0248

249

§ 1. Badanie przebiegu funkcji

Xi = l — yj2fs — 0,41 i x₂ = l+ >72*2,41. Różniczkujemy znowu pochodną rozpatrując ją jako iloczyn

/"(*)=

(2x—2) + ... ,

przy czym kropki zastępują wyraz zawierający czynnik x² —2x—1. Wyraz ten nie jest nam potrzebny, gdyż dla wartości x, które mamy podstawić, jest równy zeru.

Rys. 61

Rys. 62

Widzimy, że f"(x₁)<0, sl f”(x₂)>0; wartość /(xi)*7,04 jest więc maksimum, a f(x₂)~ —0,03 jest minimum.

Wykres funkcji podany jest na rysunku 61 (patrz ustęp 149, 5)).

Rozpatrzymy wreszcie następujące zadanie o treści geometrycznej: znaleźć wartości ekstremalne odległości r od danego punktu P({, tj) płaszczyzny do punktów M(x, y) krzywej X określonej równaniem y=f{x) (rys. 62).

Zamiast funkcji r można rozpatrywać funkcję

«=ir²=ł [(x-ę)²+(y-^)²],

gdzie y-f{x). Przyrównując do zera pochodną

u'x=x-ZĄ-(y—n)y'_x

widzimy, że na to, by punkt M(x,y) na krzywej X był punktem, w którym odległość r osiąga ekstremum, potrzeba, aby

t-x+y'An-y)=0.

Innymi słowy punkt P(i, rfj powinien leżeć na prostej

X-x+y'AY-y)=0

poprowadzonej przez punkt M(x,y) danej krzywej prostopadle do stycznej (‘), tę prostą nazywamy normalną do krzywej.

Załóżmy, że punkt P{(, tj) rzeczywiście leży na normalnej do krzywej X w punkcie M(x, y); czy odległość PM jest ekstremalna? Odpowiedź na to pytanie zależy od znaku drugiej pochodnej

+y? +(y-ti)/*'2.

(^l) Jej współczynnik kątowy — 1/yi jest równy odwrotności (ze znakiem przeciwnym) współczynnika kątowego y'_x stycznej.