1. Zdarzenie losowe
- zb. Zdarzeń losowych

Aksjomat 1. - niepustość

Ω 
Ω- jest zdarzeniem losowym

Aksjomat 2: komplementarność

A 
→ ^` = (Ω-A) 

Aksjomat 3: -przeliczalnej addytymności

A_1, A_2, A₃ ... 
→ A₁ ∨A₂ ∨ A₃ ∨ = (_i=1υ^∞ A_i ) 

2.Prawdopodobieństwo to pewna funkcja określona na zbiorze zdarzeń l losowych o warosciach rzeczywistych

Aksjomat 1. - niepustość

Ω 
Ω- jest zdarzeniem losowym

Aksjomat 2: komplementarność∨

A 
→ ^` = (Ω-A) 

Aksjomat 3: -przeliczalnej addytymności

A_1, A_2, A₃ ... 
→ A₁ ∨A₂ ∨ A₃ ∨ = (_i=1υ^∞ A_i ) 

Aksjomat 4: A 
→ P( > 

Aksjomat 5: P(Ω) =1

Aksjomat 6: def. A.N.Kołmogorowa

A_{i ∧} A_j ≠0 i ≠ j

P(A₁ ∧ A₂ ∧A₃ ∧ ....)= P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) +...

3.Geometryczna def. Prawdopodobieństwa

Ω - jest tworem geometrycznym o skończonej mierze m

Zdarzenie losowe to każdy mierzalny podzbiór Ω. Prawdopodobieństwem zdarzenia A jest miara zbioru A miara zbioru Ω P(A)= m(A)/m(Ω)

4. Zmienna losowa X,Y X jest zmienną losową, gdy jest funkcją
mierzalną, określoną na zbiorze
o wartościach rzeczywistych
→ R

mierzalna

zdarzenie elementarne

X(
) - wartość funkcji X w punkcie

mierzalna - dla każdego x rzeczywistego, zbiór tych argumentów (
), dla którego wartość funkcji jest mniejsza od x to musi należeć do zbioru

xR {
: X(
) < x } 
ten zbiór musi być zdarzeniem losowym

5. Dystrybuanta - to funkcja F określona na zbiorze liczb rzeczywistych o wartościach rzeczywistych.

F, F_x : R → R F(x)=P({
: X(
) < x }) = P( X < x )

Właściwości:

- dla każdego X rzeczywistego, F(x) jest między 0 a 1

xR 0
F(x)
1

- F(x) jest funkcją niemalejącą

jeżeli x₁ < x₂
F(x­₁)
F(x₂)

- Funkcja F(x) jest przynajmniej lewostronnie ciągła ( uwaga: jeśli w definicji zmiennej losowej przyjmiemy znak
to należy użyć słowa prawostronnie )

- lim x→ - F(x) = 0, lim x→  F(x) = 1

- x₁<x₂ P ( x₁
X < x₂ ) = F(x₂) - F(x₁)

6. Typy zmiennych losowych

- dyskretne (skokowe)

- ciągłe - absolutnie ciągłe

- syngularne

7. Funkcja gęstości

Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły jeśli istnieje nieujemna, całkowalna funkcja f(x) taka że dystrybuanta F(x) jest w postaci:

wykres jest linią ciągłą

f(x) - funkcja rozkładu gęstości rozkładu prawdopodobieństwa, częstotliwość występowania wartości X.

Szybkość zmiany dystrybuanty

f(x) to pochodna F'(x) wszędzie tam gdzie ta pochodna istnieje

f(x) = F'(x)

Lim x→  F(x) = 1

Lim_{x→ } =

=
= 1

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f(x)
0, jest całkowalna oraz
= 1 to istnieje
,
, P takie, że f(x) jest funkcją gęstości pewnej zmiennej losowej.

