293 (8)

W 01

11.2.1. Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie (III)

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie: /'(*„

_lgólnymprzypudku y =/(*); *₀e D,

y = x ;x₀= 2

rfjt)“/(*») dąży ,

!—T=^    *-*    i |^x°>

Wtedy: Aa: - 0

/(*W(*o)

A = {x,y)-'A„=(x₀,y_l>) sieczna AA₀ - stycznej w A₀

O-kąt

siecznej

iOX'

— kąt stycznej z OX*

i fi-kąt nachylenia stycznej w A₀ do OX*

| Granicznym położeniem siecznej AA_a } jest styczna do wykresu w punkcie A₀. j Zatem f'(x₀) = tg <p= współczynnik kie-' tankowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie A₀= (A:₀,y₀), czyli w punkcie I oodciętej Xp Styczna do wykresu funkcji y=/(x)wA:₀w(A₀)ma równanie:

y */'(*.) ^{x + n}’

gdzie n =/(a:₀) -x₀/'(a:₀).

Po przejściu granicznym dla x — H = 2, sieczna M₀ — stycznej w punkcie A₀ = (2; 8) Styczna do wykresu funk-cji y-^wr₍= 2jest nachylona do OX' pod kątem (p takim, że tg p=/'(2); w 11.2.1a4-a5 była obliczana pochodna funkcji y = x³ wx„= 2: /'(2) = 12 > 0 ę> - kąt ostry. Styczna do wykresu funk-cji y = x³ w x₀= 2 ma równanie: y= 12a:- 16.

w przykładach z 11.2.la.

Po przejściu granicznym dla x S x₀ = i sieczna AA₀ — stycznej w punkcie A₀= 13, I Styczna do wykresu funkcji 11 y w x₀ = 3 jest nachylona do OX* pod kątem <p takim, że Igę =/'(3); w 11.2.1a4-a5 była obliczana pochodna funkcji y = iwXo=^3:/'(³)=-^^<0 ę - kąt rozwarty.

Styczna do wykresu funkcji y = -j- w x₀= 3 ma równanie:

■sSi

11. CIĄGŁOŚCI POCHODNA FUNKCJI

(2) Interpretacja Fizyczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji punkcie:

Niech na przykład s = s(l) = oznacza drogę s, jako funkcję czasu t.

|    Aj(/)

waz różnicowy: u =

A t

Mwdna funkcji w f₀: s' (f₀) = lim-

prędkość średnia

- = prędkość chwilowa w chwili /„

(3) Interpretacja ekonomiczna ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji punkcie:

Niech na przykład K = K(x) oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego dobra.

Iloraz różnicowy: u =

A K(:

średni koszt wytworzenia każdej z dodatkowych jednostek Pochodna funkcji w punkcie x₀: K'(.,v„) = koszt krańcowy przy poziomie produkcji x₀jednostek 'I Równanie stycznej do wykresu funkcji y = / (x) w punkcie (x₀;/(x₀))mu postać: y ~f(x₀) = /'(*₀)(* ~ xA