Wykład IX. Półprzewodniki samoistne

Jak już wspomniano półprzewodnikami nazywamy materiały ( kryształy) , których pasmo walencyjne jest całkowicie zapełnione przez elektrony a pasmo przewodnictwa zupełnie puste. Materiały takie przewodzą prąd tylko pod warunkiem, że uprzednio wprowadzone zostały do nich elektrony lub dziury.

Półprzewodnikiem samoistnym nazywamy materiał półprzewodnikowy nie zawierający defektów sieci krystalicznej ani domieszek innych pierwiastków mogących wpływać na własności elektryczne materiału.

W zasadzie półprzewodnik samoistny powinien być idealnym kryształem. Ze względu jednak na istnienie niewielkich ilości domieszek innych pierwiastków , których stężenia nie można kontrolować w procesie otrzymywania półprzewodników oraz istnienie naturalnych defektów sieci krystalicznej praktycznie nigdy nie mamy do czynienia z idealnie czystym materiałem półprzewodnikowym. Niemniej jednak w wielu przypadkach, jeśli rozważa się własności elektryczne materiału istnienie śladowych domieszek oraz naturalnych defektów sieci jest do zaniedbania. Dlatego przyjęto uważać ,że mamy do czynienia z półprzewodnikiem samoistnym o ile nie by ł on intencjonalnie domieszkowany.

Pojęcie masy efektywnej

Rozważmy dokładniej kształt pasm energetycznych otrzymanych w przybliżeniu prawie swobodnych elektronów (rys. IX-1).

Przypomnijmy, że zależność energii od wektora falowego dana jest przez wzór ( VIII-14). W półprzewodniku dolne pasmo ( pasmo walencyjne) jest całkowicie zapełnione przez elektrony a górne ( pasmo przewodnictwa zupełnie puste. Rozważmy pojedynczy elektron wzbudzony z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Aby analizować przewodnictwo elektryczne materiału należy dokładniej opisać kinetykę elektronu w pasmie przewodnictwa i kinetykę pozostałych elektronów w pasmie walencyjnym.

Skoncentrujmy się na początku na elektronie w pasmie przewodnictwa pozostawiając na uboczu sprawę pustego miejsca w pasmie walencyjnym. Do tej pory twierdziliśmy dość enigmatycznie, że pojedynczy elektron w pasmie będzie elektronem swobodnym. Bardziej precyzyjny opis otrzymamy analizując jego dyspersję czyli zależność energii od wektora falowego.

W niskich i normalnych temperaturach elektron będzie znajdował się w stanach w pobliżu minimum pasma . Zauważamy, że w naszym przykładzie ( nie jest to ogólną regułą) minimum energii pasma przewodnictwa odpowiada wektorowi falowemu równemu g/2, czyli znajduje się na granicy pierwszej strefy Brillouina. W tym samym miejscu znajduje się wierzchołek pasma walencyjnego.

Na marginesie trzeba tu dodać, że sposób wyboru pierwszej strefy Brillouina nie jest jednoznaczny. Na ogół wybiera się ją jako komórkę Wignera -Seitza. W naszym przypadku nie musi ona jednak rozciągać się pomiędzy
i
. Jeśli wybierzemy obszar przesunięty w prawo lub lewo o połowę wektora sieci odwrotnej g, to nowy obszar w przestrzeni odwrotnej ( pomiędzy -
i 0 , lub 0 i
) będzie nową równoważną, pierwszą strefą Brillouina. Obszar pomiędzy 0 i g przedstawiony jest na rysunku IX-1. Obszar ten będzie spełniał wszystkie warunki symetrii wymagane od pierwszej strefy Brillouina.

Wprowadźmy wektor falowy
. Po odpowiednim podstawieniu równość (VIII-14) da się przedstawić jako zależność energii od wektora falowego q. Dla pasma przewodnictwa otrzymujemy:

(IX-1)

gdzie
jest masą swobodnego elektronu. Podobna zależność obowiązuje w dolnym pasmie ( pasmie walencyjnym)

(IX-2)