8. Wartość oczekiwalna

E[X] = EX Σ x_i p_i

∫ x f(x)dx

Własności wartości oczekiwanej

1. wartość oczekiwana od stałej = stałej

E(c)=C

2. wartość oczekiwana od cX = wartość oczekiwana

E(cX) = cEX

3. wartość oczekiwana sumy

E(X+Y) = EX + EY

4. wartość oczekiwana różnicy

E(X-Y) = EX - EY

5. wartość oczekiwana iloczynu

E(XY) = EX * EY jeżeli zmienne losowe są niezależne

6. wartość oczekiwana pewnej funkcji h

E[h(X)] = Σ h(x_i)p_i x - dyskretne

∫ h(x)f(x)dx dx - absolutnie ciągłe

Obliczanie wartości oczekiwanej dla rozkładu wykładniczego

f(x)= 0 x≤0

λe^-λx x≥0

E(x) = 1/λ

Obliczenie wartości oczekiwanej dla rozkładu normalnego

Jeżeli X ma rozkład normalny N(μ,a), wartość oczekiwana EX = μ

Obliczanie wartości oczekiwanej dla rozkładu jednostajnego

0 x<a

f(x) = 1/(b-a) a≤x≤b

• x>b

EX=_-∞∫^∞xf(s)dx=_-∞∫^ax0dx+_a∫^b(1/(b-a))dx+_b∫^∞x0dx=1/(b-a) _a∫^bxdx=
=(1/(b-a))(x²/2)_a^b=(1/2)(1/(b-a))(b²-a²)=((b-a)(b-a))/2(b-a)=(a+b)/2

9.Wariancje zmiennych losowych - kwadrat odchylenia (błędu)

- 2 moment zwykły

σ²=Var(X)=D²(X)=E(X-EX)²=E(X²) -(EX)²

- 1 moment zwykły

VarX=E[(X-EX)²]= Σ_i (x_i-EX)²p_i x - dyskretna zmienna losowa

_∞∫^∞ (x-EX)²f(x)dx x - absolutnie ciągła zm. los.

Własności:

1. VarX≥0

2. VarC=0

3. Var(cX)=c²VarX

4. Var(X+Y)=VarX+VarY

5. Var(aX+b)=a²VarX

Odchylenie standardowe zmiennej losowej σ

σ^def=√VarX

Współczynnik zmienności

σ/EX=√VarX/EX (σ/EX*100%)

10.Próba statystyczna - podzbiór x - taki ciąg zmiennych losowych o tym samym składzie (dystrybuancie F(x))

Populacja generalna X- zbiór wszystkich elementów posiadających pewną cechę. Jest zmienną losową o ustalonej dystrybuancie

F(x)=P(X<x), x∈R

Założenia

1. próba musi być dostatecznie liczna :

• mała n<30 (n≤30)

• duża n≥30 (n>30)

2. próba musi być losowa

3. próba powinna być reprezentatywna

11.Estymacja wymaga:

1. zgodności estymatora

Q_n jest zgodny z Q, jeśli dla każdego Ε>0 (l. Dodatnie)

lim P(|Q_n-Q|≥E)=0

^n→∞

2. 
   żądanie nieobciążoności estymatora

E(Q_n)=Q

3. 
   efektywność estymatora Var(Q_n)<Var(Q)

Estymacja punktowa

dla Q=EX x=1/nΣⁿ_i=1 x_i - zgodny, nieobciążony, najefektywniejszy

dla Q=VarX s²=1/nΣⁿ_i=1 (x_i-x_i) - zgodny, obciążony

s²=s²=1/(n-1) Σⁿ_i=1 (x_i-x)²- zgodny, nieobciążony

12 Estymacja przedziałowa

(g₁(α,Q_n), g₂ (α,Q_n)) - przedział ufności

P(g₁(α,Q_n)<Q<g₂(α.Q_n)) = 1-α (1-α -współczynnik ufności)

Model I

X ma rozkład naormalny N (μ, τ), przy czym wartość oczekiwana μ jest nieznane, ale odchylenie standardowe τ jest znane. Przedział ufności wyznaczamy wzorem:

P(x+ μ _α/2 τ/sqrt n < μ < x-μ _1-α/3 τ/sqrt n) =1-α

x - estym. Punkt. nieznanego parametru, μ _α/2, μ_1-α/2 - kwantyle rozkl. normal. N(0,1) odzczytywane z tablic przy czym μ_α/2 =μ_1-α/2

