DSC07326

70 Macierze i wyznaczniki

5 3 ... 0 O 2 5 ... O 0

= 5W_n - 6 • :

:    = 5W_n — 6W_n-i-

0    O    ...    5    3

O    O    ...    2    5    I

Korzystając teraz z założenia indukcyjnego otrzymamy dalej

W_a+, = SM: -    = 5 (3^n+l - 2ⁿ⁺¹) - 6 (3ⁿ - 2") = 3^n+a - 2^n+a.

Z zasady indukcji wynika, że badana tożsamość jest prawdziwa dla każdego n 6 N. b) Obliczamy wartość wyznacznika V_n dla n = 1. Mamy

V, = |X| = 1.

Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Załóżmy, że rozważana tożsamość jest prawdziwa dla liczby n. Wykażemy jej prawdziwość dla liczby n + 1. W wyznaczniku Vn+i od elementów drugiego, trzeciego, ..., n + 1 wiersza odejmujemy elementy pierwszego wiersza, a otrzymany wyznacznik rozwijamy względem pierwszej kolumny. Zatem

1	1	1 ...		1	1
1	2	2 ...	2	2	2
1	2	3 ...	3	3	3

V'n-rl

1 2 3 ... n-l n-rl n —1 1 2 3 ... n — 1 n n 12 3... n —1 n n + 1

11 1^    1    1    l

0 l 1 ...    111

0 1 2 ...    2    2    2

0 12... n-2 n-2 n-2 0 1 2 ... n-2 n-l n- l

1	2 ...	n-2	n— l	n
1	V m		||
1	2 ...	2	2	2
1	2 ...	n-2	n-2	n —	2
1	2 ...	n-2	n-l	n —	i
1	2 ..	n-2	n — i	n

Korzystając teraz z założenia indukcyjnego V» = 1, otrzymamy równość V_n+i = 1- Z zasady indukcji wynika, że badana tożsamość jest prawdziwa dla każdego n € N.

Przykłady

Własności wyznaczników

• Przykład 3.11

Nie obliczając wyznaczników znaleźć rozwiązania podanych równań:

i + x	1	1	1		X*	4	9	3
||:	2	2	2	= 0; b)	-1	l-x^2	-9	-3
4	6 — x 4		4		1	4	9	3
6	6	6	X		1	4	X^2	3

Rozwiązanie

a)    Łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronic równania zeruje się dla x = 0 (pierwsza i trzecia kolumna są takie samc); z = 2 (druga i trzecia kolumna są takie same); z = 6 (trzecia i czwarta kolumna są takie same). Ponadto z rozwinięcia Laplace'a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia trzeciego. Ponieważ wielomian tego stopnia ma nie więcej niż trzy pierwiastki, więc 0, 2 i 6 są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

b)    Jak powyżej łatwo zauważyć, że wyznacznik po lewej stronie równania zeruje się dla z = —1, x = 1 (pierwsza I czwarta kolumna są proporcjonalne); z = — v/5, z = ^5 (druga i czwarta kolumna są proporcjonalne); z = -3, z = 3 (trzecia i czwarta kolumna są proporcjonalne). Ponadto z rozwinięcia Laplace*a wynika, że lewa strona równania jest wielomianem stopnia szóstego. Jak wiadomo wielomian szóstego stopnia ma co najwyżej sześć pierwiastków, więc wskazane powyżej liczby są jedynymi pierwiastkami naszego równania.

• Przykład 3.12

Obliczyć podane wyznaczniki			wykorzystując występujące
^a)	12 3 4 5 0 7 8	i b)	-5 2 3 4 5 1 -4 3 4 5 1 2-3 4 5
#	9 10 11 12		1 2 3-25
	13 14 15 16		1 2 3 4 -1

Rozwiązanie

a) Odejmując pierwszy wiersz od drugiego oraz trzeci od czwartego otrzymamy wyznacznik, w którym drugi i czwarty wiersz są takie same. Zatem

	-0	0	0,	0	0
	0	-0	0	0	0
S3	0	0	-0	0	0
	0	0	0	-0	6
	1	2	3	4	-1

1	2	3	4		1	2	3	4
5	6	7	8	=	1	4	4	4
9	10	11	12	WĄ -	9	10	11	12
13	14	15	10		4	4	4	4

b) Wykonując wskazane operacje elementarne na wierszach i kolumnach otrzymamy

5	2	3	4	5
1	-4	3	4	5	U»l — “I
1	2	-3	4	5	u-3 - «s - ••
1	2	3	-2	5	04 “ •»
1	2	3	4	-1