Zauważmy , że zarówno w pasmie przewodnictwa , w pobliżu dna pasma, jak i w pasmie walencyjnym, w pobliżu wierzchołka pasma, energia jest w przybliżeniu kwadratową funkcja wektora falowego q. Z drugiej strony w przypadku cząstki swobodnej zależność energii od wektora falowego daje się przedstawić w postaci :
. Korzystając z tej zależności i z relacji (IX-1) i (IX-2) można wprowadzić wielkość, którą nazywamy masą efektywną nośników w paśmie, zdefiniowaną jako stosunek masy nośnika prądu w pasmie
do masy swobodnego elektronu
. W naszym przypadku będzie to

(IX-3)

Znak + i - odpowiada odpowiednio pasmu przewodnictwa i walencyjnemu . W realnych trójwymiarowych kryształach dyspersja elektronów może być różna w różnych kierunkach krystalograficznych ( w ogólności mamy
,czyli energia jest funkcją wektora falowego a nie jego bezwzględnej wartości ) . Odpowiada to sytuacji , w której wartość masy efektywnej ( i masy elektronu w pasmie) zależeć będzie od kierunku , w którym porusza się elektron. Efekt ten opisywany jest przez tensor odwrotności masy efektywnej. Składowe tego tensora liczy się ze wzoru:

(IX-4)

gdzie wskaźniki „i” i „j” odpowiadają kierunkom x, y, z. Zależność dyspersyjna w takim pasmie dana jest przez relację :

(IX-5)

gdzie wektor q zdefiniowany jest jako q=K-k, a K jest wektorem położenia minimum pasma przewodnictwa w pierwszej strefie Brillouina.

W przypadku trójwymiarowych kryształów nie potrafimy zobrazować zależności (IX-5). Pewne przybliżenie ogólnej sytuacji otrzymuje się, gdy analizuje się przypadek dwuwymiarowy. Załóżmy, że mamy tensor odwrotności masy efektywnej o następujących składowych
oraz
i
Odpowiedni wykres zależności dyspersyjnej dla tego przypadku,
przedstawiony jest na rysunku (IX-2)

.

Ze wzoru (IX-3) wynika, że w naszym jednowymiarowym przykładzie masa efektywna elektronu jest mniejsza od masy elektronu swobodnego . W realnych kryształach ( krzem, german, GaAs i inne ) masy efektywne wynoszą ok. 0.1 masy swobodnego elektronu.

Pojęcie dziury .

Rozważmy raz jeszcze sytuację jaka powstanie po wzbudzeniu elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. W paśmie walencyjnym pozostanie pusty nie obsadzony przez elektron stan, którego energia zależy od wektora falowego wzbudzonego elektronu ( tego , którego już tam nie ma) . Zależność ta opisywana jest wzorem (IX-2).

Takie pasmo z pojedynczym pustym stanem nazywamy dziurą . Przez dziurę rozumie się wiec puste miejsce po elektronie w całkowicie zapełnionym pasmie energetycznym.

Istnieje pełna analogia pomiędzy dynamiką elektronów w paśmie przewodnictwa a dynamiką dziur w paśmie walencyjnym. Wystarczy traktować brak elektronu , czyli dziurę jak cząstkę o ładunku dodatnim +e i ujemnej masie równej

(IX-6)

Warto jednak pamiętać, że dziura nie jest realną cząstką tylko pewnym użytecznym sposobem opisu prawie całkowicie zapełnionego pasma energetycznego i tak naprawdę w paśmie walencyjnym odbywa się ruch elektronów. Aby sobie to uzmysłowić rozważmy sytuację na dwa sposoby.

Pierwszy dotyczy realnej przestrzeni. Wygodnie jest posłużyć się tu modelem ciasnego wiązania, w którym elektrony są przyporządkowane poszczególnym atomom. Brak elektronu w paśmie walencyjnym odpowiadać będzie zawsze brakowi elektronu w pobliżu któregoś z atomów. Zewnętrzne pole elektryczne powoduje ,że na każdy elektron będzie działała siła
. W rezultacie tego elektron z atomu sąsiadującego z dziurą może się przesunąć zajmując jej miejsce . Oczywiste , że pozostawi po sobie dziurę, która następnie może być zajęta przez kolejny elektron . Całe to zdarzenie wygląda tak jakby to dziura poruszała się pod wpływem siły
Patrz rysunek IX-3

☻_● ☻_○ ☻_● ☻_● ☻_●

☻_● ☻_● ☻_○ ☻_● ☻_●

Rozważmy teraz „ruch” dziury w przestrzeni pędów. Ze wzoru (IX-6) widać, że masa efektywna dziury jest ujemna. Stąd dziury mające większy pęd przesuwają się w głąb pasma walencyjnego. Wydaje się, że jest to równoważne sytuacji kiedy energia kinetyczna dziury będzie ujemna. Ten ostatni wniosek z kolei jest sprzeczny z ogólną zasadą, że energia kinetyczna realnych układów powinna być zawsze dodatnia.

