Metody probabilistyczne i statystyka

Laboratorium 9 i laboratorium 10

EF DI2

rok akademicki 2012/13

Korelacja i regresja

Materiały opracowane z wykorzystaniem między innymi następujących źródeł:

[1] Ostasiewicz S., Rusnak Z., Siedlecka U.: Statystyka. Elementy teorii i zadania. Wydawn. Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 2006.

[2] M. Sobczyk: Statystyka, PWN, Warszawa, 2007.

[3] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. I, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa 2002.

[4] W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, cz. II, Statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 2002.

[5] J. Kisielińska, U. Skórnik - Pokrowska: Podstawy statystyki, Wydawnictwo SGGW, Warszawa 2005.

[6] M. Piłatowska: Repetytorium ze statystyki, Wydawnictwo Naukowe PWN , Warszawa 2009

[7] Z. Hellwig, Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995

Metody analizy współzależności zjawisk masowych

W dotychczasowej tematyce uwaga skupiona była na wydobyciu pewnej prawidłowości występującej w zbiorowości statystycznej badanej ze względu na jedną cechę oraz na jej uogólnieniu na całą populację generalną jednowymiarową. Prawidłowości statystyczne mają swoje przyczyny. W związku z tym dla poznania całokształtu badanego zjawiska konieczna jest jednoczesna analiza z punktu widzenia dwóch lub kilku cech, które pozostają we wzajemnym związku.

Badaniem zależności między kilkoma cechami zajmuje się analiza współzależności (lub analiza korelacji regresji), a uogólnieniem zależności na populację dwuwymiarową lub wielowymiarową - wnioskowanie statystyczne w zakresie korelacji i regresji.

Synteza tych zagadnień przedstawiona jest na tzw. mapie „mentalnej” .

Mapa mentalna „Analiza zależności zjawisk” [6]

Prezentowane dotychczas metody statystyczne dotyczyły analizy struktury zbiorowości i opierały się na obserwacjach jednej zmiennej (cechy). Tymczasem jednostki tworzące zbiorowość charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą więcej niż jednej cechy. Cechy te nie są od siebie odizolowane, ale wzajemnie się warunkują. Zachodzi zatem potrzeba ich łącznego badania. Celem tego rodzaju analizy jest stwierdzenie, czy między badanymi zmiennymi zachodzą jakieś zależności, jaka jest ich siła, jaki jest ich kształt i kierunek.

Współzależność między zmiennymi może być:

- funkcyjna

- stochastyczna.

Istota zależności funkcyjnej polega na tym, że zmiana wartości jednej zmiennej (zmiennej niezależnej inaczej objaśniającej) powoduje ściśle określoną zmianę drugiej zmiennej (zmiennej zależnej inaczej objaśnianej).

Zależność stochastyczna występuje wtedy, gdy wraz ze zmianą jednej zmiennej zmienia się rozkład prawdopodobieństwa drugiej zmiennej. Szczególnym przypadkiem zależności stochastycznej jest zależność korelacyjna (statystyczna) [2]. Polega ona na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej.

Badanie związków korelacyjnych ma sens jedynie wtedy, gdy między zmiennymi istnieje więź przyczynowo-skutkowa, dająca się logicznie wytłumaczyć. Analiza związków między zjawiskami powinna zawsze być dwukierunkowa: jakościowa i ilościowa. Najpierw na podstawie analizy merytorycznej należy uzasadnić logiczne wystąpienie związku, a dopiero potem można przystąpić do określenia siły i kierunku zależności.

O badaniu związku korelacyjnego można mówić tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna zmienna jest mierzalna. W celu określenia stopnia zależności między badanymi zmiennymi można posłużyć się współczynnikiem korelacji lub funkcją regresji.

Współczynnik korelacji jest miernikiem siły zależności między badanymi zmiennymi.

W wyniku analizy regresji można odpowiedzieć na pytanie, jakiej zmiany średniej wartości zmiennej zależnej należy oczekiwać, przy zmianie o jednostkę wartości zmiennej niezależnej.

