FIZYKA (W6 prof. Lidia Maksymowicz)

1. Pole magnetyczne.

F=q(v x B) (1)

|c|=ab sin (a,b)

Wzór (1) służy również do definicji jednostki natężenia pola magnetycznego

[B] = [F] \ [q] [v] = Ns\Cm = T

SIłA POLA MAGNETYCZNEGO DZIAłAJĄCA NA PRĄD ELEKTRYCZNY

Rozważamy kawałek prostoliniowego przewodnika w którym przemieszczają się naładowane cząstkio ład. q z pręd.V z gęstością obj. n. Gęstość prądu jest wielkością, która określa liczbę naład. cząstek przemieszczających się przez jednostkową objętość w jednostce czasu.

l = V S = |V|

V(jedn.) = V S = |V|

j = n V q (2)

j - gęstość prądu

Wektor j jest wielkością charakterystyczną dla punktu wewnątrz przewodnika (jest to wielkość mikroskopowa). Gdy rozkład prądu na dow. powierzchn. przekroju przewodnika jest stały, to gęstość prądu jest zdefiniowana:

j = I \ S (2)

z (2) ⇒ I = j S

Korzystając z definicji strumienia pola wektorowego można powiedzieć, że natężenia prądu jest sturmieniem wektora gęstości prądu.

I = _Σcałka pow. j dS (3)

I = _Σcałka powierzchniowa j u_Nds

ds = u_Nds

|u_N| = 1

j = u_T j

|u_T| = 1

r = u_R r

|u_R| = 1

Umieszczamy przewodnik z prądem w polu magnetycznym B.

Siła z jaką pole B działa na jednostkę tego przewodnika :

f = nq (v x B) (4)

Siła z jaką pole B działa na element objętości dV:

dF = nq (v x B)dv (4a)

Dla całej obj. przewodnika:

F = całka pow. (j x B)dv (4b)

1. dV = Sdl

2. j = u_T j

1 i 2 ⇒ (4b)

F = całka pow. (j S) ( u_T x B)dl

F = I _Lcałka pow. (u_T x B)dl (5)

Wzór (5) jest ważny dla przewodnika, w którym I = const. i j = const w całej objętości.

Dla przewodnika prostoliniowego o L umieszczonego w stałym polu jednorodnym dla którego v_T i B są stałe:

F = I (u_T x B) całka pow. dl

F = I L (u_T x B)

F = I L B sin (u_T, B)

F = B I L sin θ

POLE MAGNETYCZNE WYTWORZONE PRZEZ OBWÓD Z PRĄDEM:

Prawo Ampera - Laplace'a zapisana w oparciu o doświadczenia. Z doświadczenia wynika, że prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne w przestrzeni otaczającej przewodnik.

Pole B wytworzone przez przewodnik z prądem o I w odl. r od przewodnika jest równe:

B = (μ₀\4Π ) I całka (u_T x u_R) \ r² dl (6)

μ₀ - przenikalność magnetyczna ośrodka

u_T - wektor jednostkowy ośrodka do j

u_R - wektor jednostkowy ośrodka do r

Ponieważ prąd elektryczny jest ruchem ładunków, w związku z czym zgodnie z równaniem (6) pole magnetyczne (oddziaływanie magn.) jest wytwarzane przez ładunki w ruchu, z doświadczalnego prawa A.-L. wynika, że ładunek w ruchu wytwarza pole magnetyczne

ad. rys.: u_T x u_R || u_θ

u x u_R = sinθ

B = (μ₀ I \ 4 Π) _-∞^+∞całka (sinθ \ r²) dl (7)

r = R \ sinθ

l = -Rctgθ (8)

FORMUŁA BIOTA - SAVARTA: B = (μ₀ I \ 2ΠR) u₀

dl = -Rd(ctgθ) = - Rd(cosθ\sinθ) = Rd[(sin²θ + cos²θ) \ sin²θ] = (R \ sin²θ )dθ

dl = R\sin²θ dθ (9)

l = [-∞; +∞] ⇒ θ[0;Π]

(8) + (9) → (7)

B = (μ₀\2Π) (I\R) (10)

B = (μ₀\2Π) (I\R) u_θ (10a) - FORMUŁA BIOTA - SAVARTA

Linie sił pola magnetycznego tworzą współkoncentryczne okręgi o środku w miejscu gdzie jest przewodnik.