Na rysunku IX-4. przedstawiona jest zależność energii od wektora falowego w pobliżu wierzchołka pasma walencyjnego. Literami A-K zaznaczono stany energetyczne, które mogą być obsadzane przez elektrony. Jeśli brak jest jednego elektronu w paśmie to bez przyłożonego zewnętrznego pola elektrycznego nie obsadzony pozostanie tylko stan o najwyższej energii. ( stan oznaczony literą F, patrz rysunek IX-4 a). Po włączeniu pola elektrycznego o natężeniu
na wszystkie elektrony, znajdujące się w stanach A,B,C,D,E i H,I,J,K zacznie działać siła
. Wskutek działania tej siły po czasie
każdy elektron uzyska dodatkowy pęd
gdzie zmiana wektora falowego dana jest wzorem
. W rezultacie tych zmian obsadzenie stanów w pasmie zostanie zmienione. Elektron ze stanu K przejdzie do stanu J, elektron ze stanu J przejdzie do stanu I ,itd. Widać, że teraz nie obsadzony pozostanie stan E. Sytuacja przestawiona jest na rysunku IX-4 b. Sumując zmiany energii wszystkich elektronów zauważymy , że wskutek działania pola elektrycznego cały układ uzyskał dodatkową energie równą

, gdzie
masą dziury Energia ta jest oczywiście dodatnia. Jeśli pole będzie działało przez kolejny okres czasu równy
nastąpi kolejna zmiana obsadzeń stanów i stanem nie obsadzonym będzie stan D ( rysunek IX-4 c). Nastąpi kolejny wzrost energii układu elektronów, która teraz będzie miała wartość
. Widać, że o ile pod względem kinetyki taki kolektywny ruch elektronów, w kierunku przeciwnym do pola elektrycznego może być doskonale opisany przez ruch pojedynczej dziury w kierunku pola, o tyle „ujemna energia dziury” jest w rzeczywistości dodatnią energią kinetyczną całego układu.,

Dziury i efekt Halla

Interesującym przyczynkiem do dyskusji na temat czym właściwie jest dziura jest analiza efektu Halla. Zmiana znaku napięcia Halla w zależności od tego czy nośnikami prądu są elektrony czy dziury dowodzi do istnienia dodatnich nośników prądu.

Przypomnijmy pokrótce najprostszą teorię zjawiska Halla. Rozważamy materiał w którym płynie prąd elektryczny. Zakładamy, dla uproszczenia, że płynie on w kierunku x. Jeśli prostopadle do kierunku przepływu prądu ( powiedzmy w kierunku y) działać będzie pole magnetyczne o natężeniu H_y (patrz rys. IX-5) to poruszające się w krysztale ładunki , niezależnie od ich znaku, odchylane będą w kierunku z. Siła , która jest odpowiedzialna za ruch ładunków w kierunku z jest siłą Lorentza daną wzorem

(IX-7)

gdzie c jest prędkością światła w próżni. Dodatkowe przesunięcie poruszających się nośników prądu pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego powoduje gromadzenie się ładunków z jednej strony materiału. Pojawia się pole elektryczne,
, którego oddziaływanie będzie równoważyło siłę Lorentza (IX-7). W warunkach równowagi siła elektryczna jest równa sile magnetycznej, stąd otrzymujemy:

(IX-8)

Prędkość w kierunku x jest prędkością unoszenia nośników. Wykorzystując model Drude'go ( VII-33) możemy uzależnić ją od zewnętrznego pola elektrycznego wywołującego przepływ prądu,

(IX-9)

We wzorze (IX-9)
średnim czasem pomiędzy dwoma zderzeniami nośników. Podstawiając (IX-9) do (IX-8) otrzymujemy :

(IX-10)

Korzystając następnie z faktu, że
, gdzie
jest gęstością prądu a ruchliwość nośników dana jest wzorem
, otrzymuje się następującą zależność pomiędzy natężeniem pola Halla ,
, a polem magnetycznym
,

(IX-11)

W powyższych wzorach n jest gęstością nośników prądu. Stała występująca we wzorze (IX-11),
nosi nazwę stałej Halla. Ponieważ zależy ona od ładunku nośników jest ona dodatnia dla dziur i ujemna dla elektronów. Odpowiada to przeciwnym polaryzacjom materiału zależnie od tego czy nośnikami prądu są dziury czy elektrony.

