3582324342

Zestaw 2

1. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem:

(a)    / (x, y) = x² - xy 4- y² - 2x 4- y,

(b)    / {x, y) = 2a:⁴ 4- y⁴ - z² - 2y²,

(e) / (^, y) = ■    -    ——5—

6 4- X² + 2x + y² — 4y

(d)    / (a:, y) = x² 4- xy 4- y² —4 Ina: — 10ln x,

(e)    =

(f)    /(z,y) = x³ + y³ - 3azy,

(g) / (ar, y, z) = x 4- 2y + 2* 4- —j— 4-    4-

x+y y + z z

np*    yp    2

(h) / (a:, y, z) = z 4- -7—I---1- - dla x > 0, y > 0, z > 0.

4x    y    z

2. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji:

(a)    / (x, y) = 2z 4- 3y przy warunku a:² 4- y² = 1,

(b)    / (z, y)    = z² 4- 12zy 4- 2y² przy warunku 4z² 4- y² =    25,

(c)    / {x, y)    = x — 2y 4- 2z    przy warunku x² 4- y² 4- z² =    1,

(d)    / (ar, y) = z + y przy warunku 4-    ,

+c *y a

, ,    ,    1    1    ,111

(e)    / (a:, y)    = - 4- - przy    warunku 4- -= =

x y    x² y² 4

3.    Spośród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2a znaleźć ten, którego pole jest największe.

4.    Na elipsie opisać trójkąt o najwększym polu o podstawie równoległej do osi elipsy.

5.    Zadaną liczbę a > 0 rozłożyć na sumę czterech składników tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza.

6.    Zadaną liczbę a > 0 przedstawić w postaci iloczynu czterech czynników dodatnich tak, aby ich suma była najmniejsza.

7.    Znaleźć odległość między parabolą y = x² i prostą x — y — z = 0.

8.    Wyznaczyć współrzędne punktów leżących na okręgu (x — 6)² 4- (y — l)² — 25, których odległość od punktu A — (0, —7) jest ekstremalna.

1