291 (7)

11.2. PODSTAWOWI WIADOMOŚCI O POCHODNYCH

11.2.1. Pojęcie pochodnej funkcji w punkcie (I)

H^cia wstępne prowadzące do zdefiniowania pochodnej funkcji w punkcie .v₀.

¹j^fflcgólne etapy konstrukcji (teoretycznej) pochodnej funkcji w punkcie są umieszczone pluwane przykładami rachunkowymi.

w tabeli oraz

Konstrukcja teoretyczna

Przykłady rachunkowe

SC

Dana jest funkcja f\D.~ /?,*„€ D_f- ustalony

f :R — R, y = x\x= 2

f-R\{ 0} R\{ o}. y = b^x o=³

Przyrost argumentu od jt₀ do h = Ax = x-x_a,x^x₀

Ax

x,(t,<x)x

ix>0

x (x <x_a) x„ Ax <0

x = x.+ Ax

Przyrost wartości funkii odpowiadający przyrostowi argumentu:

A/(*) =/(*)-/(*«>) =

=f(x₀+Ax)-f(x₀)

0    2 x

a*-*-2(> 0)

Y
'=/(■*) =*^J	----ly-x
A/W	J\
y«-8	-.JĄ*,*) ^/Ax^x
1	xa=T^Jx X

y₀=f(*o)=f(²) = 2³=*

Af(x) = x³- 8

0 x    3

Ar-x-3(< 0)

A/(x) = l-y

Iloraz różnicowy

Af(x) przyrost wartości funkcji

A* przyrost argumentu

jc -8 x-2

i _ I

i_i

x — 3

11. CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI

Granica ilorazu różnicowego przy Az - 0 (czyli x — *„):

f(^x)~f{^xo)

J'jn - z'-—- =

/(*o ^{+ A}*)-/(*o)

=lim-t-

Ax-o    Ax

Pochodna funkcji w punkcie x₀ Istniejąca, właściwa granica ilorazu

różnicowego dla x — x₀ jest pochodną funkcji w punkcie x₀:

m aj-o Ax

=lim^A:²+ 2x + 4 \ = 12 granica właściwa

f(x)=x\x₀= 2;

/'(2) = 12

pochodna funkcji y = w punkcie x₀- 2

jest równa 12

£3 x-3 "i-"3x    9

granica właściwa

p§=ł^-₀=3;

/'(3)=-i

pochodna funkcji y = y w punkcie x₀= 3

jest równa - p