672581054

0.3.3 Łańcuchy Markowa, rekurencje

Przykład 0.3.4 (Łańcuch Markowa o 2 stanach). Załóżmy, że na rynku są dwa typy pasty do zębów: o, b. Klienci kupują przy każdym następnym zakupie pasty ten sam typ z prawdopodobieństwem 3/4 oraz inny typ z prawdopodobieństwem 1/4. Załóżmy, że fk procent klientów przy k-tym zakupie kupuje typ pasty a. Wyliczamy kolejne wartości fk dla k > 1, zakładając, że fi = 1/3. Zachodzi

fk = (3/4)/fc_, + (1/4) (1 - fk-i) oraz f_k -* 1/2, gdy k -> oo.

0.3.4 Rekurencje

Przykład 0.3.5 (Ruina gracza). Rozważmy grę, w której wygrywamy 1 z prawdopodobieństwem p € (0,1), przegrywamy 1 z prawdopodobieństwem q = 1 —p. Zaczynamy mając 50 i kończymy mając 100 lub gdy stracimy wszystko. Wyliczamy prawdopodobieństwo zakończenia gry mając 100. Zachodzi rekurencja

cii = pai+i + qa,-i

dla di prawdopodobieństwa, że kończymy mając 100, przy kapitale początkowym 1 < i < 99, przy czym do = 0, aioo = 1. Otrzymujemy

°* ⁼ (2)ioo _

Wprzypadku ruletki p = 18/38 = 0.4736, wtedy aso = 0.005127(ok. 5 razy na tysiąc gier wygramy).

Przykład 0.3.6 Grześ i Andrzej kolejno rzucają monetą. Jeśli wypada orzeł wygrywa Andrzej i dostaje od Grzesia 1, jeśli wypada reszka wygrywa Grześ i dostaje od Andrzeja 1. Początkowo Grześ ma 50, Andrzej 25. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko? Niech m oznacza prawdopodobieństwo, że Andrzej straci wszystko, w sytuacji gdy Grześ ma i , a Andrzej 75 — i, dla 1 < i < 74. Przyjmujemy do = 0,075 = 1. Zachodzi rekurencja

di = (l/2)oi+i + (l/2)oi_!

Znajdujemy di = i/75. Stąd Andrzej przegra z prawdopodobieństwem 50/75=2/3.

0.4 Rozkłady

0.4.1 Zmienne losowe

Definicja 0.4.1 Niech Q będzie zbiorem przeliczalnym. Funkcję X : Cl —* R nazywamy rzeczywistą zmienną losową.

Definicja 0.4.2 Dla zmiennej losowej X przyjmującej wartości całkowite, ciąg px(i) — P(X = i) nazywamy funkcję prawdopodobieństwu zmiennej losowej X (i € Z).

Każdy ciąg liczbowy {p(i)}iez o własnościach

1. 0 <p(ś) < l,i€ Z ²- EiezPi*) = ¹