img003 4

Egzamin z matematyki dla I roku IMIR, 18.06.2001

Każde zadanie punktowane jest w skali 0-10 punktów. Egzamin trwa 120 min.

1. Wykaż ,ż epłaszczyzny styczne do powierzchni f(x,y) = ~ , a > 0, tworzą z płaszczyznami układu współrzędnych czworościany o równych obj gościach.

2. Sprawdź, czy pochodne mieszane funkcji

f(x,y) = -

2 y

x arctg— dlax^0

0

dla x = 0

są równe w punkcie (0,0). Dlaczego tak jest ?

7

3. Podaj definicj ęwartości własnej i wektora własnego. Rozwiąż układ rówr.

x + 2y + z + 2u = 26 < 2x + 3z-2y+8u = -2 5x + 6 z 4- 4y +14u = 16

4.    Podaj metodę obliczania całki ogólnej równania różniczkowego liniowego n-tego rzędu o współczynnikach

stałych. Roz wiś równanie: y(lny — ln x)dx — xdy — 0.

2    5. Podaj tw. Greena. Oblicz całkę ie^x —cos y)dx —e^x {y — s\ny)dy_i gdzie K jest krzywą

*    K

zorientowaną dodatnio, złaź oną z kawałków wykresów y — sin.t / y = 0, przy czym 0 < x <Tl.