1. Proste sposoby stwierdzania zależności korelacyjnej

Diagram korelacyjny (wykres rozrzutu) sporządzamy w prostokątnym układzie współrzędnych, odkładając na osiach wartości badanych zmiennych. Na osi odciętych zaznaczamy wartości tej zmiennej, którą przyjmujemy za niezależną (objaśniającą), wyrażającą ilościowo zjawisko traktowane jako przyczyna, natomiast na osi rzędnych wartości tej zmiennej, którą przyjmujemy jako zależną (objaśnianą), wyrażającą ilościowo zjawisko uznane za skutek.

Przez obserwacje wykresów rozrzutu można wydedukować z jakim rodzajem zależności mamy do czynienia. Na wykresie o numerze 1 przedstawiono zależność dodatnią (o dosyć mocnej sile). Dodatni związek oznacza, że wzrostowi wyników na jednej zmiennej towarzyszy WZROST wyników na drugiej zmiennej. Jest to diagram korelacji liniowej dodatniej

Na wykresie 2 przedstawiono zależność ujemną (również o dosyć mocnej sile). Ujemny związek oznacza, że wzrostowi wyników na jednej zmiennej towarzyszy SPADEK wyników na drugiej zmiennej. Jest to diagram korelacji liniowej ujemnej.

Diagram korelacyjny może przedstawiać też korelację krzywoliniową (wykres nr 4) lub wskazywać na brak korelacji (wykres nr 3).

Wykres rozrzutu służy jedynie oszacowaniu istnienia pewnej zależności, ale dla stwierdzenia istotnej zależności należy przeprowadzić obliczenia statystyczne.

Tablice korelacyjne sporządzamy w przypadku gdy próba jest liczna. Na skrzyżowaniu kolumn z wierszami wpisywane są liczebności jednostek zbiorowości statystycznej, dla których zaobserwowano jednoczesne występowanie określonej wartości x_i i y_j.

	y1	y2	…	yj	…	yr
x1	n11	n12	…	n1j	…	n1r	n1•
x2	n21	n22	…	n2j	…	n2r	n2•
…	…	…	…	…	…	…	…
xi	ni1	ni2	…	nij	…	…	ni•
…	…	…	…	…	…	…	…
xk	nk1	nk2	…	nkj	…	nkr	nk•
	n•1	n•2	…	n•j	…	n•r	n

Zmienna losowa X przyjmuje k wariantów (i= 1,2 …k), zmienna losowa Y zaś r wariantów (r= 1, 2, …r). Symbol n_•j oznacza liczbę jednostek, które maja wariant y_j zmiennej Y, natomiast symbol n_i• - liczbę jednostek, które mają wariant x_i zmiennej X. Symbole n_ij oznaczają liczbę jednostek, które posiadają jednocześnie wariant x_i zmiennej X i wariant y_j zmiennej Y. Symbol n oznacza liczebność próby.

Zamiast liczebności absolutnej można podawać liczebności względne:
. Jeżeli zmienne X i Y są zmiennymi ciągłymi, to wartości x_i i y_j w tablicy korelacyjnej są środkami przedziałów klasowych [6].

W tablicy korelacyjnej są dwa rodzaje rozkładów: brzegowe i warunkowe. Rozkład brzegowy prezentuje strukturę wartości jednej zmiennej (X lub Y) bez względu na kształtowanie się wartości drugiej zmiennej. Rozkład brzegowy zmiennej X tworzy pierwsza i ostatnia kolumna tablicy, a rozkład brzegowy zmiennej Y - pierwszy i ostatni wiersz. Rozkład warunkowy prezentuje strukturę wartości jednej zmiennej (X lub Y), pod warunkiem, że druga zmienna przyjęła określoną wartość.