Model II

X ma rozkład normalny N (μ, τ), przy czym wartość oczekiwania μ oraz odchylenie standardowe τ są nieznane. Dysponujemy małą próbą n≤30

Przedział ufności:

P(x+t _α/2,n-1 S/sqrt n-1 < μ < x +t _1-α/2,n-1 S/sqrt n-1)=1-α

lub P(x+t_α/2,n-1 S*/sqrt n < μ < x +t _1-α/2,n-1 S*/sqrt n)= 1-α

t_α/2,n-1, t_1-α/2,n-1 -kwantyle rozkładu t-studenta odczytywane z tablic przy czym t_α/2,n-1 + t_1-α/2,n-1=0

Model III

X ma rozkład normalny N((μ, τ) lub dowolny inny, przy czym wartość oczekiwana μ oraz odchylenie standardowe τ są nieznane. Dysponujemy dużą próbą n>30

P(x + μ_α/2 S/sqrt n < μ< x+μ_1-α/2 S/sqrt n)=1-α

μ_{α/2 ,} μ_1-α/2 to kwantyle rozkładu normalnego N (0,1) odczytywane z tablic

13. Hipoteza statystyczna

To każde przypuszczenie dotyczące populacji X. Zawsze podajemy 2 hipotezy:

H₀ - hipoteza, która będzie weryfikowana

H₁ - hipoteza alternatywna (przeciwstawna)

Do weryfikacji hipotezy H₀ uzywamy tzw testy statystyczne

Decyzja\Ho prawdziwa fałszywa

uznaćHo decyzja słuszna błąd II rodzaju β

nie uznaćHo błąd I rodzajuα decyzja słuszna

Algorytmy są tak dopasowane aby zminimalizować błąd β. Sposób postępowania:

1. postepowanie 2 hipotez (Ho i H₁)

2. ustalenie poziomu istotności α

3. wyliczenie na podstawie wykonanej próby losowej wartości statystyki testującej

4. ustalenie tzw obszaru krytycznego R_α

5. podjęcie decyzji - jeśli wartość statyst. testującej należy do obszaru krytycznego to Ho odrzucamy zaznaczając za prawdziwą H₁(ryzyko niesłusznego odrzucenia Ho wynosi α). Jeśli wartość statyst. testującej nie należy do obszaru krytycznego to mowimy że nasze obserwacje są niesprzeczne z Ho (co nie musi oznaczac jej prawdziwosci)

14 Test dla wartości średniej

Model I

X ma rozkład normalny N(μ, τ),μ- nieznane, τ- znane

H₀: μ=m₀

H₁: (a) μ≠m₀, (b) μ< m_0, (c) μ>m₀

Statystyka testująca: μ = (x- m₀)/ τ sqrt n n-ilość elementów próby; m₀ konkretna, hipotetyczna wartość

1. R_α=(-∞,μ_α/2]∪[ μ_1-α/2, ∞)

2. R_α=(-∞,μ_α/2]

3. R_α=[μ_1-α/2, ∞)

Model II

X ma rozkład normalny N(μ, τ), μ, τ- nieznane, mała próba n<30

H₀: μ=m₀

H₁: (a) μ≠m₀, (b) μ< m_0, (c) μ>m₀

Statystyka testująca: t = (x- m₀)/ S sqrt n-1=(x- m₀)/ S sqrt n

1. R_α=(-∞, t_α/2,n-1] ∪[t_1-α/2, n-1, ∞)

2. R_α=(-∞, t_α/2,n-1]

3. [t_1-α/2, n-1, ∞)

TEST DLA DWÓCH ŚREDNICH

Model III

Badamy 2populacje o rozkładzie normalnym N(µ₁, δ_ i N(µ₂, δ_, µ₁i µ₂ są nieznane, ale δ_ =δ_ Dysponujemy wynikami 2niezależnych małych prób o ilościach n₁ i n₂.

H₀: µ₁= µ₂

H₂: (a) µ₁ µ₂ , (b) µ₁ µ₂, (c) µ₁> µ₂

Statystyka test.

(a)

(b)

(c)

---