Komentarze do układów kombinacyjnych

• Slajd nr 5

Negacja (inaczej zaprzeczenie) to zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako:
(lub
). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nieprawda, że p. Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe.

Symbol negacji jako bramki logicznej:

Tablica prawdy (1 oznacza zdanie prawdziwe zaś 0 fałszywe):

p	¬ p
0	1
1	0

Złożenie dwóch negacji, daje w wyniku przekształcenie identycznościowe

Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).

• Slajd nr 6

Koniunkcja to zdanie złożone mające postać p i q , gdzie p, q są zdaniami. W rachunku zdań koniunkcję zapisuje się symbolicznie jako:
. Przez koniunkcję rozumie się też zdanie mające postać p(1) i ... i p(n). Koniunkcję można zdefiniować precyzyjniej jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p, q przyporządkowuje zdanie p i q

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z działaniem przekroju zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań za pomocą koniunkcji jest też nazywane iloczynem logicznym. Koniunkcję zdań uznaje się za prawdziwą wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania p, q są prawdziwe.

Symbol koniunkcji jako bramki logicznej:

Tablica prawdy (1 oznacza zdanie prawdziwe 0 zaś zdanie fałszywe):

0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Koniunkcja jest operacją dwuargumentową, i charakteryzuje się następującymi cechami:

• przemienność

• łączność

Do oznaczenia koniunkcji stosowany jest także angielski spójnik AND (symbol funkcji boolowskiej).

• Slajd nr 7

NAND (dysjunkcja) - dwuargumentowa funkcja boolowska (funktor logiczny) często przedstawiany symbolicznie jako
, a w poręczniejszej notacji jako pionowa kreska "|", który oznacza logiczną negację koniunkcji dwóch argumentów. Jego znaczenie przedstawia poniższa tablica prawdy:

A	B	A NAND B
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Przy pomocy funktora NAND można zdefiniować wszystkie pozostałe funktory klasycznego rachunku zdań ((łac. p aut q). Jest to twierdzenie amerykańskiego logika polskiego pochodzenia Henry Sheffera, które opublikował w 1913 roku w artykule 'A Set of Five Independent Postulates for Boolean Algebras, with Application to Logical Constants'. Wcześniej na identyczny pomysł wpadł amerykański filozof Charles Peirce (artykuł 'A Boolean Algebra with One Constant' z 1880 roku), lecz jego pomysł nie został dostrzeżony.

Inne funktory logiczne definiowane są w sposób następujący:

Realizacją operacji NAND w elektronice jest bramka logiczna NAND. Oznaczana jest symbolem:

• Slajd nr 8

Alternatywa (suma logiczna) - w logice to:

1. Działanie dwuargumentowe określone w dowolnym zbiorze zdań bądź w zbiorze funkcji zdaniowych, które zdaniom (funkcjom zdaniowym) p i q przypisuje zdanie (funkcję zdaniową) prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest przynajmniej jedno ze zdań (funkcji) p i q

2. Dwuargumentowy spójnik zdaniowy, oznaczany
   (łac. p vel q) o znaczeniu odpowiadającemu wyżej zdefiniowanemu działaniu określonemu w zbiorze
   . Od poprzedniej definicji różni się tym, że jest definiowany na poziomie syntaktycznym, dzięki czemu unika się określania jego dziedziny.

3. Zdanie logiczne postaci
   , gdzie p i q są zdaniami.

Przez alternatywę rozumie się również zdanie mające postać p₁ lub p₂ lub ... lub p_n, które ma sens z powodu łączności tego działania. Alternatywę można zdefiniować bardziej formalnie jako dwuargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które zdaniom p,q przyporządkowuje zdanie p lub q i jest to funkcja boolowska.

Najbardziej powszechnie, alternatywa to dwie wykluczające się możliwości lub sytuacja wymagająca wyboru pomiędzy dwiema możliwościami.