H_z

F_z F_z

_ +

Wzbudzenie nośników prądu.

Cechą charakterystyczną wszystkich materiałów półprzewodnikowych jest to, że jeśli nie są domieszkowane to w temperaturze 0 K wszystkie stany w pasmie walencyjnym są zajęte przez elektrony, zaś wszystkie stany w pasmie przewodnictwa są puste. Wynika stąd, że w przypadku braku wzbudzenia elektronów półprzewodniki są na ogół dobrymi izolatorami. Z drugiej strony nawet niewielkie wzbudzenie, polegające na kreacji swobodnych elektronów w pasmie przewodnictwa i dziur w pasmie walencyjnym powoduje wzrost ich przewodnictwa o kilka rzędów wielkości. Właściwość ta jest wykorzystywana w szeregu urządzeniach półprzewodnikowych.

Wspomnieć należy o dwóch podstawowych czynnikach wpływających na obsadzenie stanów w półprzewodnikach. Pierwszym z nich jest temperatura, drugim promieniowanie elektromagnetyczne. W warunkach równowagi termodynamicznej termiczna generacja nośników prądu jest wynikiem zależności funkcji rozkładu Fermiego od temperatury. Proces ten zostanie omówiony bardziej szczegółowo w następnym paragrafie.

Obecnie skoncentrujmy się na analizie procesu optycznego wzbudzenia par elektron- dziura. W wyniku absorpcji fotonu elektron przechodzi do wyższego stanu energetycznego, w praktyce na ogół przeniesiony zostaje do pasma przewodnictwa, pozostawiając po sobie dziurę w paśmie walencyjnym. Zjawisko to nosi nazwę zjawiska fotoelektrycznego wewnętrznego i opisywane jest przez układ równań wynikających z zasad zachowania energii i pędu.

(IX-12)

(IX-13)

We wzorach (IX-12) i (IX-13) Ω jest częstością fotonu a k_f jego wektorem falowym.

Zasada zachowania pędu ( równanie (IX-13)) zasługuje na szczególną uwagę. Wektor falowy fotonu którego wartość bezwzględna równa
dla światła widzialnego lub bliskiej podczerwieni jest bardzo mały w porównaniu z wektorem sieci odwrotnej. Wobec powyższego warunek (IX-13) powoduje , że wektory
i
różnią się bardzo niewiele. Z drugiej strony
jak i
powinny leżeć w pobliżu punktów w przestrzeni odwrotnej odpowiadającym minimum pasma walencyjnego i wierzchołkowi pasma przewodnictwa.

Warunek ten jest łatwo spełniony gdy minimum pasma przewodnictwa znajduje się w tym samym miejscu w pierwszej strefie Brillouina co wierzchołek pasma walencyjnego (patrz rysunek IX-6a). Półprzewodnik taki nazywamy półprzewodnikiem o przerwie prostej. Prostą przerwę energetyczną posiada wiele materiałów półprzewodnikowych. Między innymi prostą przerwę ma arsenek galu (GaAs) oraz siarczki ( np. ZnS ), tellurki (np. CdTe) i selenki ( np. ZnSe) .

Wiele materiałów posiada jednak bardziej skomplikowaną strukturę energetyczną, gdzie minimum pasma przewodnictwa i wierzchołek pasma walencyjnego nie pokrywają się. Takie materiały to między innymi krzem i german , których pasma energetyczne przedstawione są na rysunku VIII-5. Do spełnienia zasady zachowania pędu konieczny jest udział fononu optycznego, który posiadając stosunkowo niewielką energię może być scharakteryzowany przez dużą wartość pędu. Zasady zachowania opisywane będą teraz przez równania

(IX-14)

(IX-15)

Gdzie ω jest częstością fononu a K_fon jego wektorem falowym. Mówimy ,że półprzewodniki tego typu mają przerwę skośną. Zasada w procesie absorpcji fotonu jest przedstawiona na rysunku IX-6b.

