DSC07324

66

Macierze i wyznaczniki

Definicja indukcyjna wyznacznika

• Przykład 3-7

Obliczyć podane wyznaczniki drugiego i trzeciego stopnia:

coso — isino

1 - v'2 V5-2		cos a + i sin a
1 V5 + 2 1+^2	; b)	1
1-1 5 4|		1 * z^2
O Cl 1 n	d)	z^2 1 z
| -1 3 6 |		z Z^2 1

11 B

. gdziez = --+t—.

Rozwiązanie a) \Ur.y

| 1 - v'2 v*5 —2 va~2 l + y/2

b) Mamy

= (l - V2) (1 + v/5) - (\/5 - 2) (\/5 + 2) = -2.

coaa-i-isma    I

1    cos a -iaino

= (co6Q -t* i sin o) (cos q i sin o) 1 Usaj

= cos² a + sin³ o — 1 = 1—1 = 0.

Hpfama wyznaczników trzeciego stopnia zastosujemy regułę Samisa

a b c a h

= {ad + bfg + cdh) - (ceg + afh + Mi).

..

c)    Mamy

I -1 S 4 {3-20 |-1    3 9

*K-I|(-J)'«+S.O.(-l) + 4-3.3|-l4'(-J)'(-l) + H)’0-3 + i'M

=•43-88 = —30.

d)    Zauważmy najpierw, źc Ił-A. _z — _1 + i~- jest jednym z elementów zbioru {ft Zatem z* = 1 Tai więc mamy

4 l	z	z^2 1
z*	1	*
1 z	z?	1 1

*(l+ **♦*•)-(«* + ** _fł*) = s⁸-2*’ + l-l-2+1-0.

Przykłady

67

• Przykład 3.8

Napisać rozwinięcie Laplace’a podanych wyznaczników względem wskazanego wiersza lub kolumny:

^a)

5 3 4 1 -2 0 -3    6    -1

druga kolumna; b)

12 3 4 0    1-2 5

8-1-4 0 -3    0    2 7

, czwarty wiersz.

Rozwiązanie

Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n 5 2 względem i-tego wiersza ma postać

det A = <j,-i Dii + aaDn + -.. + <HnDi_n,

gdzie Dii oznacza dopełnienie algebraiczne elementu ay tej macierzy, tj. wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny tej macierzy, pomnożony przez (— l)^,+J. Podobnie wygląda wzór na rozwinięcie Laplace'a wyznacznika względem j-tej kolumny

det A = aijDij + oijftj +... +

a) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem drugiej kolumny ma postać

5    3    4

I -2    0

-3 8 -1

= 3-(-l)^,+i- _J +(-2)-(-l)^J+ł- J _!

5 4

1 o •

b) Rozwinięcie rozważanego wyznacznika względem czwartego wiersza ma postać

1	2	3	4
0	1	-2	5
8	-I	-4	0
3	0	2	7

(-3) • (— l)⁴

2    3 4

+ 0-(—1)⁴⁺¹|?|

+2(—1)^4+1	1 2 4 0 1 5	+ 7(-l)^4+4	1 2 3 0 1-2
	8-10		6-1-4

1 -2 5 -1 -4 0

W wyznaczniku występującym w drugim iloczynie nie ma potrzeby wypisywania wszystkich elementów, gdyż ten iloczyn i tak będzie równy 0.

• Przykład 3.9

Stosi^jąc rozwinięcie Laplacc’a obliczyć podane wyznaczniki. Wyznaczniki rozwinąć względem wiersza lub kolumny z największą liczbą zer.

1	-1	2	0
0	1	0	-3
3	2	-2	4
2	3	1	1

1	4	3	2	0
2	-3	5	0	-1
-1	1	2	0	3
0	3	4	0	1
-6	0	-1	0	2