Działanie to pozostaje w ścisłym związku z dodawaniem zbiorów (patrz algebra zbiorów). Dlatego zdanie utworzone z innych zdań przy użyciu alternatywy jest też nazywane sumą logiczną. Alternatywa jest prawdziwa, jeżeli którekolwiek z jej zdań składowych jest prawdziwe. W przeciwnym razie alternatywa zdań jest fałszywa.

Symbol alternatywy jako bramki logicznej:

Tablica prawdy dla alternatywy (0 oznacza zdanie fałszywe, 1 - zdanie prawdziwe):

p	q	p v q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Alternatywa jest:

• przemienna

• łączna

W językach programowania dla oznaczenia alternatywy używany jest często angielski spójnik OR. W języku C/C++ i pochodnych oznacza się ją przez " | | ".

• Slajd nr 9

NOR (binegacja)- funkcja boolowska realizująca zaprzeczoną sumę logiczną (NOT OR) - jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba składniki są fałszywe.

NOR jest równoważna negacji sumy logicznej

a NOR b = NOT (a OR b)

NOR jest również równoważna iloczynowi negacji logicznych

a NOR b = (NOT a) AND (NOT b)

Symbol zaprzeczenia alternatywy jako bramki logicznej:

Tablica prawdy:

A	B	A nor B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Za pomocą funkcji NOR możemy zdefiniować negację:

NOT a = a NOR a

alternatywę:

a OR b = NOT ( a NOR b) = ( a NOR b) NOR ( a NOR b )

koniunkcję:

a AND b = NOT (( NOT a ) OR ( NOT b )) = ( NOT a ) NOR ( NOT b ) = ( a NOR a ) NOR ( b NOR b )

czyli dowolną funkcję logiczną. Dlatego też ta funkcja jest ważna (podobnie jak NAND).

• Slajd nr 10

Alternatywa wykluczająca (alternatywa rozłączna, różnica symetryczna, suma modulo 2, kontrawalencja, XOR, exclusive or, EOR) to logiczny funktor zdaniotwórczy (dwuargumentowa funkcja boolowska) . Różnica symetryczna zdań
jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jedno ze zdań p,q jest prawdziwe:

Innym oznaczniem jest
.

Tablica prawdy alternatywy wykluczającej:

p	q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Przy użyciu funkcji XOR dla więcej niż dwóch argumentów wynik jest prawdziwy gdy nieparzysta liczba argumentów jest prawdą.

W informatyce operację alternatywy wykluczającej stosuje się do par liczb naturalnych wykonując operacje na cyfrach zapisów binarnych tych liczb. Np.:

7 ^ 5 =      (w językach C/C++ alternatywę wykluczającą oznaczamy za pomocą symbolu ^)

= 0000111₂ ^ 00000101₂ =   (liczby w systemie binarnym)

= 0000010₂ =    (efekt operacji na kolejnych cyfrach)

= 2     (wynik w postaci dziesiętnej)

Ciekawe jest to, że dwuargumentowe działanie XOR zadaje na zbiorze, w którym jest określone, strukturę grupy abelowej. Dotyczy to w szczególności opisanej wyżej implementacji liczb naturalnych w języku C.

W szczególności:

• Operacja XOR jest przemienna:

• Operacja XOR jest łączna:

• Istnieje element neutralny; jest nim 0:

• Dla każdego elementu istnieje element odwrotny; jest nim ten sam element:

• 
  

Warto pamiętać też że:

Godny zauważenia jest także fakt iż

(nierówność trójkąta), co w połączeniu z przemiennością powoduje iż operacja XOR spełnia aksjomaty metryki.

• Slajd nr 14

Sprawdzenie poprawności podłączenia układu:
Pierwszym etapem sprawdzenia słuszności schematu jest takie nadanie sygnałów na wejściach A, B, C, D, E aby sygnał na wyjściu miał wartość 1:

Aby na wyjściu był sygnał 1 na wejściach mogą być następujące sygnały:

A - 1

B - 1

C - 1

D - 0

E - 1

Po wykonaniu podłączenia schematu na płytce i podłączeniu diody do układu jesteśmy wstanie stwierdzić poprawność podłączenia schematu czego potwierdzeniem jest zaświecenie się diody.

---