Fakt , że w materiałach o przerwie skośnej absorpcja i emisja fotonu wymaga dodatkowo udziału fononu optycznego powoduje, że procesy te są znacznie mniej prawdopodobne niż absorpcja i emisja w materiałach o przerwie prostej. Zjawisko generacji par elektron -dziura przez fotony ( zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne) wykorzystywane jest w fotoopornikach. Bardziej zaawansowane urządzenia wykorzystujące wewnętrzny efekt fotoelektryczny to fotodiody i fototranzystory.

Półprzewodnik samoistny w równowadze termodynamicznej - prawo działania mas.

Tak jak i w przypadku metalu w półprzewodniku prawdopodobieństwo ,że dany stan jest obsadzony przez elektron opisywane jest przez funkcję rozkładu Fermiego.

(IX-16)

gdzie μ jest potencjałem chemicznym, który w fizyce półprzewodników nazywany jest poziomem Fermiego. Nietrudno przewidzieć ,że ponieważ w zerowej temperaturze pasmo walencyjne jest całkowicie zapełnione a pasmo przewodnictwa zupełnie puste, poziom Fermiego powinien znajdować się w przerwie energetycznej.

Znając gęstości stanów w pasmie walencyjnym i pasmie przewodnictwa można obliczyć ilość elektronów i dziur w materiale.

(IX_17)

(IX-18)

Prawdopodobieństwo pojawienia się dziury w pasmie walencyjnym,
, jest równe prawdopodobieństwu , że dany stan jest pusty i wynosi

(IX-19)

Dla typowych półprzewodników przerwa energetyczna wynosi kilka eV. Wobec tego energia Fermiego leży wystarczająco głęboko w przerwie energetycznej aby, dla temperatur o wartościach w granicach temperatury pokojowej i niższych, spełniona była relacja
. Prowadzi to następujących przybliżonych równości:

(IX-20)

i

(IX-21)

Podstawiając (IX-20) i (IX-21) odpowiednio do wzorów (IX-17) i (IX-18) otrzymujemy

(IX-22)

(IX-23)

Mnożąc stronami równania (IX-22) i (IX-23) otrzymamy

(IX-24)

Zauważamy, że iloczyn gęstości elektronów i dziur zależy od szerokości przerwy energetycznej, temperatury i gęstości stanów w pasmach, nie zależy zaś od położenia poziomu Fermiego .

W półprzewodniku samoistnym ilość elektronów w pasmie przewodnictwa musi być równa ilości elektronów w pasmie walencyjnym. Wykorzystanie zależności
( wzory IX-22) i (IX-23)) pozwala na obliczenie energii Fermiego. Relacja

(IX-25)

prowadzi do następującej zależności :

(IX-26)

Widzimy, że w niskich temperaturach, w półprzewodnikach samoistnych poziom Fermiego znajduje się w przybliżeniu w połowie przerwy energetycznej.

Obliczanie całek z gęstości stanów w przypadku rzeczywistych półprzewodników jest sprawą dość skomplikowaną. Na ogół mamy bowiem do czynienia z kilkoma pasmami przewodnictwa i kilkoma pasmami walencyjnymi. ( Patrz rys. VIII-5). Jednakowosz w wielu przypadkach , szczególnie w niskich temperaturach możemy uwzględnić tylko jedno najniższe pasmo przewodnictwa i jedno najwyższe pasmo walencyjne. W przybliżenia masy efektywnej można przyjąć ,że w pasmach mamy do czynienia z gazem Fermiego elektronów i dziur, gdzie poszczególne nośniki prądu mają odpowiednie masy
i
. Przy takim założeniu gęstości stanów w pasmach równają się odpowiednio ( aby wyprowadzić poniższe wzory patrz wyprowadzenie relacji (VII-17))

(IX-27)

(IX-28)

W przypadku elektronów energie liczy się o dna pasma przewodnictwa w kierunku dodatnich energii, w przypadku dziur od wierzchołka pasma walencyjnego w kierunku ujemnych energii. Dlatego też dla dziur bierzemy bezwzględną wartość energii. Po podstawieniu relacji (IX-27) i (IX-28) do równości (IX-22) i (IX-23) otrzymujemy.

