298 (10)

11.3.2. Zwiqzek pochodnej funkcji z monotonicznościq i ekstremum funkcji (II)

(2) Warunek wyslarcząjący do istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x_v różniczkowalna w jego sąsiedztwie i pochodna funkcji w sąsiedztwie tego punktu zmienia znak:

V

zachowanie funkcji/:    ^    \

zachowanie pochodnej/':    +    ,    ~

Xq X

zachowanie funkcji /:    Na    ^

zachowanie pochodnej/':    —    +

X, X

I

lub

z dodatniego na ujemny to w ,v jest maksimum

Iz ujemnego na dodatni, to w jc₀ jest minimum

Czyli:

sąsiedztwie punktu x_a sąsiedztwie punktu x„ funkcja rośnie//’) funkcja maleje/n)

(w lewym    (w prawym

sąsiedztwie punktu x₀ sąsiedztwie punktu x₀ funkcja maleje/x)    funkcja rośnie//’)

Wtedy (wX. jest max)r„ =

Wtedy (w x_a jest min) x₀ = x_mm

Wtedy wx₀ jest ekstremum (lokalne)

Uwaga: Przez sąsiedztwo punktu x₀ należy rozumieć sumę przedziałów:

(x₀- cr;x₀) U (x₀;x₀+ cr), dla <J > 0 lewe sąsiedztwo x₀    prawe sąsiedztwo x₀

x₀-a    x₀    x₀ + <r

(por. pojęcie otoczenia punktu x₀: 4.6.Ib.)

	Y		II
\ \			/ # /
/': + + *• Pochodna nie zmienia znaku.		yy
więc wx, = 0 nie ma ekstremum (spetniony jest bowiem tylko warunek konieczny na ekstremum).	71	X

Oczywiście, gdy w sąsiedztwie (lewym i prawym) punktu x_Q pochodna nie zmienia znaku, to w punkcie x₀ nie ma ekstremum, na przykład y = x³, y' = 3x², y' = O <=» x = 0. Punkt x = 0 jest punktem przegięcia wykresu funkcji y = x³.