124 2

246 XI. Szeregi potęgowe

Rozwijamy prawą stronę w szereg potęgowy:

y' = l-x²+x⁴-x⁶ + ...

skąd

ostatecznie

Szereg ten jest zbieżny, gdy x²< 1, tzn. gdy h<l. Całkując ten szereg wyraz po wyr_a^_e otrzymujemy

arctg x =	7 x^5	x^7
	* 3^+5	7 ^+'	’ • 9
1 / /i^N	\^3	l^5l(	^h\\ 1
n7,		* n	v ^+-J
[^h 1		(^h V	V*Y+ i
L^1 3	W ^+7<	w	7 w "J

Wzór ten daje rozwiązanie zadania, gdy h<l. W przypadku gdy h=l, mamy s=nl.

Zadanie 11.23. Pozioma skala przyrządu pomiarowego odbija się w lusterku zawieszonym na osi pionowej w odległości s od skali; odbicie to obserwujemy przez lunetkę. W chwili gdy lusterko jest równoległe do skali, widzimy przez lunetkę punkt 0 skali. Odchyleniu lusterka o kąt (p odpowiada na skali odchylenie liniowe a. Dla jakich kątów <p (podać w stopniach) można przyjąć zależność tpvkx z błędem względnym nie przekraczającym 1%?

Rozwiązanie. Gdy lusterko odchyla się o kąt (p, promień widzenia odchyla się o kąt 2(p (patrz rys. 11.2). Mamy tg a=tg 2<p=x\s, skąd

1    *

<p=± arctg — s

Oznaczmy x'js=t. Wówczas ę = \ arctg t. Rozwijamy funkcję arctg t w szereg

V\' przybliżeniu można wziąć q> = \t, czyli

1 x

Błąd bezwzględny A<p można ograniczyć nierównością Aę<ł-$t³, a wówczas błąd względny spełnia nierówność A<plcp<\t², czyli

^by błąd względny był mniejszy od 1 %, należy wziąć ^ tg²1<~, czyli t<0,173, a więc ę< 0,0865.

W stopniach otrzymujemy wzór

z błędem nie przekraczającym 1%, jeżeli <p< 5°.

Zadanie 11.24. Obliczyć sin 5 z dokładnością do 0,0001, posługując się rozwinięciem funkcji sin x w szereg potęgowy.

Rozwiązanie. Rozwinięcie daje

357 X    X    X

sin x=x---1------h...

3!    5!    7!

Szereg jest przemienny, zbieżny.

Przy obliczeniu sin można się ograniczyć do dwóch wyrazów:

gdyż popełniony błąd będzie mniejszy od wyrazu

5! V 5/    375000

Obliczenie daje sin | = 0,2-0,0013=0,1987.

Przy obliczeniach numerycznych dochodzi błąd zaokrąglenia, który łącznie z poprzed-błędem jest mniejszy od 0,0001.

Zadanie 11.25. Obliczyć wartość 1 /e z dokładnością do 0,001, posługując się rozwinię-^tle® funkcji e^x w szereg Maclaurina.

Rozwiązanie. Rozwinięcie funkcji e^x w otoczeniu punktu x₀ =0, jak wiemy, jest ^następujące: