3582324348

Zestaw 2

1.    Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji danej wzorem:

(a)    / {x, y) = x² - xy + y² - 2x + y,

(b)    / (x, y) = 2a:⁴ + y⁴ - z² - 2^²,

(■0/(«■»)--,_+ł,_+!^_+>,._v

(d) / (*, y) = a;³ + y³ - 3aary,

(«) / (*, y,z) = z + 2y + 2z-\--;--1--;--h

x+y y + z z

np*    yp    2

(f) / (a;, y, z) — x + -_A—I---1- - dla x > 0, y > 0, z > 0.

4x    y    z

2.    Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji:

(a)    / (x, y) — 2x 4- 3y przy warunku x² + y² — 1,

(b)    / (a:, y) — x — 2y + 2z przy warunku x² + y² + z² = 1,

(c)    f{x,y)=x + y przy warunku \    \    \ ,

x*    y a*

(d)    / (a:, y, z) — xyz przy warunkach x 4- y + z = 0 i x² + y² + z² = 1.

3.    Spośród wszystkich trójkątów o danym obwodzie 2a znaleźć ten, którego pole jest największe.

4.    Na elipsie opisać trójkąt o najwększym polu o podstawie równoległej do osi elipsy.

5.    Zadaną liczbę o > 0 rozłożyć na sumę czterech składników tak, by suma ich kwadratów była najmniejsza.

6.    Zadaną liczbę o > 0 przedstawić w postaci iloczynu czterech czynników dodatnich tak, aby ich suma była najmniejsza.

7.    Znaleźć odległość między parabolą y — x² i prostą x — y — z = 0.

8.    Wyznaczyć współrzędne punktów leżących na okręgu (x — 6)² + (y — l)² — 25, których odległość od punktu A — (0, —7) jest ekstremalna.

9.    Znaleźć odległość między prostymi kil zadanymi równaniami: k : x = 2 4-1, y = 2t, z = 1 4-1; t £ M,

l: x — 3 4- 2s, y = 2 4- s, z = 1 4- 3s; a € K.

10. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji / w obszarze D:

(a) / (z, y) = x² 4- xy, D = {(*, y) e M² : x² < y < 4},

1