(IX-29)

(IX-30)

Jeśli korzysta się z przybliżenia masy efektywnej również relacje (IX-24) i (IX-26) ulegną znacznemu uproszczeniu i będą miały postać:

(IX-31)

(IX-32)

Równanie (IX- 31) nosi nazwę prawa działania mas. Pozwala ono na otrzymanie zależności koncentracji nośników od temperatury, w półprzewodniku samoistnym

(IX-33)

Widać ,że koncentracja nośników w pasmie zmienia się eksponencjalnie z temperaturą.

Na koniec warto zauważyć , że prawo działania mas ( równanie (IX-25) lub w przybliżonej postaci równanie (IX-31)) jest zupełnie ogólne i dlatego jest słuszne również w przypadku półprzewodników domieszkowych.

Zależność przewodnictwa elektrycznego od temperatury.

Korzystając z modelu Drude'go możemy znaleźć policzyć wartość przewodnictwa właściwego półprzewodników.

( IX-34)

We wzorze (IX-34) przez q oznaczono ładunek ( indeks e- dla elektronu, h- dla dziury ) ,
i
są ruchliwościami dziur i elektronów. Ruchliwość definiuje się jako stosunek prędkości przesunięcia w polu elektrycznym do natężenia tego pola. Powinna mieć więc wartość dodatnią w przypadku dziur i ujemną w przypadku elektronów. Zależność znaku ruchliwości rodzaju nośników uwzględniano przy wyprowadzeniu stałej Halla. Również wzór (IX-34) jest poprawny jeśli uwzględni się znaki ruchliwości i ładunków nośników. Na ogół jednak przy podawaniu wartości liczbowych zaniedbuje się znak i przyjmuje się że ruchliwość dziur i elektronów ma wartości dodatnie.

Ze wzoru (IX-34) widać , że przewodnictwo samoistne silnie rośnie z temperaturą. Zależność przewodnictwa od temperatury dla modelowego półprzewodnika o przerwie energetycznej równej 1 eV i równych masach efektywnych elektronów i dziur została przedstawiona na rysunku IX-8. Wartości przewodnictwa zostały znormalizowane do wartości w przewodnictwa w temperaturze 300K. Widać ,że w zakresie od 100 (1/T=0.01) do 500K ( 1/T=0.002) wartość przewodnictwa typowego półprzewodnika zmienia się o kilkadziesiąt rzędów wielkości.

Zmianę przewodnictwa wywołaną przez termiczne wzbudzenie par elektron -dziura wykorzystuje się w termistorach i termoopornikach

Procesy rekombinacji nośników , ekscytony.

Wyobraźmy sobie półprzewodnik samoistny, w którym zostały wzbudzone pary elektron -dziura. Jeśli pary zostały wzbudzone w procesie absorpcji światła układ taki nie jest w równowadze termodynamicznej. Elektrony i dziury będą traciły swoją energię kinetyczną , aż znajdą się odpowiednio na dnie pasma przewodnictwa i na wierzchołku pasma walencyjnego. Następnie nastąpi proces rekombinacji pary elektron -dziura połączony z emisją fotonu ( w przypadku półprzewodników o przerwie prostej ) lub fotonu i fononu w przypadku półprzewodników o przerwie skośnej. Zasada zachowania energii prowadzi do równań

(IX-35)

dla półprzewodników o przerwie prostej i

(IX-36)

dla półprzewodników o przerwie skośnej.
i
są częstotliwościami fotonu i fononu. Jak widać proces emisji jest odwrotny do procesu absorpcji przedstawionego na rysunku IX-6.

W realnym półprzewodniku prawdopodobna jest również rekombinacja bezpromienista , która odbywa się na powierzchni materiału lub z udziałem naturalnych defektów sieci krystalicznej. Procesami bezpromienistymi nie będziemy się tu zajmować .

Obserwując fotoluminescencję półprzewodników o przewie prostej zauważono, że często energia emitowanego fotonu jest nieco mniejsza niż energia przerwy energetycznej. Spowodowane jest istnieniem stanów związanych elektronów i dziur tzw. ekscytonów.

Zjawisko ekscytonu wynika z istnienia przyciągania elektrostatycznego pomiędzy swobodnymi elektronami z pasma przewodnictwa a swobodnymi dziurami z pasma walencyjnego. Rozważmy problem ekscytonu w sposób klasyczny. Potencjał elektrostatyczny układu elektronu znajdującego się w położeniu r_e i dziury w położeniu r_h równa się
. Energia kinetyczna wynosi odpowiednio
+
. Dwie kropli nad symbolem oznaczają drugą pochodną po czasie. Całkowita energia układu jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej . Możemy wprowadzić nowe zmienne
i
Patrz ( rys (IX-9).

