011

Umite urćit komplexni ćislo sdrużene s ćislem sdrużenym s ćis-lom z? Oznaćime-li z — a + bi, pak ćislo sdrużene s fisiem 2 je ćislo z — a — bi, także ćislo sdrużene s ćislem z je ćislo (z) = a —bi = a + bi, tj. ćislo z. Pro libovolne komplexni ćislo je tedy (2) = z. Tento vztah umożńujc, że o ćislech 2, 2 mużeme mluvit jako o ćislech sdrużenych vzajemne, resp. pouze jako o ćislech sdrużenych.

Povsimnćme si jeste soućinu komplexniho ćisla 2 = a + fei a ćisla s nim sdrużeneho z = a — bi:

z - z — (a + bi)(a - 6i) = a² + b²

Odtud je videt:

1.    soućin z -z je ćislo realne;

2.    soućin z-z je ćislo nezaporne;

3.    soućin z - z je pro z ^ 0 ćislo kladne a pro 2 = 0 je roven nule.

Plati tedy:

Soućin komplexniho ćisla a ćisla s nim sdrużeneho je realne nezaporne ćislo; roynost 2-1 = 0 nast.ava jedinć pro z — 0.

Pfejdeme nyni k deleni komplexnich ćisel; ovćrime nejprve, zda komplexni ćisla maji i pośledni z vlastnosti uvedenych v ćlanku 1.1 pro ćisla realna, tj. zda ke każdemu komplexmmu ćislu z = a + b i, z / 0. existuje ćislo 2' = x + y i takove, że 2 • z' = 1. (Ćislo 2' se nazyva

prevracene ćislo k ćislu 2, z' = - . )

z

Existuje-li takoveto ćislo z' = x + yi, plati (o + &i)(£ + yi) = 1;

yynasobenim teto rovnice ćislem z = a — bi dostaneme (a - 6i)[(a + bi)(x + yi)] = a - M, a protoże nasobeni komplexnich ćisel je asoeiativni, plati też [(o - bi)(a + 6i)](x + yi) = a — bi

neboli

(a² + b²) (z 4- yi) — a - bi.

Protoże ćislo a² + b² je nenulove (nebot’ z ^ 0), dostavame odtud

x + yi

1

(a — bi) =

nr +

a² + b² ~^v a² + b² a² + b² Exist.uje-li tedy ćislo z' dane vlastnosti (coż zatim nevime), musi byt,

, a    —b

^{Z =} o² + b² + a² + b² 15

existence hledaneho ćisla z' budę dokazana aź tehdy, kdyź zjistime, że pro ćislo z', ktere jsme pravć urćili, plati, że jeho soućin s ćislem z — (i bi je roven jedne. Proved’te si tento jcdnoduchy vypoćet sami; zjistite, że tato rovnost, opravdu plati.

Tim je dokazano, że ke każdemu komplexnimu ćislu z / 0 existuje ćislo prevracene. To, że prevracene ćislo k ćislu a + bi / 0

je ćislo ——t—— i, si nemusime pamatovat; urćime je snad-a² + b² a² + b²

no zpusobem, ktery si ukażeme zanedlouho. Poznamenejme jeśte, że k ćislu 2 = 0 prevracene ćislo z¹ neexistuje: rovnice 0 • z' = 1 neni splnena pro żadne komplexni ćislo z'.

Na zaklade teto vlastnosti se zavadi dćlcni komplexnich ćisel, a to stejnym zpusobem jako u ćisel realnych:

Podil — komplexnich ćisel z\, z-_z / 0 je soućin ćisla z_v a ćisla

22

,    „    .    , ,    . Zł    1

pfevraceneho k cislu 22, tj. — = 21 • — •

22    22

Poznamka. Uvedomtc si, źe ani v obora komplexmch ćisel nelze delit nulou, nebot’ k nule neexistuje Cisło prevracene.

21