PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWE

1. PODSTAWOWE OKREŚLENIA.

1.1. DEFINICJA. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad tym samym ciałem K. Odwzorowanie F: V → W nazywa się odwzorowaniem liniowym (lub homomorfizmem przestrzeni wektorowych), jeśli :

(L1) F(v₁ + v₂) = F(v₁) + F(v₂),

(L2) F(av) = aF(v),

dla dowolnych v, v₁, v₂ ∈ V oraz a ∈ K. Symbolem Hom(V,W) oznaczamy zbiór wszystkich homomorfizmów z V w W. Homomorfizmy z przestrzeni V w V nazywamy operatorami na przestrzeni wektorowej V.

TWIERDZENIE. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K oraz F: V → W . Wtedy F jest odwzorowaniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy F(a₁v₁ + a₂v₂) = a₁F(v₁) + a₂F(v₂), dla dowolnych v₁, v₂ ∈ V oraz a₁, a₂ ∈ K.

TWIERDZENIE. Niech V oraz W będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K oraz niech dodawanie elementów w Hom(V,W) i mnożenie elementów przez skalary będą zdefiniowane następująco:

(F + G)(v) = F(v) + G(v); (aF)(v) = aF(v),

dla v ∈ V oraz a ∈ K. Wtedy (Hom(V,W),+, K) jest przestrzenią wektorową nad ciałem K.

1.2. TWIERDZENIE. Niech V, V', V'' będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K, a ∈ K, F, G ∈ Hom(V,V') F', G'∈ Hom(V',V''). Wtedy:

1. F'*F∈ Hom(V,V''),

2. jeśli istnieje odwzorowanie odwrotne do F, F^-1: V' → V, to F^-1∈ Hom(V',V) ,

3. F'*(F + G) = F'*F + F'*G,

4. (F' + G')*F = F'*F + G'*F,

5. (aF')*F = F'*(aF) = a(F'*F),

6. jeśli F^-1 oraz F'^-1 istnieją, to (F'*F)^-1 istnieje oraz (F'*F)^-1 = F^-1*F'^-1.

TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V'), A ⊆ V, A' ⊆ V'. Wtedy

1. F(L(A)) = L(F(A)),

2. F^-1(L(A')) ⊇ L(F^-1(A')).

WNIOSEK. Niech F∈ Hom(V,V'). Wtedy

1. jeśli W < V, to F(W) < V' oraz dimF(W) ≤ dimW,

2. jeśli W' < V', to F^-1(W') < V.

1.3. DEFINICJA. Homomorfizm liniowy posiadający odwzorowanie odwrotne nazywa się izomorfizmem przestrzeni liniowych. Mówimy, że przestrzenie wektorowe V i V' są izomorficzne , jeśli istnieje izomorfizm V na V'. Izomorfizmy przestrzeni wektorowej V na siebie nazywamy automorfizmami.

PRZYKŁAD. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K, B = (v_1, ...,v_n) baza V. Wtedy M_B: V → M_n(K), M_B(v) = , gdy v = x₁v₁ + ... + x_nv_n, jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych oraz M_B^-1= x₁v₁ + ... + x_nv_n.

2. JĄDRO I OBRAZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO.

2.1.DEFINICJA. Niech F∈ Hom(V,V'). Jądrem przekształcenia liniowego F nazywamy zbiór kerF := F^-1(0) = {v ∈ V: F(v) = 0}. Obrazem przekształcenia liniowego F nazywamy zbiór ImF = {u ∈ V': istnieje wektor v ∈ V, taki że F(v) = u}.

TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V'). Wtedy:

1. KerF jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V,

2. ImF jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V'.

2.2. TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V'). Wtedy następujące warunki są równoważne:

1. F jest różnowartościowe,

1. KerF = {0},

2. dla dowolnego liniowo niezależnego układu (v₁,...,v_k) wektorów z przestrzeni V układ (F(v₁),...,F(v_k)) jest liniowo niezależny,

3. istnieje baza B = (v₁,...,v_n) przestrzeni wektorowej V, taka że układ F(B) = (F(v₁),...,F(v_n)) jest liniowo niezależny.

