0094

96

IX. Całka oznaczona

więc analogicznie w przedziale <a_t, bf> możemy znaleźć podprzedział <a₂, ó₂>, w którym /(x) < e₂, gdzie e₂ jest dowolną liczbą dodatnią mniejszą od s_t, itd.

Wybierając w ten sposób ciąg liczb dodatnich e_k -» 0, można otrzymać taki ciąg przedziałów <a*, b_ky, z których każdy następny leży w poprzednim (i nawet —jeśli chcemy — o długościach dążących do 0), że

0 < /(x) < e*, jeśli a_k < x < b_k (k = 1, 2, 3, ...).

Wtedy w myśl lematu z ustępu 38 istnieje punkt c należący do wszystkich przedziałów tego ciągu; w punkcie tym powinno być

0</(c)<e* dla k = 1,2,3,...,

co jest niemożliwe, ponieważ e_k -* 0. Twierdzenie zostało udowodnione.

Prostym wnioskiem z tego (i z 4°) jest twierdzenie:

6° Jeśli dwie funkcje f (x) i g (x) są całkowalne w przedziale <a, i) i zawsze/(x) < g (x) (lub f(x)<g (x)), to również

b    b    b    b

Jf(x) dx < J g (x) dx (lub j f(x) dx < J g (x) dx),

'przy założeniu, że a < b.

Wystarczy zastosować tylko poprzednią własność do różnicy g(x)-f(x). Równie łatwo otrzymujemy

7° Niech funkcja f (x) będzie całkowalna w przedziale <a, b} i niech a < b, wtedy zachodzi nierówność

ff(x)dx nika z i -l/WI </(x)<|/(x)|

; j |/(x)i dx.

a    a

Istnienie ostatniej całki wynika z ustępu 299, I. Zastosujemy więc własność 6° do funkcji

Równie łatwo można zresztą otrzymać szukaną nierówność wychodząc od sum

|j]/(f_l)dx_ł|</(f_ł)-dx,(¹)

i przechodząc do granicy po obu stronach tej nierówności.

8° Jeśli funkcja f (x) jest całkowalna w przedziale <a, b}, gdzie a < b, i jeśli w» całym tym przedziale zachodzi nierówność

m < /(x) < M ,

to    b

m (b—a) < J f(x)dx^M(b—a).

Można teraz zastosować własność 6° do funkcji m,f (x) i M, ale prościej jest bezpośrednio posłużyć się oczywistymi nierównościami

2 Ax_t (*)

i przejść do granicy.

(^l) Ponieważ a<b, więc wszystkie Ax_t są również >0.