Wartość oczekiwana (wartością przeciętną, wartością średnią, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej x typu skokowego o rozkładzie pi= P(x=xi) gdzie i ϵ {1,2,…} nazywamy liczbę

EX = $\sum_{i = 1}^{}\text{xipi}$

Przy założeniu że suma $\sum_{i = 1}^{}\text{xipi}$ jest skończona albo szereg nieskończony $\sum_{i = 1}^{\infty}{|xi|pi}$ jest zbieżny.

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej x typu absolutnie ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f nazywamy liczbę

EX = ∫_−∞^+∞xf(x)dx

Przy założeniu że całka ∫_−∞^+∞|x|f(x)dx jest zbieżna.

Własności wartości oczekiwanej:

- E(aX +b) = aEX + b, gdzie a,b ϵ R

- jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi losowymi, dla których istnieją wartości oczekiwane EX oraz EY, to E(X + Y) = EX + EY

- jeżeli istnieje E|X| to prawdziwa jest nierówność |EX| ≤ E|X|

- wartość oczekiwana jest miarą położenia, parametrem pozycyjnym: wskazuje punkt środkowy rozkładu, tzn. punkt, wokół którego grupują się wartości zmiennej losowej

- interpretacja fizyczna: wartość oczekiwaną można utożsamiać z pojęciem środka ciężkości, jeśli prawdopodobieństwa zinterpretujemy jako masy

UWAGA:
Jak wynika z definicji, wartość oczekiwana dla niektórych zmiennych losowych nie istnieje (odpowiedni szereg lub odpowiednia całka nie są zbieżne).

Odchylenie standardowe:

Odchyleniem standardowym nazywamy liczbę D(x) = $\sqrt{D^{2}(x)}$ gdzie D²(x) to wariancja.

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę:

D²(X)= E (X – EX)²

Jeżeli X jest zmienną losową typu skokowego o rozkładzie p_i= P( X=x_i), i ϵ {1, 2, …}, i wartości oczekiwanej EX= m, to:

D²(x) = $\sum_{i}^{}{{(x_{i} - m)}^{2}p_{i}}$

Jeżeli X jest zmienną losową typu ciągłego o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f i wartości oczekiwanej EX= m, to:

D²(x) = ∫_−∞^+∞(x−m)²f(x)dx.

Własności odchylenia standardowego:

- D(aX +b) = |a|D(x), gdzie a,b ϵ R

- D(x) ≥ 0 dla dowolnej zmiennej losowej x

- odchylenie standardowe jest miarą rozrzutu (rozproszenia) wartości zmiennej losowej