdy za podstawę przyjmuje się okres inny niż pierwszy w szeregu czasowym, np. t* = k (tzn. i_k/k = 1), wówczas dla n > k postępujemy zgodnie z wzorem

a dla n < k (np. n = l, a k = 4) otrzymamy:

Indeks płacy realnej

Indeks płacy realnej wyznacza się jako stosunek indeksu płacy nominalnej do indeksu cen towarów i usług. Indeks cen towarów i usług jest traktowany jako podstawowy wskaźnik inflacji.

Indeksy indywidualne znajdują szerokie zastosowanie w analizach ekonomicznych. Szczególne znaczenie w analizach mają indywidualne indeksy ilości, cen i wartości różnych produktów (spożywanych, produkowanych). Określają one zmiany wartości, ilości i cen w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego dla każdego produktu odrębnie.

Indywidualne indeksy cen, ilości i wartości oznaczymy następująco:

przy czym p_n i p₀ oznaczają ceny artykułu, q_n i q₀ ilości, a w_n i w₀ wartości odpowiednio w okresach badanym i bazowym. Są to więc jednopodstawowe indeksy indywidualne (t* = 0). Do indeksów tych odnoszą się więc wszystkie omówione poprzednio zasady.

Łatwo zauważyć, że: w₀ = p₀ q₀, a w_n = p_n q_n oraz

i_w = i_pi_ą

Powyższa relacja określana jest mianem równości indeksowej.

Agregatowe indeksy dynamiki wielkości absolutnych

W praktyce badań ekonomicznych bywa konieczne obliczenie indeksów dynamiki zespołu zjawisk (np. wyznaczenie dynamiki produkcji niejednorodnych (niesumowalnych) produktów). Indeksy stosowane w takich przypadkach noszą nazwę indeksów agregatowych.

Agregatowy indeks cen formuły Laspeyresa:

Agregatowy indeks cen formuły Laspeyresa można traktować jako średnią arytmetyczną wartości indywidualnych indeksów cen, przyjmując wyrażenie
jako wagi.

Agregatowy indeks cen formuły Paaschego:

można traktować jako średnią harmoniczną wartości indeksów indywidualnych, przyjmując wyrażenie
jako wagi.

Agregatowe indeksy cen

Agregatowe indeksy cen obrazują dynamikę zmian wartości zespołu badanych jednostek (np. artykułów) na skutek zmian cen.

Jednocześnie są one średnimi indeksów indywidualnych, a wiec informują o przeciętnych zmianach cen poszczególnych składników w obu rozpatrywanych okresach. Występująca czasami ozbieżność wielkości obu obliczonych indeksów jest spowodowana tym, że korzysta się w tych dwóch przypadkach z różnej struktury ilości (różnych wag).

Przeprowadzając analogiczną analizę można wyznaczyć agregatowe indeksy ilości obrazujące zmiany wartości ustalonego zespołu jednostek na skutek zmian ilości.

Agregatowy indeks ilości formuły Laspeyresa _LI_q jest postaci:

Agregatowy indeks ilości formuły Paaschego _Pl_q:

Agregatowy indeks wartości

Tak jak poprzednio, można zapisać agregatowe indeksy ilości jako odpowiednie średnie indywidualnych indeksów ilości i_q. Indeksy te informują więc również o przeciętnym indywidualnym indeksie ilości.

Indeks określający, jak zmieniły się koszty w dwóch porównywanych okresach ze względu na zmiany w strukturze cen i ilości łącznie określa się jako tzw. agregatowy indeks wartości l_w:

Między zdefiniowanymi wyżej indeksami istnieje związek określany mianem równości indeksowej:

I_w = _PI_p ·_LI_q = _PI_q ·_LI_p

Agregatowe indeksy dynamiki wielkości stosunkowych

Odrębną grupą indeksów agregatowych są indeksy wielkości stosunkowych wyznaczane dla różnego rodzaju wskaźników natężenia. W badaniu dynamiki tych wskaźników należy uwzględniać wpływ tych zmiennych i ich struktury na dynamikę badanych zjawisk. Dla wskaźników natężenia zachodzą zależności typu

Porównując ilorazy w dwóch okresach otrzymujemy indywidualny indeks wielkości stosunkowych:

oraz zespołowy indeks o zmiennej strukturze, zwany indeksem wszechstronnym, wyrażający zmiany w ogólnym poziomie zmiennej
, spowodowane równocześnie zmianami cząstkowych poziomów zmiennych x i z:

Przykład. Załóżmy, że dysponujemy danymi o funduszu płac i zatrud­nieniu w dwóch zakładach przedsiębiorstwa. Analizując dynamikę przeciętnych płac w dwóch okresach musimy uwzględnić zarówno zmiany w strukturze zatrudnienia, jak i zmiany w wysokości zarobków.

