292 (10)

11. Ci q g łoić I pochodna fonkcfł

Ili CIĄGŁOŚCI POCHODNAFUNKC

11.2.1. Pojęcie pochodne! funkcji w punkcie (II)

b) Definicja pochodnej funkcji w punkcie jc₀G D_f\ symbol y'(x₀):

f'(x₀) = lim

f(x)-f(xo)

-^v “ ^vo

( 1) Pochodna lewostronna:

r f ^    A*)

f-(^xo)⁼ ,im-x-X_a-

(2) Pochodna prawostronna:

/(*) -/(•*„)■

. o ile granica istnieje i jest właściwa

. o ile granica istnieje i jest właściwa

, o ile granica istnieje i jest właściwa

^x ~^xo

c)    Pojęcie funkcji różniczkowalnej:

(1)    Funkcja różniczkowalna w punkcie to taka. która ma w tym punkcie pochodną.

(2)    Funkcja różniczkowalna w przedziale otwartym (a;6)to taka, która ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału.

(3)    Funkcja różniczkowalna w przedziale domkniętym (a;/>) to taka, która jest różniczkowalna w przedziale otwartym (a;ft) oraz jest prawostronnie różniczkowalna w lewym końcu przedziału (a)i lewostronnie różniczkowalna w prawym końcu przedziału (£»).

(4)    Różniczkowanie to obliczanie pochodnej funkcji.

d)    Związek różniczkowalności z ciągłością funkcji w punkcie:

(/ — różniczkowalna w punkcie x_Q) => (/ — ciągła w punkcie x_Q) c) Różne interpretacje pochodnej funkcji w punkcie:

(1) Interpretacja geometryczna: ilorazu różnicowego oraz pochodnej funkcji w punkcie.

Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego: u =

^A/(*)

A*

w ogólnym przypadku y — f (jc); -x₀e ^t

cc — kąt nachylenia siecznej AA_Q do OX * Iloraz różnicowy:

A/(jc)

u — —^— = tg Ct = współczynnik kierunkowy siecznej AA₀ wykresu przechodzącej przez punkty A₀ = (x₀;y₀) i A = (jc./(x».

Sieczna AA₀ ma równanie: y = ux + b, _ A/(x)

w przykładach z 11.2.la.

3 y = *	xQ= 2	y = i*^x 0= ^3>
y‘ 27	j	Y‘
		2 A/(x)
			^ 3 \A-2
s—	j 2 3 X
/y —*^3	*	\
Ax > 0, A/(x) > 0		Aa- < 0, A/(x) > 0

gdzie u = zaś b = y_Q- ux_t

Ax

^A/(*) _ 19 ^ ₀

“ = ——~r ^> 0

dla x = 3:w=^p- = tg« cc — kąt ostry Prosta AA₀ to sieczna wykresu y = x³ przechodząca przez punkty A₀=(2;8)iA = (3; 27). Sieczna AA_(i ma równanie: y = 19 x — 30; u - 19.

A f(x)    «

u = ------ =- 4 < O

A.v    3

dla x = -5-: u —

5

ar — kąt rozwarty Prosta to sieczna wykresu

>• = Y przechodząca przez

punkty A₀ = (3:4)i A = (4-^:2)*

Sieczna ma równanie:

2    7    2

y = - _T .v + _T: u = - x