FIZYKA (W1 prof. Lidia Maksymowicz)
Transformacja Galileusza (TG) i Transformacja Lorentza (TL)
Oznaczenia :
F, a, r - wektory (pismo pogrubione)
Ad. 1) Transformacja Galileusza (TG) :
W przyrodzie występują cztery oddziaływania elementarne :
1. Grawitacyjne (natężenie 2 * 10 -39).
2. Elektromagnetyczne (7,3 * 10 -9)
3. Silne (jądrowe) (1).
4. Słabe (10 -5).
Prawa ruchu Newtona :
I) a = 0 ⇒ F = 0
II) F = ma = m * (d2r / dt2) ; F ≠ 0
III) F2-1 = F1-2
W działaniach w skali atomowej zasada akcji i reakcji nie zawsze jest słuszna. Istnieją naturalne granice stosowania III prawa Newtona. W makroświecie jesteśmy przekonani, że wszystkie siły i sygnały rozchodzą się z jednakową prędkością, więc możemy przyjąć, że siły F2-1 i F1-2 są mierzone w tym samym momencie. Jest to jednak sprzeczne z faktem, że cząstka dopiero po skończonym czasie odczuwa działanie siły drugiej cząstki.
Np.
Zderzenie samochodu o długości d = 3 [m], dla c = 3*1010 [m/s] czas trwania zderzenia wynosi t = 10 -8 [s]. W tym czasie samochód o v = 100 [km/h] przejedzie drogę x = 3 * 10 -5 [cm].
Układy współrzędne, w których rozważane są zjawiska dynamiczne, i dla których spełnione są ZDN nazywamy inercjalnymi.
Każde ciało na Ziemi uczestniczy zawsze w dwóch ruchach obrotowych :
1. Ziemi wokół własnej osi (na równiku 3,4 [cm/s2]),
2. Ziemi wokół Słońca (0,6 [cm/s2]).
Założenia mechaniki klasycznej :
1. Przestrzeń jest Euklidesowa.
2. Przestrzeń jest izotropowa (tzn. własności fizyczne jednakowe we wszystkich kierunkach).
["m" w "F = ma" nie zależy od kierunku wektora "a".
3. Prawa dynamiki Newtona są słuszne w układzie inercjalnym, określonym dla obserwatora w spoczynku na Ziemi przy założeniu, że uwzględnione jest tylko przyspieszenie Ziemi w ruchu obrotowym wokół własnej osi i dookoła Słońca.
4. Prawo powszechnego ciążenia (Prawo Grawitacji).
Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi "m1" i "m2", znajdującymi się w odległości "r", jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te punkty, i ma wartość
F = G m1 m2 / r2
gdzie "G" jest stałą uniwersalną, mającą tę samą wartość dla wszystkich par punktów materialnych.
Względność klasyczna TG :
Stan ruchu jakiegoś obserwatora nie może zmienić praw przyrody, czyli wszystkie prawa przyrody muszą być takie same dla wszystkich obserwatorów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.
Układ S1 jest w spoczynku, a układ S2 porusza się względem układu S1 : (rys. 1)
r1 = O1O2 + r2 (1)
r1 = ix1 + jy1+ kz1 (2)
r2 = ix2 + jy2+ kz2 (2a)
O1O2 = iVt (2b) (2) (2a) (2b) ⇒ (1)
ix1 + jy1+ kz1 = ix2 + jy2+ kz2 (3)
x2 = x1 - Vt
x1 = x2 + Vt
y1 = y2
z1 = z2 (4)
Grupa TG :
Transformacja opisująca przemieszczenia wzdłuż osi x, y, z, obroty oraz odbicia względem początku układu we wszystkich kierunkach.
Odwzorowania :
Transformacje odpowiadające liniowym przemieszczeniom ze stałym wektorem V = const. :
V = (dr / dt)
(dx1 / dt) = (dx2 / dt) + V
(dy1 / dt) = (dy2 / dt)
(dz1 / dt) = (dz2 / dt)
VX1 = VX2 + V
VY1 = VY2
VZ1 = VZ2
aX1 = aX2
aY1 = aY2
aZ1 = aZ2
Przyspieszenie punktu "M" w układzie S2 równa się przyspieszeniu punktu w układzie S1. Czyli TG przeprowadza układ inercjalny w układ inercjalny.
Ad. 2) Transformacja Lorentza (TL) :
1887 doświadczenie Michelson'a - Morley'a, z którego wynika, że prędkość światła jest NIEZMIENNICZA tzn., że prędkość światła jest taka sama niezależnie od tego, czy jest ona zmierzona przez obserwatora w układzie stacjonarnym, czy też znajdującego się w układzie poruszającym się ze stałą prędkością względem źródła światła. Wnioski te stały się podstawą teorii względności Einsteina.
Ze wspólnego początku obu układów wysłany został błysk światła, czyli rozważamy rozprzestrzenianie się fali świetlnej, dla której czołem fali jest sfera rozprzestrzeniająca się z prędkością "c": (rys. 2)
TL
w S1 x12 + y12 + z12 = c2t12 (1)
w S2 x22 + y22 + z22 = c2t22 ; t1 = t2 (2)
TG ⇒ (2)
(x1 - Vt) 2 + y12 + z12 = c2t12
x12 - 2x1Vt + V2t2 + y12 + z12 = c2t12 (2a)
Widać, że równanie (2a) ≠ (1), tzn., że przy wykorzystaniu TG równanie czoła fali w układzie S2 nie przechodzi w równanie fali w układzie S1.
W. :
TG przestaje być słuszna o ile prawdziwą jest zasada niezmienniczości prędkości światła.
Szukamy więc innej transformacji, która dla małych prędkości (V/ c → 0) przejmie TG, ponadto przeprowadzi (2) → (1) i będzie spełniała założenia :
1. Będzie prosta ze względu na "y" i "z", gdyż w równaniu (1) i (2a) y1 → y2 i z1 → z2, czyli TG nie zaburza y1 = y2 i z1 = z2.