Miary rozkładów w tablicy korelacyjnej

Średnie arytmetyczne rozkładów brzegowych:

,

Średnie arytmetyczne rozkładów warunkowych:

,

Wariancje rozkładów warunkowych zmiennej X:

Wariancja ogólna zmiennej X:

Wariancje rozkładów warunkowych zmiennej Y:

Wariancja ogólna zmiennej Y:

Ocena korelacji za pomocą tablicy korelacyjnej

Cecha X jest stochastycznie niezależna od cechy Y, jeżeli spełnione są jednocześnie następujące warunki:

i

Cecha Y jest stochastycznie niezależna od cechy X, jeżeli spełnione są jednocześnie następujące warunki:

i

Cechy stochastycznie niezależne są również niezależne korelacyjnie, ale nie na odwrót.

Liniowość związku można ocenić na podstawie różnicy między średnimi warunkowymi danej zmiennej, obliczonymi dla konkretnych wariantów drugiej zmiennej. Związek jest liniowy, jeżeli różnice między średnimi są takie same, tzn:

,

Siłę, kierunek i kształt związku korelacyjnego można również stwierdzić wstępnie na podstawie oceny stopnia skupienia lub rozproszenia liczebności n_ij w tablicy korelacyjnej. Gdy warianty zmiennych X i Y ułożone są w tablicy rosnąco, to skupienie liczebności wzdłuż przekątnej od lewego górnego rogu do prawego dolnego rogu świadczy o istnieniu dodatniej korelacji prostoliniowej. Odwrotny układ liczebności (od prawego górnego do lewego dolnego rogu tablicy) sugeruje istnienie ujemnej korelacji prostoliniowej.

1. Test niezależności χ² (chi-kwadrat)

Badanie współzależności ma sens jedynie wówczas, gdy pomiędzy zmiennymi występują powiązania typu stochastycznego lub co najmniej korelacyjnego.

Badanie niezależności stochastycznej oparte na równości średnich warunkowych i wariancji warunkowych jest możliwe tylko w przypadku cech mierzalnych.

W praktyce badań statystycznych spotykamy się również z koniecznością oceny niezależności stochastycznej cech niemierzalnych.

W takich przypadkach weryfikację hipotezy o niezależności zmiennych umożliwia test niezależności chi-kwadrat.

Test chi-kwadrat jest stosowany w przypadku konieczności oceny niezależności statystycznej cech niemierzalnych.

Gdy przedmiotem badania jest populacja generalna scharakteryzowana za pomocą dwóch cech jakościowych, to z populacji tej należy wylosować dużą próbę o liczebności n elementów i wyniki tej próby sklasyfikować w tzw. tablicę niezależności o r wierszach i k kolumnach (tablica korelacyjna). Tablica niezależności jest podstawą weryfikacji nieparametrycznej hipotezy zerowej, głoszącej, że n-elementowa próba losowa pochodzi z takiej zbiorowości generalnej, w której występuje stochastyczna niezależność zmiennych losowych X i Y.

Hipoteza zerowa:

H₀:
lub H₀: cechy X i Y są niezależne

Hipoteza alternatywna:

H₁:
lub H₁: cechy X i Y nie są niezależne,

Gdzie symbol E jest operatorem nadziei matematycznej (wartości oczekiwanej), a
są liczebnościami teoretycznymi z tablicy niezależności, spełniającymi warunek stochastycznej niezależności zmiennych losowych X i Y.

Do weryfikacji hipotezy zerowej stosuje się statystykę:

gdzie liczebność teoretyczna oblicza się z zależności:

Prawostronny obszar krytyczny w tym teście określa nierówność:
, gdzie
jest wartością krytyczną odczytaną z tablicy rozkładu
dla ustalonego z góry poziomu istotności α i dla
stopni swobody w taki sposób, aby zachodziła relacja:
. W przypadku gdy
, hipotezę zerową o stochastycznej niezależności zmiennych losowych X i Y odrzucamy, czyli badanie związków korelacyjnych jest istotne.

Natomiast jeśli
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej o stochastycznej niezależności zmiennych losowych X i Y, czyli badanie związków korelacyjnych jest nieistotne.

2. Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Najważniejszym miernikiem siły związku prostoliniowego między dwiema cechami mierzalnymi jest współczynnik korelacji liniowej Pearsona lub krócej współczynnik korelacji. Współczynnik korelacji Pearsona wyliczamy wówczas, gdy obie zmienne są mierzalne i mają rozkład zbliżony do normalnego, a zależność jest prostoliniowa (stąd nazwa). Przy interpretacji współczynnika korelacji liniowej Pearsona należy pamiętać, że wartość współczynnika bliska zeru nie zawsze oznacza brak zależności, a jedynie brak zależności liniowej.

Dla szeregu szczegółowego współczynnik korelacji liniowej Pearsona obliczany jest według wzoru:

gdzie:

Kowariancja cov(x,y) jest średnią arytmetyczną iloczynu odchyleń wartości zmiennych X i Y od ich średnich arytmetycznych. Znak współczynnika korelacji informuje nas o kierunku korelacji, natomiast jego bezwzględna wartość - o sile związku. Oczywiście r_xy jest równe r_yx. Jeśli r_xy = 0, oznacza to zupełny brak związku korelacyjnego między badanymi zmiennymi X i Y (wykres 3. na rysunku). Im wartość bezwzględna współczynnika korelacji jest bliższa jedności, tym zależność korelacyjna między zmiennymi jest silniejsza. Gdy r_xy=1, to zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną (funkcja liniowa).

Dla szeregu rozdzielczego z przedziałami klasowymi:

gdzie:

W analizie statystycznej zwykle przyjmuje się następującą skalę:

r_XY = 0 zmienne nie są skorelowane

0 < r_xy < 0,1 korelacja nikła

0,1 ≤ r_xy < 0,3 korelacja słaba

0,3 ≤ r_xy < 0,5 korelacja przeciętna

0,5 ≤ r_xy < 0,7 korelacja wysoka

0,7 ≤ r_xy < 0,9 korelacja bardzo wysoka

0,9 ≤ r_xy < 1 korelacja prawie pełna.

Przedstawiona skala jest oczywiście umowna; w literaturze można spotkać również inne określenia (zamiast 0,7 jest 0,6 , a zamiast 0,9 jest 0,8).

Współczynnik korelacji jest określonym wskaźnikiem, a nie pomiarem na skali liniowej o jednakowych jednostkach.

Kwadrat współczynnika korelacji nazywamy współczynnikiem determinacji (określoności). Współczynnik determinacji informuje o tym, jaka część zmian zmiennej objaśnianej (skutek) jest wyjaśniana przez zmiany zmiennej objaśniającej (przyczyna). Jeżeli np. r_xy = 0,5, to
. Oznacza to, że tylko 25% zmian wartości zmiennej objaśnianej zostało wyjaśnionych przez zmiany przyjętej zmiennej objaśniającej. Można zatem stwierdzić, że na daną zmienną objaśnianą oddziałują jeszcze inne zmienne objaśniające (przyczyny).

Statystyczna ocena istotności otrzymanej wartości rxy

Tak jak wartość innych parametrów populacji, współczynnik korelacji (w populacji) nie jest znany i musimy go oszacować na podstawie znajomości losowej próby par wyników obserwacji zmiennych X i Y. Tak wyliczony z próby współczynnik r_xy jest estymatorem współczynnika korelacji w populacji generalnej, a jego wartość liczbowa stanowi ocenę punktową siły powiązania w całej populacji. Stąd konieczność testowania istotności współczynnika korelacji wyliczonego w oparciu o próbę losową. Najpowszechniej stosowany test polega na sprawdzeniu, czy zmienne X i Y są w ogóle skorelowane. Weryfikujemy więc następujący układ hipotez:

Hipoteza zerowa:

H₀: ρ_xy = 0 (ρ_xy - współczynnik korelacji w populacji generalnej)

hipoteza alternatywna:

H₁: ρ_xy ≠ 0 lub ρ_xy < 0 lub ρ_xy > 0

Do weryfikacji hipotezy H₀ stosujemy test istotności, którym zazwyczaj jest statystyka
t-Studenta:

, gdzie:

W celu przyjęcia lub odrzucenia hipotezy H₀ trzeba określić przedział krytyczny przy zadanym współczynniku α. Określenie przedziału krytycznego jest uzależnione od sformułowanej hipotezy H₁ i tak :

H₁: ρ_xy ≠ 0 to przedział krytyczny

H₁: ρ_xy < 0 to przedział krytyczny

H₁: ρ_xy > 0 to przedział krytyczny

3. Analiza regresji

Narzędziem badania mechanizmu powiązań między zmiennymi jest funkcja regresji.

Funkcja regresji to analityczny wyraz przyporządkowania średnich wartości zmiennej objaśnianej (zależnej) do konkretnych wartości zmiennych objaśniających (niezależnych). Dokładny obraz takiego przyporządkowania daje funkcja regresji I rodzaju, która realizacjom zmiennych objaśniających przypisuje średnie warunkowe zmiennej objaśnianej.

Funkcją regresji I rodzaju zmiennej losowej Y względem zmiennej losowej X nazywamy:

Analogicznie, funkcją regresji I rodzaju zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y nazywamy średnią warunkową zmiennej X, która jest funkcją ustalonych wartości zmiennej Y, tzn.:

Empiryczna linia regresji zmiennej X względem zmiennej Y jest linią łamaną powstała przez połączenie punktów o współrzędnych:
dla j = 1, 2, …, r. Empiryczna linia regresji zmiennej Y względem zmiennej X jest linią łamaną powstała przez połączenie punktów o współrzędnych:
dla i = 1, 2, …, k.

Funkcja regresji II rodzaju jest aproksymantą (przybliżeniem) funkcji regresji I rodzaju, opisującą zależność korelacyjną zmiennych w próbie losowej.

Liniowa funkcja regresji

Funkcję regresji zmiennej zależnej (objaśnianej) Y przy danej zmiennej niezależnej (objaśniającej) X określa się jako:

oraz funkcję regresji zmiennej X względem Y:

gdzie:

Oceny a₁ i b₁ noszą nazwę współczynników regresji liniowej. Odpowiadają one na pytanie, jaki jest przeciętny przyrost wartości zmiennej zależnej na jednostkę przyrostu wartości zmiennej niezależnej.

Wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów współczynniki można także obliczyć z następujących zależności:

Natomiast współczynnik korelacji liniowej jest równy:

Współczynniki regresji mają zawsze jednakowe znaki. Współczynnik korelacji ma taki sam znak jak współczynniki regresji.

Metody badania dokładności oszacowania funkcji regresji

Do oceny dopasowania prostej regresji do punktów empirycznych wykorzystuje się tzw. reszty, które są określone następująco:

-

dla zmiennej Y względem zmiennej X

- dla zmiennej X względem zmiennej Y
gdzie i = 1, …, n

Wartości y_i i x_i są realizacjami zmiennych Y i X zaobserwowanymi w próbie losowej, a
i
są wartościami teoretycznymi (wynikającymi z oszacowanych funkcji regresji II rodzaju) zmiennych Y i X.

(Źródło: http://home.agh.edu.pl/~bartus/index.php?action=statystyka&subaction=regresja_i_korelacja)

Średni błąd szacunku oblicza się wykorzystując wzór na wariancję składnika resztowego:

- dla zmiennej Y względem zmiennej X

dla zmiennej X względem zmiennej Y

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej, czyli odchylenie standardowe składnika resztowego jest nazywane średnim błędem szacunku. Średni błąd szacunku informuje o tym, jakie jest przeciętne odchylenie empirycznych wartości zmiennej objaśnianej od wartości teoretycznych otrzymanych z funkcji regresji.