Zakład	Okres podstawowy			Okres badany
		Fundusz płac (w tys. zł) x0j	Zatrud­nienie zoj	Przecięt­na płaca (w tys. zł) y0j	Fundusz płac (w tys. zł) xnj	Zatrud­nienie znj	Przecięt­na płaca (w tys. zł) ynj
I II	240 20	60 10	4 2	336 300	70 120	4,8 2,5
Razem	260	70	3,71	636	190	3,35

Przeciętna płaca w przedsiębiorstwie (y) została obliczona jako stosunek funduszu płac (x) do zatrudnienia (z).

Indeks przeciętnej płacy, tzw. indeks wszechstronny — przy założeniu, że dysponujemy informacjami o funduszu płac i zatrudnieniu — można wyznaczyć z wzoru:

jak również wykorzystując obliczone średnie:

Na indeks wszechstronny wywierają wpływ zarówno zmiany w poziomie indywidualnych wskaźników charakteryzujących poszczególne elementy należące do agregatu, jak i zmiany w strukturze tego zespołu. Dla wyodrębnienia wpływu poszczególnych elementów i ich struktury wykorzystuje się odpowiednie indeksy formuły Laspeyresa i Paaschego.

Indeksy o stałej strukturze eliminujące wpływ zmian w strukturze agregatu (odpowiednio Laspeyresa i Paaschego) określa się wzorami:

Indeksy wpływu zmian strukturalnych Laspeyresa i Paaschego:

Indeksy te charakteryzują zmiany dynamiki agregatu, gdyby nie było zmian w indywidualnych poziomach zmian zjawiska, a jedynie w strukturze agregatu. Między przedstawionymi indeksami zachodzą następujące związki:

Przykład. Wracając do poprzedniego przykładu: rozpatrując dynamikę płac przeciętnych odrębnie w każdym zakładzie mamy indeksy dynamiki przeciętnych płac:

• dla zakładu I równy:

(nastąpił wzrost przeciętnej płacy w okresie badanym o 20%);

• dla zakładu II

(a więc wzrost o 25% przeciętnej płacy).

Jednocześnie w całym przedsiębiorstwie nastąpił spadek dynamiki przecięt­nych płac o 10%.

Tabela: Dane do przykładu

Zakład	y0jznj	ynjz0j
I II	280 240	288 25
Razem	520	313

Indeksy o stałej strukturze są następujące:

Przy założeniu stałego poziomu i struktury zatrudnienia z okresu pod­stawowego (indeks formuły Laspeyresa) płaca w przedsiębiorstwie wzrosła­by w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego o 20,4%, a gdyby przyjąć niezmienne zatrudnienie, ale o poziomie i strukturze z okresu badanego (indeks Paaschego), wzrost ten wynosiłby 22,3% (por. poprz. tab.).

Indeksy wpływu zmian strukturalnych wyznaczone na podstawie danych są następujące:

Gdyby przyjąć średnie płace w obu zakładach na poziomie okresu pod­stawowego, to ogólna przeciętna płaca w przedsiębiorstwie w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego byłaby o 26,3% niższa tylko na skutek zmian w strukturze zatrudnienia. Gdyby przyjąć średnie płace z okresu badanego, wówczas spadek wynosiłby 25,1%.

Uwagi:

• W zasadzie (jeśli dane statystyczne pozwalają) powinno się obliczać in­deksy obydwu formuł, bowiem wyznaczają one przedział zmian w dynamice badanego zjawiska, jakkolwiek do oceny zmian w strukturze ilości zaleca się stosowanie indeksu formuły Laspeyresa, a w strukturze cen indeksu formuły Paaschego.

• Powszechnie znanymi przykładami indeksów agregatowych są indeksy kosztów utrzymania i inflacji, na których podstawie oblicza się płacę minimalną, zasiłek dla bezrobotnych (a także wielkości emerytur i rent), jak również indeksy giełdowe.