2. Liniowa ze względu na "x" i "t", gdyż zmierzamy do uzyskania kulistej powierzchni falowej, która rozszerza się ze stałą prędkością.
3. Z wyrażenia (2a) wynika, że T typu t = t musi ulec zmianie jeżeli chcemy by (-2xVt + Vt) zniknęło.
Rozważmy więc propozycję :
x2 = x1 -Vt1
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 + f(x1)
Podstawiamy nową T do równania (2):
x12 - 2Vx1t1 + V2t12 + y12 +z12 = c2[t12 +2t1f(x1) + f2(x12)] (3)
Z warunku liniowości T względem "x1" i "t1" żądamy, ażeby w (3) zerowały się wyrażenia, w których występują iloczyny "x1" i "t1", czyli :
- 2Vx1t1 - 2 c2t1f(x1) = 0
f = - V / c2
Stąd wynika :
x2 = x1 -Vt1
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 - (V / c2) f(x1) (4)
W następnym etapie należy T (4) wykorzystać w równaniu (2) i w ostateczności uzyskamy :
x12(1 - V2 / c2) + y12 + z12 = c2t12(1 - V2 / c2) (5)
Równanie (5) w dalszym ciągu nie jest równaniem sfery w układzie S1, ale stanie się nim, gdy w (4) wprowadzimy :
x2 = (x1 -Vt1) / √(1 - V2 / c2)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = t1 - (V / c2) x1 / √(1 - V2 / c2) (4a)
T (4a) wykorzystana w równaniu (2) przeprowadza to równanie w identyczne (1) jak dla sferycznego czoła fali w układzie S1 (1).
TL dla "V/ c → 0" przechodzi w TG, czyli TL spełnia zasadę korespondencji (odpowiedniości) ustanowioną przez Bohr'a w 1923 r. :
Każda nowa teoria w fizyce musi sprowadzić się do dobrze ugruntowanej odpowiedniej teorii klasycznej, jeśli stosuje się ją w specyficznej sytuacji [Np. (V / c → 0)], gdy wiadomo, że mniej ogólna teoria jest słuszna.
Istnieje pewna standardowa forma zapisu TL :
β = V / c - beta
χ = 1 / √(1 - β2) - gamma
i wówczas T (4a) przybiera postać :
x2 = χ (x1 - βct1)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = χ (t1 - βx1 / c) (4b)
Konsekwencje TL :
1. Kontrakcja przestrzeni (skrócenie długości).
2. Dylatacja czasu (wydłużenie czasu).
Ad. 1)
Wynik pomiaru grubości pręta nie zależy od prędkości tego pręta, gdy porusza się on prostopadle (rys 3) do swojej długości (S2 związany z prętem).
Rozważmy długość pręta, który leży równolegle (rys4) i wtedy długość :
L0 = x2(1) - x1(1)
Długość pręta w S2 poruszającego się względem S1 V (V, 0, 0) mierzona w tym samym czasie t2 wynosi :
L = x2(2) - x1(2)
Wykorzystując TL dostajemy :
x2(1) = x2(2) + Vt2 / √(1 - β2)
x1(1) = x1(2) + Vt2 / √(1 - β2)
x2(1) - x1(1) = (x2(2) - x1(2)) / √(1 - β2)
L0 = L / √(1 - β2)
L0 > L
Następuje kontrakcja przestrzeni w układzie poruszającym się (skrócenie długości).
Ad. 2) Dylatacja - wydłużenie odstępów czasu mierzonych przez zegar będący w ruchu, przyjmujemy, że zegar, który jest w spoczynku w S1 daje wynik pomiaru czasu "τ" i ten odstęp czasu nazywamy czasem własnym (dla każdej cząstki elementarnej czas jest określony przez jej czas własny wyznaczony w układzie związanym z tą cząstką, czyli w układzie, w którym ta cząstka jest w spoczynku. Szukając czasu "t" wyznaczonego w S2 korzystamy z TL :
t2 = χ (t1 - βx1/c) ; x1 = 0, t1 = τ
t2 = χτ ⇒ t2 = τ / √(1 - β2) ⇒ t2 > τ
Oznacza to, że w układzie S2 czas "biegnie wolniej".
Lorentzowskie dodawanie prędkości
x2 = (x1 - Vt1) / √ (1 - β2)
y2 = y1
z2 = z1
t2 = [t1 - (V / c2) x1] / (1 - β2)
V = dr / dt
dx2 = (dx1 - dt1V) / (1 - β2) = dt1 (V1X - V) / (1 - β2)
dy2 = dy1
dz2 = dz1
dt2 = [dt1 - dx1(V / c2)] / (1 - β2) = [dt1 (1 - (V / c2) V1X)] / (1 - β2)
V2X = (V1X - V) / [1 - (V / c2) V1X]
V2Y = [V1Y √ (1 - β2)] / [1 - (V / c2) V1X]
V2Z = [V1Z √ (1 - β2)] / [1 - (V / c2) V1X]
V1X = (V2X + V) / [1 + (V / c2) V2X]
V1Y = [V2Y √ (1 - β2)] / [1 + (V / c2) V2X]
V1Z = [V2Z √ (1 - β2)] / [1 + (V / c2) V2X]
Mimo, że ruch układu S2 odbywał się wzdłuż osi "x" to TLP (prędkości) składowe "y" i "z" prędkości w układzie S2 zależą od "x" składowej w układzie S1.
Rozważmy przypadek, gdy V2 = c
TG
V1X = c + V - niezgodne z doświadczeniem MM.
TL
V1X =(c +V) / (1+(V / c)) = c - zgodnie z doświadczeniem MM.
FIZYKA (W2 prof. Lidia Maksymowicz)
Dynamika relatywistyczna. Pęd i energia.
We wszystkich związkach w mechanice relatywistycznej wykorzystujemy definicje takie jakie zostały zapisane w mechanice klasycznej. Natomiast konkretna postać analityczna (wzór) ulega zmianie z tym, że dla przybliżenia klasycznego (V / c) → 0 postać analityczna mechaniki relatywistycznej musi przejść w znany zapis klasyczny.
0.) Pęd.
p := m V ; m = const. - nie relatywistyczna definicja pędu.