Celem "relatywnego" spojrzenia na rolę reszt w obu funkcjach regresji należy określić wartość współczynnika zmienności resztowej wg wzorów:

Współczynnik zbieżności ϕ² i współczynnik determinacji R²

W analizie regresji do oceny dopasowania funkcji regresji najczęściej stosowaną miarą jest współczynnik zbieżności
.

Współczynnik zbieżności jest określony następująco:

,

Współczynnik zbieżności przyjmuje wartości z przedziału [0,1]. Współczynnik zbieżności określa jaka część zmian wartości zmiennej objaśnianej nie została wyjaśniona zmianami zmiennych objaśniających przyjętych w funkcji regresji. Im wartość współczynnika zbieżności jest bliższa zeru, tym oszacowana funkcja regresji jest lepiej dopasowana do wartości empirycznych zmiennej objaśnianej [1].

Współczynnik determinacji:

Współczynnik determinacji informuje o tym, jaka część zmian wartości zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez oszacowaną funkcję regresji. Im wartość współczynnika determinacji jest bliższa jedności, tym „dobroć” dopasowania zastosowanej funkcji regresji do danych empirycznych jest lepsza [1].

KORELACJA RANGOWA

Przy badaniu cech niemierzalnych nie można, z oczywistych powodów wykorzystać współczynnika korelacji. W przypadku jednak, gdy badane cechy niemierzalne mają charakter porządkowy, możliwe jest nadanie wariantom tych odpowiednich rang, tzn. umownych wartości, którymi są numery miejsc zajmowanych przez obserwacje
w uporządkowanym ciągu. Badanie zależności między cechami niemierzalnymi może polegać wtedy na badaniu korelacji między rangami przyporządkowanymi wariantom tych cech, tzn. na badaniu stopnia odpowiedniości między rangami.

Odpowiednie postępowanie, prowadzące do określenia tzw. współczynnika korelacji rang zaproponował w 1906 roku C. Spearman. Oznaczmy przez x_i rangę przyporządkowaną i-tej obserwacji z pierwszego ciągu, przez y_i rangę przyporządkowaną tej jednostce w drugim ciągu oraz przez d_i różnicę między rangami przyporządkowanymi i-tej jednostce w obu ciągach (d_i = x_i - y_i ). Współczynnik korelacji rang Spearmana jest zdefiniowany wtedy jako zwykły współczynnik korelacji Pearsona dla rang x_i i y_i. Jeśli w zbiorze danych nie ma obserwacji powiązanych, tzn. nie ma podzbioru obserwacji, których nie można uporządkować, wzór na współczynnik korelacji rang Spearmana można przedstawić w postaci:

gdzie:

i - numer obserwacji

n - liczba obserwacji

d_i = x_i - y_i

x_i - ranga przyporządkowana i-tej realizacji zmiennej X

y_i - ranga przyporządkowana i-tej realizacji zmiennej Y

Współczynnik r_S przyjmuje wartości z przedziału [-1,+1]. Wartość współczynnika nie powinna być interpretowana bez powiązania z liczbą obserwacji n.

KORELACJA RANG KENDALLA

Współczynnik korelacji rang Kendalla służy do pomiaru siły związku między dwiema zmiennymi opisanymi ca najmniej na skali porządkowej, jeśli dysponujemy większą liczbą obserwacji i występuje duża liczba rang.

Rozważmy dwie cechy. Rangujemy dwie cechy - cechę X i cechę Y zgodnie z przyjętymi zasadami. Następnie rozpoczynamy od ustawienia par obserwacji w taki sposób, aby kolejność ocen (rang) ze względu na jedną zmienną była rosnąca i przypisujemy odpowiadającą ocenę (rangę) drugiej zmiennej. W kolejnym kroku ustalamy, ile par pomiarów zmiennej nieuporządkowanej odzwierciedla porządek rosnący, a ile malejący. Parom, które są uporządkowane rosnąco, przypisujemy wartość "+1", a parom, które są uporządkowane malejąco "-1".

