0104

106

IX. Całka oznaczona

308. Podstawowy wzór rachunku całkowego. Widzieliśmy już w ustępie 305, że dla funkcji /(jc) ciągłej w przedziale <a, b} całka

*(¹) =

a

okazuje się funkcją pierwotną. Jeśli F(x) jest dowolną funkcją pierwotną funkcji /(jc) (na przykład znalezioną metodami podanymi w ustępach 1-4 poprzedniego rozdziału), to [263]:

0(x) = F(x) + C.

Stałą C znajdujemy łatwo podstawiając w tej równości jc = a. Ponieważ 0 (a) = 0, więc:

0 = 0(a) = F(a) + C, skąd C=-F(a).

A zatem

0(x) = F(x)-F(a).

Jeśli oddzielimy czynniki z + 1 i z—1 (odpowiadające wartościom k = —n i k = 0) i zbierzemy razem czynniki sprzężone, to otrzymamy, że z²"—1 jest równe

(z²-1)/7 (z-cos^--/'sin-^~^    — cos+( sin=

fc-l

n— I

= (z²— 1) J~J ^1 — 2zcos-^- +^z2j ■

k= 1

W szczególności dla jc — b otrzymujemy

(A)    0 (b) = f f(x) dx = F (b)-F(a).

a

Jest to właśnie podstawowy wzór rachunku całkowego (').

Zatem wartość całki oznaczonej jest równa różnicy dwóch wartości — w punktach x — b i x = a — dowolnej funkcji pierwotnej.

Jeśli do naszej całki zastosujemy twierdzenie o wartości średniej [304, 9°], to pamiętając, że /(.r) = F'(jc), otrzymamy

F(b)-F(a) =f(c)(b-a) = F'(c){b-a)    (a^c^b);

czytelnik poznaje w tym wzór Lagrange’a [112] dla funkcji F (x). W ten sposób — za pomocą wzoru podstawowego (A) — wyraziliśmy związek między twierdzeniami o wartości średniej w' rachunku różniczkowym i całkowym.

Wzór (A) jest efektywnym i prostym środkiem do obliczania całki oznaczonej funkcji ciągłej /(jc), bo przecież dla wielu prostych klas takich funkcji umiemy wyrazić funkcję pierwotną przez funkcje elementarne w postaci skończonej. W tych przypadkach całkę oznaczoną oblicza się bezpośrednio ze wzoru podstawowego. Zauważymy tylko, że róż-

1

Wzór ten nazywa się również wzorem Newtona-Leibniza. Czytelnik widzi, że rozważania te są całkowicie analogiczne do tych, którymi posłużyliśmy się w ustępie 264 do obliczenia funkcji |P(a:)| i pola 1P|. Sam wzór (A) łatwo można otrzymać zestawiając wyniki ustępów 264 i 294.