DSC07321

64

Macierze i wyznaczniki

równania wynika, żc c = 0. Ostatecznie otrzymaliśmy w tym przypadku dwa rozwiązaniu a = 1.6=0. c = 0. d = 0 lub o =s — 1. 6 = 0. c = 0, rf = 0. Jeżeli natomiast a + d — 0, to drugie i trzecie równania są spełnione dla dowolnych liczb zespolonych 6 i c. Równanie czwarte przyjmuje wtedy postać 6c + a³ = 0 i jest sprzeczne z pierwszym równaniem. Uzyskana sprzeczność wyklucza tą możliwość. Rozważane równanie macierzowe ma zatem tylko dwa rozwiązania

X =

l 0

0 o

oraz

-l 0 0 0

b) Z postaci równania wynika, że macierz X jest macierzą kwadratową stopnia 2. Niech °    '. gdzie a,6.c. d € C. Równanie macierzowe przyjmie wtedy postać

zatem A' =

c d

a a + b 2a + b		1 1 2
c c + d 2c+ d		3 5 8

która jest równoważna układowi równań

a = 1,

a + 6= 1,

2a + 6 = 2,

c = 3,

C + d == 5,

2c+d = 8.

Jedynym rozwiązaniem tego układu jest czwórka liczb a = 1, 6 = 0, c = 3, d = 2. Rozwiązaniem rozważanego równania jest zatem macierz

X =

1 0 3 2

c) Niech X

m

gdzie a.b.c,d € C, będzie szukaną macierzą. Wtedy z warunku

Ri

a 6	r« *i _	1 0
c d		0 1

otrzymamy układ równań

który jest równoważny układowi

a³ + 6c = 1 ab + bd = Q ac + cd = 0 óc + d³ = 1

o³ - d² = 0 ab + bd = 0 ae + cd = 0 '

6c + d³ i 1

Możliwe są zatem dwa przypadki a = d lub a = -d. Jeżeli a = d, to aó = ac = 0 > ^^c= *    - >Vtedy dla a = 0 mamy 6c = 1. Macierz X jest więc postaci

[ 0 b]

Przykłady

65

Gdy o/O, lo6 = c= 0i wtedy a = l lub a = -1. W tym przypadku macierz X ma postać

s ^,"^b B HM

Natomiast w drugim przypadku, gdy a = —d, otrzymamy zależność 6c = 1 — a . Wtedy dla 6 = 0 mamy a = 1 lub a * —l, przy czym c jest dowolne. Jeżeli jednak 6 / 0, to

c = —Macierz X jest więc w tym przypadku odpowiednio postaci

B B BI

Zatem rozwiązaniem równania są tylko macierze X postaci

fl ol	f-1 Ol	[ « ^61 f	l ol	f-1 ol
	1 ^cir	^l-a o '	Ol]’	[ 0 -l]
		L 6 J ^1

gdzie a, 6, c € C, 6^0.

• Przykład 3.6

Korzystając z własności działań z macierzami oraz własności operacji trans pono-wania macierzy uzasadnić podane tożsamości:

a)    (/I — B)^r = A^T — £ , gdzie A i £ są macierzami tych samych wymiarów;

b)    A⁷ — B⁷ = (A — £)(A -f- £), gdzie A i £ są przemiennymi macierzami kwadratowymi tych samych stopni.

Uwaga. Mówimy, że macierze A i £ są przemienne, gdy spełniają warunek

AB = BA.

Rozwiązanie

a)    W dowodzie wykorzystamy następujące własności transpozycji macierzy:

{A + B)^t = A^t + B^t oraz (pA)^T = a (A^t) ,

gdzie A i £ są macierzami tych samych wymiarów, a a jest liczbą rzeczywistą lub zespoloną. Mamy

{A - Bf = lA + (-1)J3!| =A^t + K-1)B|^t = A^t + (-B^t) = A^t - B^T.

b)    W dowodzie wykorzystamy wzory:

(A ± B)C = AC± BC, D(A ± B) = DA±DB.

gdzie A, £ są macierzami wymiaru n x m, C jest macierzą wymiaru m x Ar, a £ macierzą wymiaru / x n. Dla macierzy przemiennych mamy

(A-£)(A + B) = A(A + £) — B(A + B)

= (A^a + ylB)-(flA + B*)

= A² + AB - AB - B³ = A* — fl^J.