0124

126

IX. Całka oznaczona

To jest właśnie wzór Wallisa. Ma on znaczenie historyczne, jest to bowiem pierwsze przedstawienie liczby n w postaci granicy ciągu liczb wymiernych, które można łatwo obliczyć. Wzór Wallisa stosuje się i dziś w badaniach teoretycznych [patrz np. 406]. Dla przybliżonego obliczenia liczby n istnieją teraz metody wiodące do celu bez porównania szybciej [410].

318. Wzór Taylora z resztą w postaci całki. W uogólnionym wzorze (7) z ustępu 311 na całkowanie przez części podstawmy o = (b—xY- Wtedy

»' = —n(b—xY~^l, v" = it(n— 1) (ó-*)*-²,    ...,

»<«> = (_!)• „(„-i)... i, oo+i^o.

Wszystkie funkcje v,v', ...,    przyjmują dla x = b wartość 0. Jeśli zamiast u, u', u”, ...

będziemy pisali odpowiednio /(*), /'(*), /"O), ... to wzór (7) przyjmie postać

0 = (— !)*[»! m-n\ /(o)—»!/'(«) (b-a)~    (b-a)*- ... -/<•>(«) (ó-a)*]+

b

+(-l)"⁺¹ //<*+«>(*) (b-xYdx.

Stąd otrzymujemy wzór Taylora z resztą w postaci całki oznaczonej:

b

m - /<«)+    (*-«)+    (*-«>*+... +(*-«/+ -±- J /^w+,>(x) (b-_xydx.

a

Przechodząc do oznaczeń używanych w ustępach 124-126, zastąpmy tu b przez a a przez x₀. Otrzymujemy

X

/W = /(*»)+    (*-*»)+    (*-*₀)^J+ ... + ’^/ty (JC—JCo)-+ J|- J/“♦‘W (r-0V/.

*0

Nowy wzór na resztę, w odróżnieniu od otrzymanych w ustępach 124 i 126, nie zawiera już liczb nieznanych.

Z tej postaci reszty szeregu Taylora możemy wyprowadzić poprzednio poznane jej postacie. Na przykład korzystając z tego, że czynnik (*— tY funkcji podcałkowej nie zmienia znaku, możemy do ostatniej całki zastosować uogólnione twierdzenie o wartości średniej [304,10°]. Otrzymujemy

X    X

_L J/<-+»>(,) (x-tYdt =    f (x-tYdt =    (x—jf₀)"⁺¹,

*0    X₀

gdzie c jest pewną liczbą z odcinka <*₀> *>. W ten sposób otrzymaliśmy ponownie postać Lagrange’a reszty we wzorze Taylora.

319. Przestępoość liczby e. Ten sam wzór (7) z ustępu 311 może posłużyć za punkt wyjścia do dowodu pewnego ważnego twierdzenia Hermite*a o liczbie e.

Wszystkie liczby rzeczywiste (a także ogólnie — zespolone) dzielą się na dwie klasy — na liczby algebraiczne i przestępne. Liczba nazywa się algebraiczną, jeśli jest ona pierwiastkiem równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych (można oczywiście przyjąć, nie zmniejszając ogólności, że współczynniki te są całkowite): w przeciwnym razie liczba nazywa się przestępną.

Przykładami liczb algebraicznych są wszystkie liczby wymierne lub liczby wyrażające się przez liczby wymierne za pomocą pierwiastków: i tak liczba —jy Jest pierwiastkiem równania 17*+11 = 0,

a liczba y 1+ \fl — pierwiastkiem równania **—3**+3**—3 = 0 itd.