Rozważając szczególny przykład zderzenia można wykazać, że pęd Newtonowski nie jest zachowany przy zderzeniach cząstek mających prędkości bliskie "c".
Zderzenie kul w układzie S1 : (rys 1)
Składowa V w S1 przed zderzeniem:
Kula 1. V(-VX, -VY, 0)
Kula 2. V(VX, VY, 0)
Składowa V w S1 po zderzeniu:
Kula 1. V(-VX, -VY, 0)
Kula 2. V(VX, VY, 0)
Składowe pędu : (rys 2)
Zmiana składowej p Y dla Kuli 1. :
+ m VY - ( - m VY) = 2m VY
Zmiana składowej p Y dla kuli 2. :
- m VY - (+ m VY) = - 2m VY
Całkowita zmiana p Y układu dwóch kul :
Δp Y = 2m VY + (- 2m VY) = 0
Zderzenie kul w układzie S2, poruszającym się względem S1 ze stałą prędkością V(V, 0, 0) : (rys 3)
Składowe V w S2 przed zderzeniem :
Kula 1. V2X = -2V / [1 + (V / c)2]
V2Y = -V1Y √[1 - (V / c) 2] / [1 + (V / c) 2]
V2Z = 0
Kula 2. V2X = 0
V2Y = V1Y √[1 - (V / c) 2] / [1 - (V / c) 2]
V2Z = 0
V2Y Kuli 1 > V2Y Kuli 2
Składowe V w S2 po zderzeniu :
Kula 1. V2X = -2V / [1 + (V / c) 2]
V2Y = -V1Y √[1 - (V / c) 2] / [1 + (V / c) 2]
V2Z = 0
Kula 2. V2X = 0
V2Y = V1Y √[1 - (V / c) 2] / [1 - (V / c) 2]
V2Z = 0
V2Y Kuli 2 > V2Y Kuli 1
Składowe pędu : (rys 4)
Przed zderzeniem :
V2Y Kuli 2. ≠ V2Y Kuli 1.
Po zderzeniu :
V2Y Kuli 2. ≠ V2Y Kuli 1.
W S2 pęd nie relatywistyczny p Y nie jest taki sam przed i po zderzeniu :
2m VY Kuli 2. ≠ 2m VY Kuli 1.
Wniosek : Określenie pędu, jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie pozwala na spełnienie zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia. Należy znaleźć definicję pędu, która spełnia zasadę zachowania pędu dla układów poruszających się względem siebie ruchem jednostajnie prostoliniowym. W nowej definicji składowej "y -owej" wektora pędu p Y musi być niezależna od składowej "x -owej" wektora prędkości układu, w którym obserwujemy zderzenie.
V Y = Δy / Δt
Δy1 = Δy2
Zgodnie z TL przesunięcie y jest jednakowe we wszystkich układach w przypadku, gdy ruch układu S2 względem S1 odbywa się wzdłuż osi "x -ów".
Δt - zależy od układu odniesienia ⇒ VY - zależy od układu odniesienia
Jeżeli mierzymy czas własny w S2 to wszyscy obserwatorzy wyznaczają jednakową jego wartość :
Δτ = Δt √[1-(V / c)2]
Δy / Δτ = (Δy / Δt)(Δt / Δτ) = (Δy / Δt) (1 / √[1 - (V / c) 2] = VY / √[1 - (V / c) 2]
p := m0V / √[1 - (V / c) 2]
Tak zdefiniowany pęd prowadzi do zasady zachowania pędu, która będzie słuszna w dowolnym układzie odniesienia, który różni się od będącego w spoczynku o stałą prędkość poruszania się V skierowaną wzdłuż osi "x -ów".
1.) Pęd relatywistyczny.
! p = m0V / √[1 - (V / c) 2] (1)
m0 - masa spoczynkowa
Od prędkości (V / c) ≥ 0,2 masę należy traktować relatywistycznie, tzn. uznać, że zależy ona od prędkości. Relatywistyczny wzrost masy potwierdzono eksperymentalnie (przyspieszenie elektronu w synchrotronie).
2.) Siła relatywistyczna.
F = dp / dt = (d / dt)(m V) = V (dm / dt) + m (dV / dt) (2)
F(FX, 0, 0) ⇒ V(VX, 0, 0)
FX = VX (d /dt) [m0 / √[1 - (VX / c) 2] + m (dVX /dt) (3)
FX = χ3 m0 (dVX / dt)
FX = χ3 m0 a X (4)
! F = χ3 m0 a (2a)
3.) Energia kinetyczna (EK).
Z: F || dr
E K = ∫(0,r) F dr = ∫(0,r) F dr
E K = ∫(0,r)(m 0 / {1 - [ (V / c) 2] 3/2}(dV / dt)dr ; dr = V dt
E K = ∫(0,r)(m 0 / {1 - [ (V / c) 2] 3/2} V dV (5)
Po scałkowaniu :
E K = m 0 c2 / √[1 - (V / c) 2] - m 0 c2 (5a) ; m = m 0 / √[1 - (V / c) 2]
! E K = m c2 - m 0 c2 (6)
Przejście z relatywistycznej do znanej klasycznej nastąpi poprzez rozwinięcie w szereg (6) :
E K = m 0 c2 / {[1 - (V / c) 2] -1/2 - 1} (6a)
x = [ - (V / c) 2]
Będziemy (6a) rozwijać wokół "x" korzystając ze wzorów dotyczących rozwinięcia w szereg wielomianu :
(1 + x) m = 1 + mx + m ( m - 1) x2 / 2! + ... + m (m - 1)...(m - n + 1) n xn / n!
x << 1
f(- (V / c) 2) = [1 - (V / c) 2] -1/2
f(x) = (1 + x )
f(x) = 1 - (x / 2) + ... - resztę można pominąć, bo jest bardzo mała
Czyli dla (6a) :
E K = m 0 c2 / {[1 + (1 / 2)(V / c) 2] - 1}
E K = (1 / 2)m 0 V 2 (7)
4.) Energia całkowita (EC).
