0086

88

IX. Całka oznaczona

Dla pierwszej sumy, podobnie jak w poprzednim twierdzeniu, mamy

< e(b-a).

r    r

Jeśli chodzi o drugą sumę, to zauważmy, że suma długości wszystkich przedziałów leżących całkowicie w wybranych otoczeniach jest mniejsza niż ke; natomiast przedziałów zachodzących tylko częściowo na te otoczenia może być najwyżej 2k, więc suma ich długości jest mniejsza niż 2kS, zatem również mniejsza niż 2ke. Stąd wynika nierówność

y] (o,..dx_t: < Q y Ax,.. < Q -3ke.

r    r

W ten sposób dla Ax, < 6 otrzymujemy wreszcie

y <o, Ax, < e[(ó—a)+3k.Q].

Z ostatniej nierówności wynika już nasze twierdzenie, ponieważ po prawej stronie mamy iloczyn dowolnie małej liczby e przez czynnik stały.

Na koniec wskażemy jeszcze jedną prostą klasę funkcji całkowalnych nie pokrywającą się z żadną z dwu poprzednich klas.

Ul. Funkcja monofoniczna i ograniczona jest całkowalna.

Dowód. Niech będzie dana funkcja f(x) monotnicznie rosnąca. Jej oscylacja w przedziale <X|,X|+!> jest równa

<o_t = /(xi+i)-/(x,).

Bierzemy teraz dowolne e > 0 i przyjmujemy

" m-m ’

Jeśli tylko Ax, < 3, to

<^[/(xm)-/(*i)] “ <5 [/(£)-/(«)] =e,

skąd wynika już całkowalność funkcji /(x).

299. Własności funkcji całkowalnych. Z kryterium podanego w ustępie 297 można wyprowadzić kilka interesujących, ogólnych własności funkcji całkowalnych.

I. Jeśli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a, i), to całkowalne są w tym przedziale również funkcje |/(x)| i kf{x), gdzie k = const.

Dowód przeprowadzimy dla funkcji |/(x)|. Ponieważ dla dowolnych dwu punktów x’ i x" leżących w przedziale <X/, x_ł+1> mamy [17]

l/(*")M/(*')l < |/(x")-/(x')|,

więc oscylacja <o* funkcji |/(x)| w tym przedziale jest niewiększa niż co, [85]. Stąd wynika nierówność

y©?dx, <y©,dXi;