TWIERDZENIE. Niech V, V' będą przestrzeniami wektorowymi nad ciałem K, B = (v₁,...,v_n) będzie bazą przestrzeni wektorowej V, oraz v'₁,...,v'_n ∈ V'. Wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm F: V → V', taki że F(v_i) = v'_i. Ponadto

a) kerF = {0} ⇔ wektory v'₁,...,v'_n są liniowo niezależne,

b) ImF = V' ⇔ V' = L(v'₁,...,v'_n),

c) F jest izomorfizmem ⇔ wektory v'₁,...,v'_n są bazą przestrzeni V'.

2.3. TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V'). Wtedy dimV = dimkerF + dimImF.

3. MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA LINIOWEGO.

3.1. .DEFINICJA. Niech F∈ Hom(V,V'), B = (v₁,...,v_n) oraz B' = (v₁',...,v_m') będą bazami odpowiednio V oraz V'. Wtedy macierz A, taka że

dla j = 1, ...,n

nazywa się macierzą odwzorowania F w bazach B i B' i oznacza symbolem .

Z definicji wynika, że Jeśli

F(v1) = a11v1'+ ... + am1vm' .......................................... to F(vn) = a1nv1'+ ... + amnvm'

3.2. TWIERDZENIE. Niech A , oraz F∈ Hom(V,V'). Wtedy A = wtedy i tylko wtedy, gdy , dla dowolnego wektora v z przestrzeni V.

TWIERDZENIE. Jeśli dimV = n, dimV' = m oraz B i B' są bazami odpowiednio V i V', to odwzorowanie

jest izomorfizmem przestrzeni wektorowych.

3.3. TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V) oraz B będzie bazą V. Wtedy wtedy i tylko wtedy, gdy F = Id_V.

TWIERDZENIE. Niech V, V', V'' będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K a B, B', B'' będą odpowiednio bazami V, V', V''. Ponadto niech F∈ Hom(V,V'), F'∈ Hom(V',V''). Wtedy = ⋅.

TWIERDZENIE. Niech F∈ Hom(V,V') oraz B, B' będą odpowiednio bazami V i V'. Ponadto niech = A. Wtedy F jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierza odwracalną. Ponadto = A^-1.

3.4. Niech B = (v₁, ..., v_n) oraz C = (u₁, ..., u_n) będą bazami przestrzeni wektorowej V. Ponadto

niech

u1 = a11v1 + ... +an1vn .................................... . un = a1nv1 + ... + ann vn

Wtedy macierz A =

możemy interpretować jako macierz gdyż c^j(A) = M_B(u_j) = M_B(I_V( u_j)). Zatem

M_B(v) = M_C(v), dla dowolnego wektora v z przestrzeni V. Oczywiście mamy też M_C(v) = M_B(v), dla każdego wektora v z przestrzeni V, oraz macierze i są względem siebie odwrotne. Będziemy je nazywali macierzami zmiany bazy.

3.5. TWIERDZENIE. Niech V, V' będą skończenie wymiarowymi przestrzeniami nad ciałem K, F ∈ Hom(V,V') oraz niech B i C będą bazami V a B' i C' bazami V'. Wtedy

W szczególności, jeśli V = V', B = B' oraz C = C', to

4. SUMA I SUMA PROSTA PODPRZESTRZENI PRZESTRZENI WEKTOROWEJ

4.1. TWIERDZENIE. Niech V₁, ..., V_m będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wtedy L(V₁ ∪ ... ∪ V_m) = {v ∈ V : v = v₁ + ... + v_m, v₁ ∈ V₁, ..., v_m ∈ V_m }.

DEFINICJA. Niech V₁, ..., V_m będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V. Wtedy podprzestrzeń W = L(V₁ ∪ ... ∪ V_m) = {v ∈ V : v = v₁ + ... + v_m, v₁ ∈ V₁, ..., v_m ∈ V_m } przestrzeni V nazywamy sumą przestrzeni V₁, ..., V_m i oznaczamy symbolem W = V₁+ ... + V_m.

PRZYKŁAD. Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem K oraz niech A₁, ... , A_m będą podzbiorami zbioru V. Wtedy L(A₁ ∪ ... ∪ A_m) = L(A₁) + ... + L(A_m).