Praca potrzebna do zmiany prędkości ciała od V1 do V2 równa jest zmianie EK:
V1 ⇒ m1 , V2 ⇒ m2
ΔEK = EK2 - EK1
EK1 = m1c2 - m0c2
EK2 = m2c2 - m0c2
ΔEK = m2c2 - m0c2 - (m1c2 - m0c2) = m2c2 - m1c2 = (m2 - m1)c2
EC = E0 + EK = m0c2 + mc2 - m0c2
! EC = mc2 (8)
Ten wzór zawiera informację o równoważności masy i energii.
W mechanice relatywistycznej nie rozważa się osobno zasady zachowania masy i zasady zachowania energii, istnieje zasada zachowania masy-energii.
EC2 = E02 + p2c2 (9)
V → c , m0 → 0 , m → ∞
E0 = m0c2 → 0
EC = p c
Dla V → c masa spoczynkowa m0 → 0, gdyż inaczej masa relatywistyczna m → ∞.
Cząstki o dużych prędkościach, dla których energia całkowita "EC = p c" nazywamy cząstkami skrajnie relatywistycznymi inaczej ultra relatywistycznymi.
Podsumowanie szczególnej teorii względności.
Doświadczenie MM (podstawowa baza eksperymentalna)⇒
Transformacja Lorentza zgodna z doświadczeniem MM (skrócenie długości, dylatacja czasu)⇒
Zasada względności Einsteina ⇒
Niezmienniczość praw fizycznych dla obserwatorów inercjalnych ⇒
Zachowanie pędu ∑ m V = const (najbardziej ogólne prawo fizyki) ⇒
Wyrażenie na masę m = m 0 / √[1 - (V / c) 2] ⇒
Siła F = d(m V)/dt ⇒
Energia kinetyczna E K = (m - m 0) c2 ⇒
Energia spoczynkowa E 0 = m 0c2 ⇒
Energia całkowita EC = E0 + EK = mc2 ⇒
Zasada zachowania masy-energii ∑ (energia spoczynkowa + kinetyczna + potencjalna) = const
FIZYKA (W4 prof. Lidia Maksymowicz)
1. Dynamika bryły sztywnej.
2. Energia kinetyczna w ruchu obrotowym - energia rotacyjna.
3. Równanie ruchu bryły sztywnej (Eulera).
Ad 1.)
Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze stałe odległości:
ri - rj = rij
Wynika stąd, że podczas ruchu układ punktów materialnych, który tworzy tą bryłę sztywną, porusza się jako całość o nie zmieniającej się postaci i objętości.
Bryła sztywna w ruchu swobodnym (żadnych ograniczeń) posiada 6 stopni swobody, gdy na ruch bryły sztywnej nałożymy więzy wówczas nie traktujemy jej jako ciało swobodne. Dla "p" niezależnych więzów liczba stopni swobody bryły sztywnej jest równa :
f = 6 - p
1.) Ruch postępowy.
Jeżeli dowolna prosta przeprowadzona przez bryłę sztywną porusza się równolegle do siebie samej to wówczas wektory prędkości wszystkich punktów ciała są w danej chwili jednakowe i ruch taki rozumiemy przez ruch postępowy bryły sztywnej.
2.) Ruch obrotowy.
Wszystkie punkty bryły sztywnej poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej, prosta ta nazywa się chwilową osią obrotu, gdy oś ma stałe położenie w czasie to wówczas mówimy o stałej osi obrotu.
Relacja prędkości liniowej "n -tego" punktu bryły sztywnej :
V n = ω × r n (1)
Dla każdej bryły sztywnej, niezależnie od jej kształtu, istnieją 3 ortogonalne kierunki, dla których moment pędu L jest równoległy do osi obrotu (L || ω). Gdy bryła sztywna posiada jakąś symetrię to te osie symetrii są osiami głównymi.
M = dL / dt - dla punktu materialnego
M - moment sił
L - moment pędu
Ponieważ w ruchu obrotowym istotną wielkością jest moment pędu dlatego w dalszym ciągu zajmiemy się wyliczaniem tej wielkości.
ω jest chwilową osią obrotu i zarazem prędkością kątową ciała w ruchu obrotowym względem osi przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
Prędkość liniowa "n -tej" cząstki bryły sztywnej (1) gdzie r jest odległością tej cząstki od osi obrotu.
L = r × (m V) - przypadek klasyczny
L = Σ(n) m n (r n × V) (2)
L = Σ(n) m n [r n × (ω × r n)] (3)
L = Σ(n) m n [ω(r n ° r n) - r n (r n ° ω)]
L = Σ(n) m n [ω r n2 - r n (r n ° ω)] (4)
L = Σ(n) m n [i ω r n2 + j ω r n2 + k ω r n2 - (i x n + j y n + k z n) (x n ωX + y n ωY + z n ωZ)] (5)
L = i LX + j LY + k LZ (6)
LX = Σ(n) m n [ωX r n2 - x n (x n ωX + y n ωY + z n ωZ)] (6a)
LY = Σ(n) m n [ωY r n2 - y n (x n ωX + y n ωY + z n ωZ)] (6b)
LZ = Σ(n) m n [ωZ r n2 - z n (x n ωX + y n ωY + z n ωZ)] (6c)
W równaniach (6a), (6b), (6c) grupujemy prawą stronę według współczynnika przy ωX, ωY, ωZ :
LX = ωX Σ(n) m n (r n2 - x n2) - ωY Σ(n) m n x n y n - ωZ Σ(n) m n x n z n (7a)
LY = ωY Σ(n) m n (r n2 - y n2) - ωX Σ(n) m n y n x n - ωZ Σ(n) m n y n z n (7b)
LZ = ωZ Σ(n) m n (r n2 - z n2) - ωX Σ(n) m n z n x n - ωY Σ(n) m n z n y n (7c)
współrzędne w (7a) przy ωX, ωY, ωZ charakteryzują rozkład masy bryły sztywnej względem wybranej osi obrotu. Czyli są to wielkości, które zależą również od chwilowych orientacji bryły sztywnej względem układu współrzędnych. Nie zależą one od czasu! Wielkości te noszą nazwę współczynnika bezwładności lub momentów bezwładności. IXX to "x -owa" składowa momentu pędu przy "x -owej" składowej ω
IXX = Σ(n) m n (r n2 - x n2)
IXY = Σ(n) m n x n y n
IXZ = Σ(n) m n x n z n (8a)
IYY = Σ(n) m n (r n2 - y n2)
IYX = Σ(n) m n y n x n
IYZ = Σ(n) m n y n z n (8b)
IZZ = Σ(n) m n (r n2 - z n2)
IZX = Σ(n) m n z n x n
IZY = Σ(n) m n z n y n (8c)
Stosując ten definicyjny zapis mamy następujący układ równań na składowe momentu pędu :
LX = IXX ωX + IXY ωY + IXZ ωZ (9a)
LY = IYX ωX + IYY ωY + IYZ ωZ (9b)
LZ = IZX ωX + IZY ωY + IZZ ωZ (9c)
Z powyższych wzorów wynika, że w ogólnym przypadku wektor L nie jest równoległy do wektora ω.