Współczynnik korelacji rang Kendalla obliczamy z następujących zależności:

gdzie:

V - suma wszystkich not

U - suma not dodatnich,

n - liczba rangowanych elementów.

Współczynnik korelacji rang Kendalla przyjmuje wartości z przedziału [-1;+1].

Etap 1

H0

H₁:

				opinia o samochodzie nie zalezy od płci
				zależy od płci

Etap 2

n i1	n i2	n i3	ogółem	n^ i1	n^ i2	n^ i3
20	8	58	86	22,63158	8,147368	55,22105	0,305998	0,002666	0,139848
30	10	64	104	27,36842	9,852632	66,77895	0,253036	0,002204	0,115643
50	18	122	190	50	18	122

te żółte pola to suma n^11 = 86*50 / 190, n^22 = 104*18 / 190, itp.

chi^2 =suma(

Etap 3

alfa = 0,05

Etap 4

chi^2 alfa =5,99 =ROZKŁAD.CHI.ODW(alfa;2)

Obszar krytyczny

[5,99; +inf)

Etap 5

Przyjmujemy hipotezę zerową

Wykres punktowy

	xi	yi	xi - x śr	yi - y śr	(xi - x śr) ^2	(yi - y śr )^2	(xi - x śr)*(yi - y śr )
1	6	4,2	-16,3077	-2,39231	265,94083	5,72313609	39,01301775
2	8	3,3	-14,3077	-3,29231	204,71006	10,8392899	47,10532544
				Suma =	1910,7692	52,2292308	294,8307692

Sx^2 = suma((xi - x śr) ^2)/n Sx = pierwiastek(Sx^2)

Sy^2 = suma((yi - y śr )^2)/n Sy = pierwiastek(Sy)

C(X,Y)=

rxy=

współczynnik determinacji = r xy^2

lp		Dane
	Województwo	xi	yi	rang xi	rang yi	di=rang xi -rang yi	di^2
1	Mazowieckie	2,63	22,9	1	2	-1	1
2	Kujawsko-Pomorskie	2,42	21	2	6	-4	16
3	Zachodniopomorskie	1,65	19,7	3	11	-8	64
4	Pomorskie	1,51	20,4	4	8	-4	16
5	Wielkopolskie	1,26	26	5	1	4	16
6	Opolskie	1,22	22,1	6	3,5	2,5	6,25
7	Śląskie	0,85	22,1	7	3,5	3,5	12,25
8	Łódzkie	0,78	21,5	9	5	4	16
9	Małopolskie	0,78	20	9	10	-1	1
10	Lubelskie	0,78	19	9	12	-3	9
11	Warmińsko-Mazurskie	0,63	17,4	11	14,5	-3,5	12,25
12	Dolnośląskie	0,62	20,1	12	9	3	9
13	Lubuskie	0,6	20,8	13	7	6	36
14	Świętokrzyskie	0,48	17,4	14	14,5	-0,5	0,25
15	Podlaskie	0,38	16,8	15	16	-1	1
16	Podkarpackie	0,35	18,3	16	13	3	9
						suma=	225

rs= 0,669117647

r krytyczne = 0,507 z tablic dla alfa 0,05 i 16 stoi swobody

odp. Moduł obliczonej wartości współczynnika (0,669) jest większy od wartości krytycznej (0,507) zatem stwierdzamy, ze istotna zależność statystyczna między zmienną X a Y

	Liczba punktów
Nazwa uczelni	Warunki mieszkaniowe	Selektywność	rang xi	rang yi
SGH	84	67	1	1
UE - Poznań	66	62	3	2
UE - Kraków	76	58	2	4
UE - Wrocław	61	61	4	3
UE - Katowice	55	48	5	5

Każdej parze przypisujemy -1(+1) gdy różnica yi - xi jest

para x, y	1,2	1,4		1,3	1,5	3,5	2,4	2,3	2,5	4,3	4,5
nota	1	1		1	1	1	1	1	1	-1	1
v = suma wszystkich not
u = suma dodatnich not

odp.