Rys IX-9 Układ elektron -dziura

r_h -r_e

e środek masy h

r_e R

r_h

R jest współrzędną środka masy układu dziura elektron. Otrzymamy wówczas:

(IX-37)

gdzie M jest masą całkowitą układu
a
masą efektywną pary elektron dziura .
. Pojęcie masy efektywnej jest w tym przypadku użyte znaczeniu mechanicznym jako efektywna masa dwóch cząstek. Jak widać w równaniu (IX-37) dokonano separacji zmiennych , w związku z czym możemy rozpatrywać oddzielnie energie kinetyczną
poruszającego się w przestrzeni ekscytonu jako całości i jego energię wewnętrzną

. (IX- 38)

Przechodząc do opisu kwantowego wprowadzamy następujący hamiltonian ekscytonu

(IX-39)

Jak widać układ elektron -dziura w półprzewodniku jest formalnie identyczny z pozytonium ( układ związany elektron-pozyton) . Tak jak i w przypadku pozytonium układ krążących wokół wspólnego środka masy dziury i elektronu ma stany związane o energiach ( poniższy wzór otrzymać można w oparciu o kwantyzacje orbitalnego momentu pędu - analogicznie jak to się robi w modelu atomu wodoru Bohra) :

(IX-40)

gdzie n jest główną liczbą kwantową. W równaniu (IX-40) wykorzystano zależność, że
.
jest stałą Rydberg .
jest masą „efektywną efektywną” i mówi nam ile razy masa efektywna pary elektron dziura różni się od masy efektywnej pozytonium. Wstawiając typowe wartości mas efektywnych nośników prądu
oraz stałej dielektrycznej
otrzymujemy
. W realnych półprzewodnikach masa efektywna dziur jest na ogół znacznie większa niż masa efektywna elektronu , dlatego też energia wiązania ekscytonu również jest większa. Proces rekombinacji pary elektron - dziura z udziałem ekscytonu jest znacznie bardziej prawdopodobny niż bezpośrednia rekombinacja swobodnych nośników. Przebieg obu procesów ilustrowany jest na rysunku IX- 10

E_eksc

E_g

Możemy obliczyć promień ekscytonu. W modelu Bohra będzie on równy promieniowi pierwszej orbity Bohra układu dziury i elektronu krążących wokół wspólnego środka masy. W naszym przypadku

(IX-41)

Dla typowych wartości stałej dielektrycznej i mas nośników w paśmie będzie on równy ok. 100 Å.

6

12

Rys. IX- 1. Pasma energetyczne. Liniami przerywanymi zaznaczono przybliżoną paraboliczną zależność energii od wektora falowego.

Rys IX-3 Przedstawienie ruchu dziury w przybliżeniu ciasnego wiązania . Dziurę - brak elektronu przedstawiono jako posty okrąg.

Fig IX-5. Pod wpływem pola elektrycznego
elektrony i dziury poruszają się w przeciwnych kierunkach . To powoduje , że pole magnetyczne
odchylać je będzie w tę samą stronę . Dlatego polaryzacja materiału i pole elektryczne Halla ,
będzie miało w przypadku dziur i elektronów przeciwne zwroty.

Rys IX. -6 Absorpcja w półprzewodniku(a) o przerwie prostej, (b) o przerwie skośnej.

Wartości wektora falowego fotonu oraz wektorów falowych elektronu i dziury są znikome w porównaniu z wektorem
oraz wektorem falowym fononu i dlatego można je pominąć .

a

b

Fig IX-7 Rozkład gęstości stanów D(E) -krzywe przerywane i gęstości obsadzenia, D(E)f(E)- krzywe ciągłe, w półprzewodniku samoistnym. Powyżej przedstawiona jest Funkcja Fermiego

Rys. (IX-8). Zależność przewodnictwa półprzewodnika samoistnego od odwrotności temperatury. Na wykresie zaznaczono temperaturę pokojową

( 300K)

Poziom Fermiego

Rys . IX-4 Kinetyka dziury w pasmie walencyjnym

Rys IX-2

Rys .IX-10 Rekombinacja promienista swobodnych nośników oraz z udziałem ekscytonu.

Pasmo przewodnictwa

Pasmo walencyjne

---