0084

86

IX. Całka oznaczona

e > 0 można znaleźć taką liczbę ó > 0, że skoro tylko X < 5 (tzn. jeśli przedział jest rozbity na odcinki o długościach Ax, < S), to wtedy spełniona jest nierówność

S — S < B .

Dowód konieczności warunku (6). Zakładamy, że całka (4) istnieje. Zatem do każdego danego e > 0 można znaleźć takie S > 0, że jeśli tylko wszystkie Ax, < 5, to nierówność

|<r—J|<e,    czyli I—e<<t<I+b,

jest spełniona przy dowolnym wyborze liczb w każdym z przedziałów podziału. Wiemy już jednak, że sumy s i S są — przy danym podziale przedziału — odpowiednio kresami dolnymi i górnymi sum całkowych; spełniają one zatem nierówności

/-£ < s < S < I+e,

a ponieważ

(7)    lim s = I. lim S = / ,

.*-0    i-0

wynika już stąd równość (6).

Dowód dostateczności warunku (6). Załóżmy, że spełniony jest warunek (6), wtedy z (5) wynika od razu, że /* = I*. Oznaczając /*=/* = / mamy ponadto

(5*)    s < / < S.

Jeśli przez a rozumiemy jedną z wartości sumy całkowej odpowiadającej temu samemu podziałowi przedziału co i sumy s i S, to jak wiemy, zachodzi nierówność

s < a. < S .

Jeśli wreszcie założyć, że wszystkie Ax_t są dostatecznie małe, to z warunku (6) wynika, że sumy si S różnią się o mniej niż o dowolną liczbę e > 0. To samo jest prawdą również dla różnicy liczb a i I leżących w przedziale (s, S), tzn.

\<T-I\ < B

Zatem / jest granicą sum a, czyli / jest całką oznaczoną.

Jeśli oscylację M_t—m, funkcji w i-tym przedziale podziału oznaczymy przez co_/; to będziemy mieli

n—1    n—1

S-s = ^_j(M,-m_i)Ax_i = Ax₍,

i=0    1=0

i wobec tego warunek istnienia całki oznaczonej możemy napisać w postaci

n— 1

(8)    lim ^ w, Ax, = 0,

(=0

w której to postaci warunek ten jest najczęściej używany.