4.2. DEFINICJA. Suma V₁+ ... + V_m podprzestrzeni przestrzeni wektorowej V nazywa się sumą prostą podprzestrzeni, jeśli każdy wektor v z V₁+ ... + V_m daje się jednoznacznie przedstawić w postaci v = v₁ + ... + v_m, v₁ ∈ V₁, ..., v_m ∈ V_m. Sumę prostą oznaczamy symbolem V₁ ⊕ ... ⊕ V_m.

UWAGA. Suma V₁+ ... + V_m jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych v₁ ∈ V₁, ..., v_m ∈ V_m z równości v₁ + ... + v_m = 0 wynika, że v₁ = ... = v_m = 0.

4.3. TWIERDZENIE. Niech V₁, V₂ będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V. Suma V₁ + V₂ jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy V₁ ∩ V₂ = {0}.

4.4. TWIERDZENIE. Niech V₁, ..., V_m bedą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej V oraz niech B_i będzie bazą przestrzeni V_i, dla i = 1,..., m. Wtedy następujące warunki są równoważne:

1. V₁+ ... + V_m jest sumą prostą,

2. Układ B = B₁ ∪ ... ∪ B_m jest bazą V₁+ ... + V_m .

3. Układ B = B₁ ∪ ... ∪ B_m jest układem liniowo niezależnym.

TWIERDZENIE. Suma V₁+ ... + V_m jest sumą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy dim(V₁+ ... + V_m) = dimV₁ + ... + dimV_m,

4.5. TWIERDZENIE. Niech V₁, V₂ będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V. Wtedy dim(V₁ + V₂) = dimV₁ + dimV₂ − dim(V₁∩ V₂).

4.6. TWIERDZENIE. Dla dowolnej podprzestrzeni W przestrzeni V istnieje podprzestrzeń U przestrzeni V, taka że V = W ⊕ U.

DEFINICJA. Jeśli V = W ⊕ U, to mówimy, że podprzestrzeń U jest podprzestrzenią dopełniającą do W ( a W jest podprzestrzenią dopełniającą do U). Wymiar podprzestrzeni U nazywamy ko-wymiarem przestrzeni W i oznaczamy symbolem codimW.

5. RZUTY.

5.1. TWIERDZENIE. Jeśli P ∈ Hom(V,V) oraz P² = P•P = P, to

1. P(v) = v, dla dowolnego v ∈ ImV.

1. V = kerP ⊕ ImP.

DEFINICJA. Operator liniowy P na przestrzeni V o własności P² = P nazywamy rzutem. Jeśli W = kerP oraz U = ImP, to mówimy, że P jest rzutem przestrzeni V na podprzestrzeń U wzdłuż podprzestrzeni W (lub równolegle do W).

5.2. TWIERDZENIE. Niech V₁, ..., V_m będą podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej V oraz niech V = V₁ ⊕ ... ⊕ V_m. Ponadto niech dla i = 1,..., m, P_i : V → V, będzie zdefiniowane następująco: jeśli v = v₁ + ... + v_m, gdzie v_j ∈ V_j, dla j = 1, ..., m, to P_i(v) = v_i. Wtedy dla każdego i odwzorowanie P_i jest rzutem przestrzeni V na podprzestrzeń V_i wzdłuż podprzestrzeni W_i = V₁ ⊕ ... ⊕ V_i-1 ⊕ V_i ⊕ ... ⊕ V_m. Ponadto P_iP_j = 0, gdy i ≠ j oraz P₁ + ... + P_m = Id_V.

Operatory Liniowe

1. WARTOśCI I WEKTORY WŁASNE oPERATORóW I MACIERZY.

1. Definicja Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni V. λ ∈ K nazywamy wartością własną operatora F, jeśli ker(F − λI_V) ≠ 0. Jeśli λ jest wartością własną F, to każdy niezerowy wektor z przestrzeni ker(F − λI_V) nazywamy wektorem własnym operatora F odpowiadającym wartości własnej λ. Przestrzeń ker(F − λI_V) oznaczamy V_λ (F) lub V_λ i nazywamy podprzestrzenią własną odpowiadającą λ.

UWAGA. λ jest wartością własną operatora F wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje niezerowy wektor v ∈V, taki że F(v) = λv. Wektor v ≠ 0 jest wektorem własnym odpowiadającym wartości λ wtedy i tylko wtedy, gdy F(v) = λv.

Niech A ∈ Mⁿ_n(K). Wartościami własnymi i wektorami własnymi macierzy A nazywamy wartości własne i wektory własne operatora L_A. ( L_A(X) = AX.)

