Politechnika Gdańska Wydział Budownictwa Lądowego

Katedra Fizyki Technicznej Rok akademicki 1997 / 98

i Matematyki Stosowanej

Laboratorium z FIZYKI

Temat: Badanie elipsoidy bezwładności bryły sztywnej za pomocą wahadła skrętnego

Grupa 2 Rzodkiewicz Michał

Wstęp

Doświadczenie polega na zbadaniu elipsoidy bezwładności i sporządzeniu jej wykresu. Posługujemy się przy tym wahadłem skrętnym, zwanym także torsyjnym dla którego zastosowanie mają poniższe wzory.

Równanie ruchu układy ma postać:

gdzie: I₀ - moment bezwładności pustej ramki,

I_i - moment bezwładności bryły względem badanej osi,

α - kąt obrotu ramki,

D - moduł sztywności drutu.

Okres drgań skrętnych układu jest równy:

W celu dokonania pomiarów należy znaleźć amplitudę roboczą, tzn. taką dla której wartość okresu nie zależy od wychylenia.

Moment bezwładności układu mechanicznego względem nieruchomej osi jest wielkością fizyczną równą sumie iloczynów mas wszystkich n punktów materialnych układu i kwadratów ich odległości od osi:

gdzie: m_i - masa i-tego punktu materialnego,

r_i - odległość i-tego punktu materialnego od konkretnej osi.

Moment bezwładności bryły ciągłej obliczamy zastępując sumowanie całkowaniem:

gdzie: ρ - masa właściwa ciała,

r - odległość elementu objętości od konkretnej osi.

Elipsoidę bezwładności rysujemy rysując jej przekroje w płaszczyznach O_xy,O_xz,O_yz. Wzdłuż każdego kierunku odkładamy odcinek:

gdzie: T_i - okres drgań ramki z badanym ciałem wokół konkretnej osi obrotu,

T₀ - okres drgań pustej ramki.

Obliczenia

1. Amplituda robocza

T₁ = 18,620 s α₁ = 60°

T₂ = 18,608 s α₂ = 30°

T₁ ≈ T₂ α_r = const = 30°

2. Długości odcinków na poszczególne osie (bryła 1).

T₀ = 1/30(T₀₁ + T₀₂ + T₀₃) = 0,94587 s

T_x = 1/30(T_x1 + T_x2 + T_x3) = 1,86087 s

T_y = 1/30(T_y1 + T_y2 + T_y3) = 1,86123 s

T_z = 1/30(T_z1 + T_z2 + T_z3) = 1,389 s

T_d = 1/30(T_d1 + T_d2 + T_d3) = 1,56 s

T_e = 1/30(T_e1 + T_e2 + T_e3) = 1,862 s

T_f = 1/30(T_f1 + T_f2 + T_f3) = 1,497 s

3. Długości odcinków na poszczególne osie (bryła 2).

Po analogicznych obliczeniach mamy:

a_x = 0,623

a_y = 0,666

a_z = 0,992

a_d = 0,817

a_e = 0,649

a_f = 0,896

Rachunek błędu

Obliczenia błędów

1. Bryła 1

Δa_x = 0,001

a_x = a_xo ± Δa_x = 0,624 ± 0,001

Δa_y = 0,001

a_y = a_yo ± Δa_y = 0,624 ± 0,001

Δa_z = 0,004

a_z = a_zo ± Δa_z = 0,983 ± 0,004

Δa_d = 0,003

a_d = a_do ± Δa_d = 0,806 ± 0,003

Δa_e = 0,001

a_e = a_eo ± Δa_e = 0,624 ± 0,001

Δa_f = 0,001

a_f = a_fo ± Δa_f = 0,624 ± 0,001

2. Bryła 2 - analogicznie

a_x = a_xo ± Δa_x = 0,624 ± 0,001

a_y = a_yo ± Δa_y = 0,624 ± 0,002

a_z = a_zo ± Δa_z = 0,983 ± 0,005

a_d = a_do ± Δa_d = 0,806 ± 0,003

a_e = a_eo ± Δa_e = 0,624 ± 0,002

a_f = a_fo ± Δa_f = 0,624 ± 0,003

Wnioski

Zastosowanie fotokomórki pozwoliło na znaczne zwiększenie dokładności pomiaru okresu, co na pewno ma wpływ na przebieg elipsoidy. Gdybyśmy znali wartość modułu sztywności pręta na którym wisiała ramka moglibyśmy wyliczyć wartości momentów bezwładności na poszczególne osie.

1

2

---