Matematyka 2 9

168 III. Ruchunek całkowy funkcji wielu zmiennych

b) Sjest częścią paraboloidy z = l+x²+y² wyciętą walcem o równaniu x² + y² =2.

a) Jest to płat gładki względem płaszczyzny Oxy, więc jego pole obliczymy korzystając ze wzoru (4.2). Ponieważ

z’ =■

Z. =

^{x    y} l+(zi)^J+(z’_y)^J=2.

więc

|Sł= JJ^l+(z;)²+(z^)³dxdy= JJV2dxdy=V2|D|

Obszar D jest wycinkiem o kącie środkowym n/2 pierścienia o promieniach 2 i 3. Pole obszaru D jest równe 1/4 pola pierścienia, czyli

|D|=i(9rc-4n)=|n.

W konsekwencji pole rozważanego piata powierzchniowego jest równe

|S|=5V2n/4.

b) Płat Sjest określony równaniem

z = l+x² +y²,gdzie x²+y²<2, i może być zapisany następująco

S={(x,y,z)GR³: z = l+x² + y² A(x.y)6D|,

przy czym

D = <(x,y)eR^:: x² + y²<2).

Jest to płat powierzchniowy gładki względem płaszczyzny Oxy.

Pole tego płata obliczymy korzystając ze wzoru (4.2). Ponieważ z; = 2x,    z; = 2y,    I +(z; )² +(z; )² = 1+4x² +4y²,

więc

|S|= JJ^l+(z;)²+(Zy)^:dxdy= JJV¹+4x^: +4y²dxdy=

D    D

A    0 0

169

r

4. Zauosowania geometryczne całki iMtdwójnej

= 2n Jr>/l+4r^:dr=^ (Vl+4r²)³j    = yrc.

PRZYKŁAD 4.3. Obliczymy pole płata powierzchniowego, który jest części;} walca o równaniu y=x² wyciętą płaszczyznami z = x,

z=2x. x = 2.

Płat S jest płatem gładkim względem płaszczyzny Oxz. a jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę Oxz jest trójkąt D:

D = {(x,z)eR²: 0<x<2 a x<z£2x}.

Zatem

S={(x,y2)eR³: y=x² A(x,z)€Dj.

Pole |S| płata S obliczymy korzystając ze wzoru (4.3). Ponieważ y'_x = 2x,    yi=0.    l+(_y;)^J+(yi)² = H-4x^J,

a więc

_ _ 2 2x _

|S|= jj-/l+(y*)²+(y*₇)^:dxdz = JjVl + 4x^:dxdz = J[ jVl+4x^:dz]dx =

D    D    0 x

= JxVu4x²dx = p|(Vl4-4x^Y)³j‘=^(l7Vi7-l). ■

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

I Obliczyć objętość bryły V, jeśli

a)    V = {(x,y.z)eR³: 0£z<x^:+y² a yś2 a x<y<2x}.

b)    V = {(x,y,z)eR³: Ośz<l + x²+y² a |x|^2-y a

c)    V = {(x,y,z)eR‘: 0<z<4-x^: a 0£y<3|,

d)    V = {(x,y.z)<=R³: 0<2z<3-y a y>x²-l),

e)    V = {(x,y,z)eR³: x² + y² -3<z<\+yjx² + y² a x^:+y^:<l}.