Najprostszą bryłą sztywną jest kula, dla której zawsze L || ω ze względu na sferyczną symetrię kuli.
z (9a-c) wynika, że moment bezwładności w najbardziej ogólnym przypadku posiada 9 składowych i zapisać go można jako macierz :
IXX, IXY, IXZ
I = IYX, IYY, IYZ
IZX, IZY, IZZ
Moment bezwładności jest tensorem o 9 składowych w przypadku ogólnym. Macierz "I" jest macierzą symetryczną, tzn., że wyrażenia pozadiagonalne są sobie równe :
IXY = IYX, IXZ = IZX, IYZ = IZY
Z własności macierzy symetrycznych wiadomo, że dla każdego ciała sztywnego można tak dobrać kierunki osi obrotu, że znikną wszystkie wyrazy pozadiagonalne i wówczas przyjmuje się zapis :
IXX = IX, IYY = IY, IZZ = IZ
IX, 0, 0
I = 0, IY, 0
0, 0, IZ
Dla ciała symetrycznego zaznaczamy :
IX jako I1, IY jako I2, IZ jako I3
i wtedy 1, 2, 3 noszą nazwę osi głównych bryły sztywnej.
Właściwie dla bryły sztywnej należy operować pojęciem całki a nie sumy. Jeżeli bryłę sztywną traktujemy jako ciągłą formę materii to wówczas musimy korzystać z zapisu całkowego :
IXX = ∫ ρ(r) (r2 - x2) dV
IXY = ∫ ρ(r) x y dV
IXZ = ∫ ρ(r) x z dV (8a.1)
IYY = ∫ ρ(r) (r2 - y2) dV
IYX = ∫ ρ(r) y x dV
IYZ = ∫ ρ(r) y z dV (8b.1)
IZZ = ∫ ρ(r) (r2 - z2) dV
IZX = ∫ ρ(r) z x dV
IZY = ∫ ρ(r) z y dV (8c.1)
Moment bezwładności (każda składowa) dla danego ciała jest dobrze kreślony, gdy znamy oś obrotu (chwilową lub stałą).
Momenty bezwładności niektórych brył sztywnych. (rys 1)
Twierdzenie Steinera.
IXX = IXXO + a2 Σ(n) m n
Moment bezwładności (IXX) dowolnego ciała wirującego dookoła osi równoległej do osi "x -ów" oddalonej o "a" od środka masy (np. wzdłuż osi "y -ów") jest równy momentowi bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy (IXXO) zwiększony o iloczyn całkowitej masy i kwadratu odległości osi obrotu od środka masy.
Rozważmy obręcz, która się obraca wokół osi przechodzącej przez środek masy ale nie będącej osią symetrii : (rys 2)
ω = ω|| + ω⊥ (10)
L = L|| + L⊥ (11)
Dla obręczy : I|| = m r2, I⊥ = (1/2)(m r2)
L|| = I|| ω||
L⊥ = I⊥ ω⊥
(L⊥ / L||) = (I⊥ ω⊥) / (I|| ω||) = (m r2 ω⊥) / [(1/2)(m r2 ω||)] = (2ω⊥) / (ω||)
Z tego wynika, że składowe wektora L nie są równe składowym ω, czyli z własności wektorów wynika, że wektor L nie jest równoległy do wektora ω.
Ad 2.)
EK = (1/2) mV2
Korzystając z definicji energii kinetycznej zapisujemy dla bryły sztywnej :
EK = (1/2) Σ(n) mn Vn2 = (1/2) mn Σ(n)(ω×rn)2 = (1/2) Σ(n) mn (ω×rn) (ω×rn)
Np.
Energia kinetyczna kuli jednorodnej rotującej wzdłuż osi "z-ów" [ω||OZ, ω(0,0,ω), rn(xn, yn, zn)], jeżeli równanie na energię rotacyjną rozwiązujemy dla tego przypadku kuli jednorodnej to dostaniemy :
EK = (1/2) Σ(n) mn (xn2 + yn2) ω2 = (1/2) ∫ ρ(r) (x2 + y2) ω2 dV
IZZ = mn (rn2 - zn2) = Σ(n) mn (xn2 + yn2)
Energia kinetyczna jednorodnej kuli rotującej wokół osi "z-ów" :
EK = (1/2) IZZ ω2
Dla ciała o dowolnym kształcie i gdy chwilowa oś obrotu posiada 3 składowe energia rotacyjna wynosi :
EK = (1/2) (IXX ωX2 + IYY ωY2 + IZZ ωZ2 +2IXY ωX ωY +2IXZ ωX ωZ +2IYZ ωY ωZ)
Dla przypadku, gdy układ współrzędnych pokrywa się z osiami głównymi energia rotacyjna wynosi :
! EK = (1/2) (I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32)
Ad 3.)