1.2. TWIERDZENIE. Niech A będzie macierzą kwadratową nad ciałem K i λ ∈ K. Wtedy λ jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy Det(A − λI) = 0.

3. TWIERDZENIE. Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni V, takim że A = M_B^B(F), gdzie B baza V. Wtedy:

i) λ jest wartością własną operatora F wtedy i tylko wtedy, gdy λ jest wartością własną A. ii) dla dowolnej wartości własnej λ, v ∈ V_λ(F) ⇔ M_B(v) ∈ V_λ(A).

1.4. Definicja. niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V. Mówimy, że podprzestrzeń U przestrzeni V jest niezmiennicza względem operatora F , jeśli F(U) ⊆ U.

PRZYKŁAD. Podprzestrzenie własne operatora F są podprzestrzeniami niezmienniczymi względem F.

2. WIELOMIAN CHARAKTERYSTYCZNY MACIERZY I OPERATORÓW

1. TWIERDZENIE. Niech A ∈ Mⁿ_n(K). Wtedy Det(xI − A) jest wielomianem unormowanym stopnia n nad K. Ponadto Det(A − xI) = .

DEFINICJA. Wielomian Det(xI − A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A i oznaczamy χ_A(x).

UWAGA. λ ∈ K jest wartością własną macierzy A ⇔ λ jest pierwiastkiem wielomianu χ_A(x).

2. LEMAT. Jeśli A, B ∈ Mⁿ_n(K) są macierzami podobnymi (tzn. istnieje macierz odwracalna N, taka że B = N^-1AN), to χ_A(x) = χ_B(x).

FAKT. Niech B oraz C będą bazami przestrzeni wektorowej V. Wtedy jeśli F jest operatorem na V, to macierze M^B_B(F) oraz M^C_C(F) mają jednakowe wielomiany charakterystyczne.

Wielomian charakterystyczny macierzy M^B_B(F) nazywamy wielomianem charakterystycznym operatora F i oznaczamy χ_F(x).

2. DIAGONALIZACJA MACIERZY OPERATORA LINIOWEGO.

3.1. TWIERDZENIE. Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V i niech B = (v₁, ...,v_n) będzie bazą V. Macierz M^B_B(F) jest macierzą diagonalną wtedy i tylko wtedy, gdy B składa się z wektorów własnych operatora F. Dokładniej, M^B_B(F) =diag(λ_{1, ...,} λ_n) ⇔ F(v_j) = λ_jv_j dla j = 1,..., n.

TWIERDZENIE. Niech A, N ∈ M_nⁿ(K) i niech N będzie macierzą odwracalną. Wtedy następujące warunki są równoważne:

i) N^-1AN = diag(λ_{1, ...,} λ_n),

ii) AN^(j) = λ_jN^(j) dla j = 1, ...,n.

3.2. DEFINICJA. Mówimy, że operator F na V jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza B przestrzeni V, taka że M^B_B(F) jest diagonalna. (⇔ istnieje baza V złożona z wektorów własnych operatora F).

DEFINICJA. Mówimy, że macierz A ∈ M_nⁿ(K) jest diagonalizowalna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna N ∈ M_nⁿ(K), taka że N^-1AN = diag(λ_{1, ...,} λ_n). ((⇔ istnieje baza M_n(K) złożona z wektorów własnych macierzy A).

3.3 TWIERDZENIE. Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

WNIOSEK. (warunek wystarczający diagonalizowalności operatora F). Jeśli operator F na n wymiarowej przestrzeni wektorowej V ma n różnych wartości własnych, to jest diagonalizowalny.

3.4.TWIERDZENIE. Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni wektorowej V nad ciałem K i niech χ_F(x) = , gdzie λ_j ∈ K dla j = 1, ...,k oraz λ_i ≠λ_j dla i ≠ j. Wtedy następujące warunki są równoważne:

i) istnieje baza przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora F,

ii)

iii) dim = m_j , dla j = 1, ...,k.

3.5. TWIERDZENIE (Jordana). Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni V nad ciałem C. Wtedy istnieje baza B przestrzeni V, taka że M^B_B(F) = , gdzie każda z klatek K_j jest postaci K = , gdzie λ jest wartością własną F.

---