Metody wygładzania szeregu czasowego

Do najczęściej stosowanych metod eliminacji wahań i wyodrębniania tenden­cji rozwojowej należą:

— metoda mechaniczna, wykorzystująca średnie ruchome,

— metoda analityczna, która polega na dopasowaniu odpowiedniej funkcji do danych szeregu czasowego.

Stosując metodę średnich ruchomych doprowadzamy do wygładzenia szeregu czasowego przez częściowe eliminowanie wahań zarówno okresowych, jak i przypadkowych.

Jeżeli kolejne wartości szeregu czasowego oznaczymy jako:

to średnią ruchomą z nieparzystej liczby okresów, np. z trzech okresów (k = 3) wyznacza się tak:

Średnią ruchomą dla parzystej liczby okresów, np. z czterech (k — 4), tzw. średnią scentrowaną oblicza się następująco:

W podobny sposób można obliczyć średnią z innych okresów, przy czym przyporządkowanie otrzymanej średniej przypada zawsze na okres środ­kowy. Wygładzając szereg metodą średnich ruchomych otrzymujemy szereg skrócony;
np. dla średnich z trzech okresów o pierwszą i ostatnią wartość dla średniej scentrowanej z czterech okresów o cztery wartości (dwie na początku i dwie na końcu).

W przypadku wygładzania analitycznego należy oszacować parametry funkcji trendu. W dalszym ciągu ograniczymy rozważania do liniowej funkcji trendu postaci:

gdzie: t - jest zmienną czasową, natomiast a i b oznaczają parametry funkcji trendu.

Jak widać, liniowe równanie trendu można rozpatrywać jako równanie regresji, w którym zmienną niezależną jest czas podany w postaci kolejnych numerów okresów. Do wyznaczenia parametrów trendu można więc wykorzystać poznane wcześniej wzory, zmienną niezależną x zastępując w nich zmienną czasową t.

Parametr a liniowej funkcji trendu można oszacować także za pomocą wzoru:

a — oznacza okresowe tempo wzrostu (a > 0) lub ubytku (a < 0) wiel­kości badanego zjawiska;

b — oznacza stan zjawiska w okresie wyjściowym (tzn. dla t = 0).

Przykład 12.6. Korzystając z danych miesięcznych o produkcji wyrobu A zawartych w tabeli (na następnej stronie) wyznaczymy średnie ruchome oraz oszacujemy paramet­ry trendu liniowego produkcji. Z rysunków

wynika, że funkcja produkcji ma trend liniowy.

W trzeciej kolumnie tabeli podane są wartości średniej ruchomej z trzech okresów wyznaczone za pomocą podanego wyżej wzoru.

Graficznym obrazem tendencji rozwojowej produkcji w poszczególnych mie­siącach jest także prosta przedstawiona na rysunku po prawej stronie.

Obliczenia pomocnicze do wyznaczenia parametrów prostej (trendu liniowego) przedstawia tabela na poprzedniej stronie. Pod­stawiając odpowiednie wartości do wzorów na parametry liniowej funkcji trendu otrzymujemy:

Równanie trendu produkcji ma postać:

Z powyższej funkcji trendu wynika, że w badanym okresie produkcja wzrastała miesięcznie średnio o 12,52 ton, w miesiącu zaś poprzedzającym pierwszy badany wynosiła 68,64 t.

Do badania zgodności danych empirycznych z danymi teoretycznymi (tzn. z danymi wynikającymi z funkcji trendu) wykorzystaliśmy średni błąd resztowy i współczynnik zbieżności:

Współczynnik zmienności resztowej z próby równa się:

Odchylenia przypadkowe równania trendu stanowią średnio 7,7% przeciętnego poziomu zaobserwowanej zmienności produkcji

Małe odchylenie standardowe składnika resztowego oraz niski współczynnik zbieżności wskazują, że funkcja trendu dobrze opisuje produkcję w badanym okresie.

Przykład. Przyjmijmy, że dane miesięczne dotyczące produkcji obejmują okres od sierpnia 1993 r. do lipca 1994 roku. Na podstawie równania trendu skonstruujemy prognozę na wrzesień 1994 roku.

Do najprostszych metod prognozowania należy ekstrapolacja funkcji trendu.

