125

Wniosek (wzór Moivre'a).

(cosa 4 i sina)'' = coska 4 i sinka., tzn. z* = |z|*(coskcc 4 i sinfea )

Dowód. Istotnie, jednym z argumentów liczby po lewej stronie jest ka, a że jej moduł równa się 1, więc jest ona równa 1 • (coska -I- i sin ka).

z^ = Xf\z\ (cos“^łŁłW* 4 i sin‘^*^ł! ) „n E {0,1,.., fc - 1], gdzie a = arsTz), z„ jest n — tym pierwiastkiem, a każda liczba zespolona ma k różnych pierwiastków k — te.qo stopnia.

Własność

Pierwiastki z jedności z„ = cos — 4 i sin —, gdzie n E {0,1,.., k — 1}

ⁿ    k    k

Przykłady

1. Niech z = 1 + i; wówczas z = y[2.{cos~Tt. 4- isin^nj. Obliczmy z¹⁵. Korzystając z twierdzenia o module iloczynu i z wzoru Moivre'a otrzymamy z¹⁵ = (v^2) (cos—Tt 4 isin—    = 256v^;2 |cos ^4<t — — rr) 4isin^47r --nj] =

= 256V2 (cos-tt + istn-Tc) = 256V2 (4: —= 256(1 - i\

V 4    4 /    \V2 yz/

Własność

Ja _ -ta

Postać wykładnicza z = |z| • e'“, gdzie ia = cosa 4 istna. Wtedy cosa = ^c^—,

#»“+*^ria sina = ^c—^Ł—

2i

Istotnie, e^x = ^-₀—, cosx = 1 -Zatem mamy

^{e    Łk}=° kl    _t, -^{1 +} !+ J. +    3;    +

= cos(z) 4 isin(z).

Stąd otrzymujemy, że a 4 bi = |z| • e^ia Własność

-----    . X* X* .    x x^s x^s

- -i-----h ... oraz smx =----1---h ...

14r-

Postać macierzowa do konstrukcji kwaternionów.

det

-fcl

= a 4 bi.

-o¹]-

Jednostce urojonej odpowiada macierz