0116

118

IX. Całka oznaczona

Można to osiągnąć drogą zamiany zmiennych według wzoru

(ac+ ]/ x²— 1 cos 95) (x— \f X¹ — 1 cos 0) = 1.

Mamy stąd bowiem

____    — ^x²— 1 H-cos 0 .

cos <p = -¹——zzuzz.-:

x— ^ x² — \ cos 0

wartość bezwzględna wyrażenia po prawej stronie tej równości nie przewyższa jedynki i każdej wartości zmiennej 0 z przedziału <0,7r> odpowiada jednoznacznie pewna wartość zmiennej <p z tego samego przedziału. Dla 0 = 0 lub 7t również i q> = 0 lub 7t. Mamy dalej

sin tp d<p

_sin 0 d6_

(x — ]/x¹—1 cos 0)²

a ponieważ

sinę> =

_sin 0_

x—^x² — l cos 0

więc

dtp

de

X — j/X²— 1 cos 0

i ostatecznie

(x+]/x² — 1 cos ę>)Vę> =

_d6_

(at— ^/jc¹ — 1 cos 0)"⁺¹

a stąd wynika żądana równość.

Zauważmy, że obie całki (z dokładnością do czynnika 7t) wyrażają n-ty wielomian Legendre’a P.(x) [(118, 6)].

8) Dla dowolnej funkcji f(x) ciągłej w przedziale <0, o> (o>0) jest zawsze

ff(x)dx = ff(a-t)dt o    o

(podstawienie * = a—t, a>t>0). W szczególności, ponieważ cos x = sin (-^-tt—x), więc dla dowolnej funkcji ciągłej F(u) jest

F (cos at) dx .

f F(sinx)dx = f

9) Niech funkcja f(x) będzie ciągła w symetrycznym względem zera przedziale <—a, a) (a>0)’ W przypadku funkcji parzystej [99, 25)] mamy wtedy •

J/(Ar) dx = 2 j f(x) dx ,

-a    O

a w przypadku nieparzystej

J/(a:) dx = 0 .

a    0    u

W obu przypadkach całkę j piszemy w postaci sumy dwóch całek J + f i do pierwszej z nich sto-

—«    -a O

sujemy podstawienie x — —t.