Wstawiając do równania trendu t = 14 (wrzesień jest 14 okresem w szeregu), otrzymamy prognozę produkcji:

Jeśli tendencja rozwojowa zjawiska nie ulegnie zmianie, można sądzić, że przy takim tempie wzrostu we wrześniu produkcja wyniesie 243,92 ton.

Możemy teraz postawić pytanie: jakie będzie zużycie surowca przy takiej wielkości produkcji? Wykorzystując równanie zużycia surowca wyznaczone w rozdziale 11 (por. wzór (11.8)) i wstawiając do niego
₁₄ = 243,92 otrzymamy:

Oznacza to, że średnio należałoby na taką produkcję zaplanować 82,574 kg surowca.

Analiza wahań okresowych

Do obliczania wskaźnika wahań okresowych (tzw. wskaźnika okresowości, sezonowości) wykorzystuje się wartości: szeregu czasowego empirycznego oraz szeregu wygładzonego metodą mechaniczną bądź metodą analityczną. Załóżmy, że szereg czasowy wykazuje wahania okresowe i że w każdym cyklu jest k faz wahań.

Ogólna zasada konstrukcji wskaźnika wahań okresowych polega na:

1) wygładzeniu szeregu czasowego metodą mechaniczną (z k okresów) lub analityczną;

2) uwolnieniu szeregu czasowego od trendu — w tym celu należy podzielić wyrazy szeregu empirycznego przez odpowiadające im wyrazy szeregu wygładzonego

przy czym otrzymane w ten sposób wartości w_t zawierają wahania okresowe i przypadkowe;

3) eliminacji wahań przypadkowych z wielkości w_t; dla jednoimiennych okresów (tj. okresów pochodzących z tej samej fazy wahań) obliczamy średnie arytmetyczne z wyrazów w_t;

Otrzymane w ten sposób wartości, które oznaczymy symbolem c_t', nazywamy surowymi wskaźnikami wahań okresowych, tzn.:

przy czym: s oznacza liczbę jednoimiennych okresów, a k liczbę faz wahań w cyklu; surowe wskaźniki wahań informują, o ile procent poziom zjawiska w danej fazie cyklu jest wyższy (niższy) od poziomu, jaki byłby osiągnięty, gdyby nie było wahań, a rozwój następował zgodnie z trendem;

4) obliczeniu czystych wskaźników wahań okresowych (zwanych też oczyszczonymi wskaźnikami okresowości); surowe wskaźniki wahań okresowych dzieli się przez średnią arytmetyczną wskaźników surowych; suma tak otrzymanych wskaźników równa jest liczbie faz wahań.

Uwaga. Jeżeli analizowane zjawisko charakteryzuje się stałymi bezwzględnymi wahaniami, wówczas w punkcie drugim zamiast dzielenia stosuje się odejmowanie wyrazów szeregu wygładzonego od wyrazów szeregu empirycznego, tzn. w_t = y_t -
;

t = 1, 2, ..., n. Pozostałe punkty pozostają bez zmian.

W celu zilustrowania metody wyznaczania wskaźników wahań okresowych rozpatrzymy następujący przykład:

Przykład. Przyjmijmy, że produkcja piwa w jednym z browarów kształtowała się zgodnie z danymi przedstawionymi w tabeli. (produkcja piwa w tys. hl)

Na podstawie danych kwartalnych sporządzono wykres szeregu czasowego. Na podstawie wzrokowej oceny prezentowanego szeregu można zauważyć, że trend produkcji piwa jest rosnący. Ponadto widać, że produkcja piwa wykazuje kwartalne wahania sezonowe (cztery fazy wahań występują w cyklu rocznym).

W celu wyznaczenia kwartalnych wskaźników sezonowości należy więc:

a. Wygładzić szereg empiryczny

Stosując metodę analityczną wyznaczymy parametry równania trendu. W omawianym przykładzie będzie to trend liniowy. Wykorzystując podane wyżej wzory otrzymano następujące parametry trendu:

Równanie trendu ma postać:

Obliczenia pomocnicze do wyznaczenia trendu i wahań sezonowych

Interpretując współczynnik trendu można powiedzieć, że przeciętny kwartalny wzrost produkcji piwa wynosił 0,441 tys. hl. W kwartale poprzedzającym pierwszy badany produkcja piwa kształtowała się na poziomie 3,636 tys. hl.