M = dL / dt - dla punktu materialnego
Traktowane dla punktu w ruchu obrotowym jest zapisane dla inercjalnego układu odniesienia, współczynniki momentu bezwładności "I" najwygodniej jest wyliczyć w układzie osi, które są sztywno związane z obracającym się ciałem, czyli w układzie nie inercjalnym. Korzystamy tutaj z transformacji przekształcenia wektora przy przejściu z układu nieruchomego do układu obracającego się.
(dL /dt)I = (dL / dt) + ω×L = M (1)
L jest określony poprzez współczynniki momentu bezwładności wyliczone w układzie wirującym. Układ odniesienia pokrywa się z osiami głównymi 1, 2, 3 bryły sztywnej.
L(L1, L2, L3)
L1 = I1 ω1
L2 = I2 ω2
L3 = I3 ω3
M1 = (dL1 / dt) + (ω2 L3 - ω3 L2) (2a)
M2 = (dL2 / dt) + (ω3 L1 - ω1 L3) (2b)
M3 = (dL3 / dt) + (ω1 L2 - ω2 L1) (2c) Równania Eulera
M1 = I1 (dω1 / dt) + ω2 ω3 (I3 - I2) (3a)
M2 = I2 (dω2 / dt) + ω3 ω1 (I1 - I3) (3b)
M3 = I3 (dω3 / dt) + ω1 ω2 (I2 - I1) (3c) Równania Eulera dla osi 1, 2, 3
Równania Eulera stosuje się do rozwiązywania różnych zagadnień ruchu bryły sztywnej.
Np. 1
Precesja kuli jednorodnej bez działania momentu sił zewnętrznych (precesja kuli swobodnej).
Z:
M = 0
I1 = I2 = I3 = I
Wykorzystujemy (3a-c)
I1 (dω1 / dt) = 0 ⇒ dω1 / dt = 0 ⇒ ω1 = const ⇒ ω = const
Precesja kuli jednorodnej jest stała w czasie i przestrzeni i jest to szczególna cecha wirującej swobodnie kuli.
Np. 2
Swobodnie wirujący bąk symetryczny. (rys 3)
Z:
M = 0
I1 = I2 ≠ I3
z (3c) ⇒ I3 (dω3 / dt) = 0 ⇒ ω = const
z (3a) ⇒ (dω1 / dt) + ω2 ω3 (I3 - I2) / I2 = 0
z (3b) ⇒ (dω2 / dt) - ω1 ω3 (I3 - I2) / I2 = 0
Podstawiając za :
Ω = ω3 (I3 - I2) / I2
Otrzymujemy :
(dω1 / dt) + Ω ω2 = 0
(dω2 / dt) - Ω ω1 = 0
Dla takiego układu równań różniczkowalnych rozwiązania są takie :
ω1 = A cos Ωt
ω2 = A sin Ωt ; A = const
Składowa prędkości kątowej prostopadłej do osi symetrii "z" wirującego bąka obraca się z prędkością kątową Ω, czyli ω wiruje jednostajnie z prędkością kątową Ω dookoła osi bąka "z".
Bąk symetryczny, wirujący dookoła swojej osi z prędkością kątową ω3 w wolnej od działania sił zewnętrznych przestrzeni wiruje kołysząc się jednostajnie z częstością Ω.
FIZYKA (W5 prof. Lidia Maksymowicz)
1. Oddziałyawania elektryczne.
2. Matematyka pól wektorowych.
3. Potencjał pola elektrycznego.
4. Dipol elektryczny. Potencjał i natężenie pola od ładunku dipolowego.
Ad 1.) Oddziaływanie elektryczne.
1. Siła Couloba.
(1) ;k = 8,9874 * 109 [Nm2/C2]
(1) to definicja jednostki ładunku Columb, jest to ładunek, który na równy sobie umieszczony w odległości 1 [m] działa siłą k [N].
;ε0 = 8,857 * 10 -12 [C2/Nm2] - przenikalność elektryczna próżni
(1a)
2. Pole elektryczne .
Obszar, w którym na ładunek elektryczny działa siła (Coulomb'owska) nazywamy polem elektrycznym, siła ta wynika z obecności w przestrzeni różnych ładunków elektrycznych. Pole elektryczne jest równe sile działającej na ładunek jednostkowy (E = F; q = 1)
Dla ładunku punktowego rozkład pola elektrycznego jest radialny i pole elektryczne wytworzone przez Q
(2) ;= 1, ||
3. Strumień pola elektrycznego.
Pojęcie strumienia Φ dla dowolnego pola wektorowego V
; ⊥ Σ (3)
(3a) (rys1)
= -dS1E + dS2E + dS3E
= 0
4. Prawo Gaussa.
prawo Gaussa stosuje się do dowolnej powierzchni (powierzchni Gaussa) i daje ono związek między ΦE przechodzącym przez tą powierzchnię i całkowitym ładunkiem zamkniętym w jej wnętrzu.
ε0 = qcałkowity (4)
Wykorzystując (3a) otrzymujemy
ε0 = qcałkowity (4a)
(4a) pozwala obliczyć natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez łądunek qcałkowity w dowolnym punkcie przestrzeni, w której działająsiły pola elektrycznego.
Np.
Kulisto-symetryczny rozkład ładunku o promieniu R.
ρ - gęstość objętościowa ładunku
1. r > R
ε0 = = Q
Powierzchnię Gaussa wybieramy dowolnie, jednak, ze względu na prostotę obliczeń, wygodniej jest wybrać powierzchnię Gaussa spójną z rozważanym rozkładem ładunku elekrycznego. Tak więc dla kulisto-symetrycznego rozkładu powierzchnia Gaussa będzie sferą, gdyż dla niej będą spełnione następujące warunki:
a) jest stałe dla sfery o promieniu "r",
b) jest zawsze prostopadłe do elementu powierzchni,
c) zawsze równoległe do elementu .
ε0 E = Q
ε0 E 4 π R2 = Q
2. r < R
Dla powierzchni Gaussa w postaci sfery o promieniu r:
(rys2)
Ad 2.) Matematyka pól wektorowych.
