kolo1i2

Kolokwium nr 1 z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 1, r.ak. 2008/2009

Zad.l [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]

Rozwiązać nierówność:

( log₂12 — x\ )² — 4 logi \2 — x\ ^ 0

t

Zad.2    [6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]

Rozwiązać równanie:

jcos 2x+l

-2-3'

COS"¹ Z+l

+ 9

o

Zad.3.    [ 2p+5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

a)    Jakie warunki musi spełniać funkcja / : X —> Y , aby istniała funkcja odwrotna /^_1?

b)    Wyznaczyć dziedzinę, przeciwdziedzinę oraz funkcję odwrotną dla

funkcji

x — 1

f{x) = 2arccos —-— — tt.

Obliczyć /(—2) + 3/(|).

Zad.4.    [ 4p+2p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

a) Obliczyć granicę:

lim

n—»oo

(2n³ - 4

2n³ + 4

+

5-9" + 3 sin (n!) 3²" + 7

b) Sformułować jedno wybrane twierdzenie, z którego skorzystałeś w punkcie a).

Zad.5.    [ 2p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

a)    Podać definicje ciągu malejącego.

b)    Dla jakich wartości parametru, p ciąg o wyrazie ogólnym ^an = (l + ^zt) jest malejący?

Zad.l. [ 2p + 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ]

a)    Podać definicję asymptoty ukośnej prawostronnej.

b)    Wyznaczyć asymptoty prawostronne wykresu funkcji:

f(x) = 3x + ~~~r

e^x — 1

Zad.2.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji:

f(x) — ln³x + 6 ln² z.

Zad.3.    [ 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 J

Dla funkcji f(x) = arcctg x napisać wzór Maclaurina rzędu n — 1 (z wielomianem rzędu pierwszego) a następnie, korzystając z powyższego wzoru, wykazać, że dla x < 0 zachodzi nierówność:

TT

x <--arccte x.

2

Zad.4.    [ 3p+3p+4p+4p - rozwiązanie piszemy na stronie 4,5 ]

a)    Podać definicję funkcji pierwotnej. Sprawdzić, czy funkcja F(x) = x~ jest funkcją pierwotną dla funkcji f{x)— -x~^x \n(ex).

b)    Obliczyć całki:

2x + l)arctg x dx