Wykorzystując do wygładzenia szeregu empirycznego metodę mechaniczną należy obliczyć średnie ruchome scentrowane z czterech okresów. Średnie te zostały przedstawione w tabeli. Takie wygładzenie, jakkolwiek bardzo proste, ma pewne wady, a mianowicie otrzymuje się szereg skrócony (o cztery wartości, patrz rys. 12b), nie ma też możliwości przedstawienia trendu w formie funkcji matematycznej.

b. Uwolnić wyrazy szeregu od trendu

Dzielimy wyrazy szeregu empirycznego przez odpowiadające im wyrazy szeregu wygładzonego (por. w tabeli kolumnę 7 dla trendu liniowego lub 9 dla średniej ruchomej). Otrzymane wartości w_t (t = 1, 2,..., n) nie zawierają trendu kryją natomiast wahania sezonowe i przypadkowe.

c. Obliczyć surowe wskaźniki sezonowości c'_t

Wahania przypadkowe z otrzymanych wielkości w_t można częściowo wyeliminować. W tym celu obliczamy średnie arytmetyczne z wyrazów w_t dla tej samej fazy wahań. W naszym przykładzie obliczamy średnie dla czterech kwartałów.

Surowe wskaźniki wahań dla poszczególnych kwartałów uzyskane metodą analityczną są następujące (obliczenia pomocnicze prezentuje tabela):

Dane pomocnicze do wyznaczenia wskaźników sezonowości metodą analityczną

Analogicznie uzyskuje się surowe wskaźniki wahań metodą mechaniczną, przy czym w takim razie liczba okresów jednoimiennych wynosi dwa.

Dane pomocnicze do wyznaczenia wskaźników sezonowości metodą mechaniczną

d. Obliczyć czyste wskaźniki sezonowości c_t

Suma wskaźników sezonowości w naszym przykładzie powinna wynosić 4 (bowiem występują cztery fazy wahań). Suma surowych wskaźników otrzymanych w punkcie c) wynosi 3,993.

Aby skorygować surowe wskaźniki, należy podzielić je przez ich średnią arytmetyczną obliczoną następująco:

zatem:

Otrzymane wskaźniki należy interpretować następująco: w I kwartale każdego roku na skutek działania składnika okresowego produkcja piwa jest niższa od przeciętnej kwartalnej o 30,6%, w drugim kwartale jest niższa o 5,3%, natomiast w trzecim jest wyższa średnio o 50,8%; w ostatnim jest ponownie niższa o 14,9%.

Średnia arytmetyczna surowych wskaźników sezonowości otrzymanych metodą mechaniczną wynosi 1,0159.

Wartości skorygowanych wskaźników sezonowości otrzymane za pomocą obu metod przedstawia tabela.

Czyste wskaźniki wahań okresowych

Znając kształtowanie się wskaźników sezonowości można korygować prognozy uzyskane metodą ekstrapolacji funkcji trendu. Sposób obliczenia prognozy ilustruje następny przykład.

Przykład. Zakładając, że utrzyma się wzrostowa tendencja produkcji piwa, należy oszacować, jaka będzie produkcja w kolejnych kwartałach 1996 roku.

Prognozy punktowe wyznaczone na podstawie równania trendu:

dla kolejnych okresów roku 1996, a więc dla t = 13, 14, 15, 16, są następujące:

dla I kwartału 1996: y₁₃ = 0,441 x 13 + 3,636 = 9,369;

dla II kwartału 1996: y_l4 = 0,441 x 14 + 3,636 = 9,81;

dla III kwartału 1996: y₁₅ - 0,441 x 15 + 3,636 = 10,251;

dla IV kwartału 1996: y₁₆ = 0,441 x 16 + 3,636 = 10,692.

Przyjmując jednak, że wahania sezonowe będą wpływać na produkcję piwa podobnie jak w latach poprzednich, należy pomnożyć otrzymane prognozy punktowe przez odpowiednie wskaźniki sezonowości:

Wyznaczenie przewidywanej produkcji piwa w 1996 r. (w tys. hl)

Łączna produkcja piwa zgodnie z prognozą punktową wynosi 40,122 tys. hl, natomiast po uwzględnieniu wskaźników sezonowości ta produkcja wynosiłaby 40,35 tys. hl. Jest to spowodowane błędami zaokrągleń. Wobec tego można ponownie skorygować otrzymane wartości mnożąc przez współczynnik korygujący:

Statystyka 7/16

gdzie:

---