1. Operator Nabla.
(1)
T - funkcja skalarna - funkcja wektorowa
T(x,y,z) (x,y,z)
a) T(x,y,z) wektor
grad T wektor (gradian)
b) (x,y,z) skalar
div skalar (divergencja)
c) (x,y,z) wektor
rot wektor (rotacja)
Interpretacja operacji algebraicznych z operatorem Nabla:
Ad a) gradient grad T jest to wektor o znaczeniu fizycznym i przedstawia on zmienność skalarną T(x,y,z) w przestrzeni. "X-owa" grad T(x,y,z) określa zmienność skalara T w kierunku osi "x-ów". Kierunek zmuan wektora grad T(x,y,z) pokrywa siię z tym kierunkiem, w którym T(x,y,z) względem przesunięcia jest największy, czyli grad T(x,y,z) ma kierunek najbardziej stromego wznoszenia składowej skalara T(x,y,z).
Ad b) divegencja div. W celu zilustrowania interpretacji fizycznej div korzysta się z twierdzeń matematycznych, które w teorii pola odgrywają taką rolę, jaką Zasada Zachowania Energii odgrywa w mechanice cząstek. Obliczanie strumienia pola wektora wypływającego z małego sześcianu. (rys3)
Szukamy strumienia przechodzącego przez kostkę.
Sumujemy strumienie przechodzące przez każdą ścianę.
Ściana 1. Strumień z powierzchni "1":
całkę przybliżamy przez wartość w środku ściany (sześcian jest mały) pomnożoną przez yz.
"1" = - yz
"2" = yz
i na ogół trochę się różnią. Dla x małego mamy (wyrażamy poprzez korzystając z rozwinięcia w szereg z pominięciem wyrazów wyższych rzędów):
= +
Wstawiamy to rozwinięcie:
"2" = [ + ]yz
("1" i "2") strumień z powierzchni 1 i 2.
"1" + "2" = - yz + yz + xyz (1)
Uwaga !
Pochodna powinna być liczona w środku ściany "1", czyli w punkcie (x,,). Dla nieskończenie małej kostki popełniamy mały błąd. Można równiaż obliczenia przeprowadzić w narożniku (x, y, z).
Dla pozostałych ścian mamy:
"3" + "4" = xyz (2)
"5" + "6" = xyz (3) (1) + (2) + (3) = (4)
= (++)xyz ;V = xyz, = ++
= (4)
Wynika stąd, że divergencja w punkcie P jest równa strumieniowi ("przypływowi") na jednostkę objętości, w otoczeniu punktu P, nieskończenie małego obszaru. Dla dowolnie skończonego obszaru korzystamy z faktu, że całkowity strumień z jakiegoś obszaru jest sumą strumieni z każdej z jago części. Całka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią z divergencją tego wektora. To jest twierdzenie Gaussa:
=
gdzie S jest dowolną powierzchnią zamykającą obszar V.
Pole źródłowe lub bezźródłowe
= =
Dla jednostki objętości
= =
= - gęstośc objętościowa ładunku.
Ad c) rotacja rot , krążenie pola wektorowego.
Pojęcie krążenia jest zaczerpnięte z rozważań dotyczących krążenia w zamkniętych rurach.
Dowolna krzywa zamknięta: (rys4)
Twierdzenie Stoksa:
=
Całka krzywoliniowa po obwodzie zamkniętym z dowolnego pola V jest równa całce powierzchniowej po powierzchni zamkniętej wewnątrz krzywej z rotacji , gdzie
|| elementu
|| normalnej do powierzchni
Dla pola , dla któego rot = 0, krążenie po dowolnej krzywej zamkniętej będzie równe zero. Takie pole nazywamy polem bezwirowym (np. pole elektryczne).
2. Drugie pochodne pól wektorowych.
a) = div (grad T)
b) = rot (grad T) 0
c) = grad (div )
d) = div (rot ) 0
e) = rot (rot )
Ad b) Tw:
= grad ϕ(x,y,z)
Ad d) Tw:
div 0 = rot
Operator jest skalarem i oznaczany jest jako [laplasian].
Ad 3.) Potencjał pola elektrycznego.
Potencjał pola wiąże się z natężeniem pola elektrycznego podobnie jak energia potencjalna z siłą.
= -grad U(x,y,z)
=
Dla ładunku jednostkowego = czyli = -grad U(x,y,z) (1)
= (2) postać całkowa prawa Gaussa
= (3) postać różniczkowa
Jeżeli spełnione jest (1) przez analogię do mechaniki to z drugich pochodnych pól wektorowych wynika
= 0 (4)
a z twierdzenia Stoksa wynika
= 0 (5)
Równania (2) i (3) oznaczają, że pole jest polem źródłowym, tzn., że zawsze można wskazać w którym punkcie przestrzeni zaczynają się linie pola elektrycznego. Równania (4) i (5) oznaczają, że pole jest polem bezwirowym. Równania (2)(3)(4)(5) są to tzw. równania elektrostatyki. Równanie (5) jest innym zapisem prawa Kirchoffa, które mówi, że suma wszystkich spadków napięć w obwodzie zamkniętym (oczko) jest równa zero.
= = =
= - równanie Poissona
Równanie Poissona służy do wyliczenia potencjałów, gdy znana jest gęstość ładunku lub rozkład gęstości ładunku. Dla = 0 czyli = 0 jest to równanie La Plasa. Obydwa te równania służą do obliczania potencjału pola elektrycznego w dowolnym elemencie objętości. Znając potencjał możemy przedstawić go w relacji całkowej z natężeniem pola elektrycznego.
=
Potencjał w punkcie P pochodzący od ładunku punktowego
= =
Ad 4.) Dipol elektryczny. Potencjał i natężenie pola od ładunku dipolowego.
1. Potencjał pola elektrycznego od ładunku dipolowego.
(rys5)
Potencjał punkcie P
(1)
Założenia:
Ładunki "+q" i "-q" są położone blisko siebie. Wyliczamy potencjał w punkcie P w odległości r>>d. Taką bliską parę ładunków elektrycznych nazywamy dipolem elektrycznym (dipole atomowe, dipole molekularne, zjawisko polaryzacji materii w skali mikroskopowej).