Otrzymany wynik świadczy o silnym skorelowaniu uporządkowania uczelni wg warunków mieszkaniowych z uporządkowaniem wg selektywności

Numer studenta	Średni czas dojazdu xi	Liczba spóźnień yi	xi - x śr	yi - y śr	(xi - x śr)^2	(yi - y śr)^2	(xi - x śr)*(yi - y śr)
1	10	1	-6,77778	-1,55556	45,938272	2,4197531	10,54320988
2	15	2	-1,77778	-0,55556	3,1604938	0,308642	0,987654321
3	15	3	-1,77778	0,444444	3,1604938	0,1975309	-0,790123457
4	20	4	3,222222	1,444444	10,382716	2,0864198	4,654320988
5	23	5	6,222222	2,444444	38,716049	5,9753086	15,20987654
6	22	4	5,222222	1,444444	27,271605	2,0864198	7,543209877
7	17	1	0,222222	-1,55556	0,0493827	2,4197531	-0,345679012
8	15	2	-1,77778	-0,55556	3,1604938	0,308642	0,987654321
9	14	1	-2,77778	-1,55556	7,7160494	2,4197531	4,320987654
				Suma =	139,55556	18,222222	43,11111111

cov xy	4,790123457
sx2	15,50617284
sy2	2,024691358
sx	3,93778781
sy	1,422916497
r xy	0,85489934
a1	0,308917197
a0	-2,627388535
wsp. Det.	0,730852882
y=0,309x-2,63

y^	e = yi - y^	e2
0,46	0,54	0,2916
2,005	-0,005	2,5E-05
2,005	0,995	0,990025
3,55	0,45	0,2025
4,477	0,523	0,273529
4,168	-0,168	0,028224
2,623	-1,623	2,634129
2,005	-0,005	2,5E-05
1,696	-0,696	0,484416
	Suma =	4,904473

k - ilość estymowanych parametrów (czyli2 bo jest X i Y)

S=0,837042

y=0,309x-2,63 +- 0,84

	Uczelnia (i)	Y	X	xi - xsr	yi - y sr	(xi - x sr)^2	(yi - y sr)^2	(xi - x śr)*(yi - y śr)
1	ASP	1000	1800	-4600	-7000	21160000	49000000	32200000
2	AWF	3000	2500	-3900	-5000	15210000	25000000	19500000
3	UR	4000	4500	-1900	-4000	3610000	16000000	7600000
4	AP	6000	4200	-2200	-2000	4840000	4000000	4400000
5	PK	9000	6000	-400	1000	160000	1000000	-400000
6	UE	12000	8800	2400	4000	5760000	16000000	9600000
7	UJ	21000	17000	10600	13000	112360000	169000000	137800000
					Suma =	163100000	280000000	210700000

a1	1,29184549
a0	-267,81116
b1	0,7525
b0	380
a)y^=1,29x-267,8
b)x^=0,75y+380
c)r xy=		0,98595828

ui = xi - x^ zi = yi - y^

x^	y^	ui	ui^2	zi	zi^2
1132,5	2057,511	667,5	445556,3	-1057,51	1118329
2637,5	2961,803	-137,5	18906,25	38,19742	1459,043
3390	5545,494	1110	1232100	-1545,49	2388550
4895	5157,94	-695	483025	842,0601	709065,2
7152,5	7483,262	-1152,5	1328256	1516,738	2300495
9410	11100,43	-610	372100	899,5708	809227,7
16182,5	21693,56	817,5	668306,3	-693,562	481028,6
		Suma =	4548250		7808155

wariancja składnika resztowego

średni błąd szacunku S(zi) = pierwiastek(S^2(zi)), S(ui) = pierwiastek(S^2(ui))

wartość współczynnika zmienności resztowej

Współczynnik zbieżności ϕ²

współczynnik determinacji R²

20

Y

X

3,5 = (3+4)/2

---