(1a)
(1b)
(1c)
(1d)
(1e)
(1f)
Stosując rozwinięcia w szereg (1e) i (1f) i traktując oraz wstawiając do (1) przybliżenia dostajemy:
(1e) (1g)
(1f) (1h)
(2)
Moment dipolowy:
p = q d
Oś dipola jest zgodna z osią d:
(3)
W danym kierunku od dipola potencjał maleje jak , podczas, gdy dla ładunku monopoloweg maleje jak . Natężenie pola elektrycznego od dipola maleje jak , podczas, gdy dla ładunku monopolowego maleje jak .
(rys6)
Dipol opisany za pomocą wektora:
(4)
Moment dipolowy jest wektorem skierowanym zgodnie z osią dipola o kierunku "-q" do "+q"
Wzór (3) lub (4) stosuje się dla dowolnej orientacji dipola w stosunku do obserwacji, jeżeli tylko jest wektorem prowadzącym od dipola do punktu obserwacji. Prowadzimy go zawsze od środka dipola .
2. Natężenie pola elektrycznego od ładunkudipolowego.
(5)
Liczymy składową pola wzdłuż osi dipola
(6)
(7)
(7a)
!
W przypadku dipola elektrycznego szczególnie interesujące są składowe || oraz ⊥ składowa transwensalna, która leży w płaszczyźnie xy i skierowana jest od osi dipola.
Pole elektryczne dipola: (rys7)
Dla = 0 i = składowa transwensalna = 0.
W przyrodzie dipol elektryczny występuje w skali mikroskopowej, szczególnie to jest uwidocznoine w zjawiskach związanych z polaryzacją materii.
FIZYKA (W3 prof. Lidia Maksymowicz)
Siły zachowawcze. Energia kinetyczna i potencjalna. Praca.
1.) Praca na drodze cząstki w ruchu.
Różniczkowa praca siły jest zdefiniowana jako praca wykonana przez siłę F na odcinku DE, jeżeli siła działa na odcinku AB :
WAB := ∫(A,B) F ° dr (1)
WAB := ∫(A,B) F cos∠(F, dr) dr (1a)
We wzorze (1) siła F jest wypadkową wszystkich sił działających na daną cząstkę.
WAB = ∫(A,B) m (dV / dt) ° dr (2)
dr = V dt
WAB = m ∫(A,B) (dV / dt) ° V dt (2a)
(dV / dt) ° V = d (V2) / dt = 2 V (dV / dt) ⇒ (dV / dt) ° dV = (1 / 2)(dV2 / dt)
WAB = (1 / 2) m ∫(A,B) (dV2 / dt) dt = (1 / 2) m ∫(A,B) d(V2) = [(1 / 2) m V2] (VA,VB) =
= (1 / 2) m VB2 - (1 / 2) m VA2
WAB = (1 / 2) m (VB2 - VA2)
Jest to różnica energii kinetycznej jaką osiągnie cząstka przemieszczając się od punktu A do B.
Wniosek:
Praca wykonana nad cząstką swobodną (nie posiadającej energii potencjalnej) jest równa zmianie energii kinetycznej tej cząstki.
2.) Siły zachowawcze - energia potencjalna.
Siła działająca na ciało jest wówczas siłą zachowawczą jeżeli praca wykonana przy przesunięciu od punktu A do B po drodze ACB jest równa pracy wykonanej po drodze ADB. (rys 1)
WAB = ∫(ACB) FC ° dr = ∫(ADB) FC ° dr
Czyli praca niezależna jest od toru łączącego punkty A i B :
W = ∫(ADBCA) FC ° dr = 0
W większości przypadków działania sił na masy mamy do czynienia z siłami zachowawczymi.
Np.:
Praca wykonana przez siłę grawitacji. (rys 2)
WAB := ∫(A,B) F ° dr
F(0, mg)
dr(dx, dy)
F = - j m g
dr = i dx + j dy
F dr = - j m g ° (i dx + j dy) = - m g dy
WAB = ∫(A,B) (- m g) dy = [(- m g) y] (h1,h2) = mgΔh ; Δh = h 1 - h 2
Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siły zachowawcze (nie zależną od toru) :
! U AB= ∫(A,B) FC ° dr = UB - UA (3)
Skalarna funkcja U(x, y, z) jest to energia potencjalna związana z siłą zachowawczą FC. Wielkości UB i UA są to wartości tej funkcji skalarnej wyznaczone w końcowych punktach toru.
Przyjmuje się, że punkt B jest w nieskończoności i wówczas
UB → 0
U AB= ∫(A,∞) FC ° dr = - ∫(∞,A) FC ° dr = UA (3a)
Praca wykonana nad cząstką od punktu "∞" gdzie siły FC nie działają do wybranego punktu A, w którym siły te działają (obszar działania pól potencjalnych) jest UA (energia potencjalna w punkcie A).
Równanie (3a) prowadzi do związku analogicznego między UA a FC :
d UA / dr = - FC (3b)
lub
FC = - grad U(x, y, z)
lub
FC = - ∇U(x, y, z) -operator Nabla działający na skalarną funkcję U
Operator Nabla jest następująco zdefiniowany w układzie kartezjańskim jako operator wektorowy :
∇ := i (d / dx)+ j (d / dy)+ k (d / dz)
Np.:
U(x, y, z) = x3 + A y +B z2
dU / dx = 3x2, dU / dy = A, dU / dz = 2 B z
∇U = i 3 x2 + j A + k 2 B z
Pole zachowawcze posiada potencjał skalarny.
Gradient (grad) oznacza operator gradientu, który we współrzędnych kartezjańskich jest zdefiniowany przez ∇.
Gradient ze skalara jest wektorem, który ma kierunek najszybszego wzrostu skalara, a jego wartość liczbowa jest równa pochodnej kierunkowej tego skalara.
Definicja stanu równowagi:
F = - grad U (rys 3)
- Δx = dU / dx < 0 ⇒ F > 0
+Δx = dU / dx > 0 ⇒ F < 0
x1 i x2 - nie są stanami równowagi trwałej
x0 - jest stanem równowagi trwałej.