SIŁA DZIAŁAJĄCA MIĘDZY DWOMA PRZEWODNIKAMI Z PRĄDEM

F siła z jaką pole B (wytworzone przez przewodnik I) działa na przewodnik z prądem I':

F = I'całka -u_R B dl' (2)

u_T x B = - u_RB

F = (μ₀I\2ΠR) (z prawa B-S)

Wykorzystując regułę B-S dostajemy

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_Rcałka dl'

F = -(μ₀I'\2ΠR)u_R (3)

Z równania (3) wynika, że takie dwa przewodniki, w których płyną prądy równoległe się przyciągają, tzn. że przewodnik z prądem I przyciąga przewodnik I'.

2 przewodniki w których prądy płyną antyrównolegle odpychają się.

Wzór (3) służy jako definicja Ampera.

μ₀\4Π = km = 10^-7

F = -10^-7 (2I I'\R)L

W przewodnikach płyną prądy o natężeniu 1A jeżeli te dwa przewodniki równoległe będące w odległości 1m od siebie działają siłą równą 2 x 10^-7 N (przyciągającą albo odpychającą) na każdy metr długości przewodnika.

POLE MAGNETYCZNE PORUSZAJĄCEGO SIĘ ŁADUNKU:

Prąd elektryczny wytwarza pole magnetyczne (prawo A-L). Zatem pojedyńczy ładunek q powinien być również źródłem pola magnetycznego.

B = (μ₀\4Π) I całka [(u_T x u_R)r² dl (1)

B = (μ₀\4Π) całka I [(u_T x u_R)r² dl (2)

dv = Sdl

j = ju_T

j = nqv

Idlu_T = (jS)dl u_T, gdzie Sdl = dV

B = (μ₀\4Π) całka [(qv x u_R)r² (ndV) (3)

Wzór (3) jest polem magnetycznym wytworzonym przez całkowitą licznę cząstek o ładunku q. Jedna cząstka daje pole magnetyczne:

B = (μ₀\4Π) q (v x u_R)r²

Pole B wytworzone przez poruszającą się cząstkę o ładunku q ma wartość max.:

B = B_MAX ⇔ v prostopadłe u_R B = 0 ⇔ v || u_R

B = (μ₀\4Π­) v x (q\r²) μ_R (1)

E = (1\4Πε₀) q\r² μ_R

Szukamy związku między B i E wytworzonym przez ładunek Q w punkcie odległym od niego o r.

(2) ⇒ (1)

q\r² μ_R = 4Πε₀E

B = (μ₀ε₀4Π\4Π) v x E (3)

c = 1\pierwiastek μ₀ε₀

B = 1\c² (v x E) (3a)

Ze wzoru (3a) wynika, że pole magnetyczne wytworzone przez ładunek q jest ≈ c² razy mniejsze, niż pole elektryczne.

SIŁA ELEKTROMOTORYCZNA I SIŁA MAGNETOMOTORYCZNA:

1) całka pow. E dl = 0 E = F\q

całka pow. E dl ≠ 0 ⇒ muszą być przyłożone zewnętrzne siły elektromotorycznej

całka pow. E dl = V_E

B = (μ₀I\2Πr) μ₀

całka pow. B dl = całka B dl = całka pow. (μ₀I\2Πr) dl = μ₀I

całka pow. B dl = μ₀I = λ_B (2) siła magnetomotoryczna

Krążenie wektora B nie zależy od r od źródła. Jest to siła magnetomot.

Związek (2) jest słuszny dla dowolnego konturu.

To oznacza, że pole B jest polem wirowym. Korzystając ze związku między gęstością prądu i natężenia prądu:

λ_B = μ_{0 Σ} całka pow. j ds = _Γ całka pow.B dl (2a) - PRAWO AMPERA

POLE STATYCZNE - PODSUMOWANIE

Pole E i B traktowane oddzielnie ⇒ równania pozwalające wyliczyć E i B, gdzie znane są ładunki i prądy.

PRAWO FORMA CAŁKOWA FORMA RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa dla całka pow. E u_R ds = q\ε₀ div E = q\ε₀

pola elektrycznego

Tw. Gaussa dla całka pow. B u_R ds = 0 div B = 0

pola magnetycznego

Krążenie pola całka pow. E dl = 0 rot E = 0

elektrycznego

Krążenie pola całka pow. B dl = μ₀I rot B =μ₀^j

magnetycznego

(2a) ⇒ μ_{0 Σ} całka pow. rot B ds

rot B = μ₀ j

POLA ELEKTROMAGNETYCZNE ZALEŻNE OD CZASU:

PRAWO FARADAY'A: gdy w obszarze działania pola B znajduje się przewodnik zamnięty i nasąpi zmiana w czasie strumiena pola B przechodzącego przez obwód, to w obwodzie tym powstaje siła elektromotoryczna proporcjonalna do szybkości zmian strumienia pola magnetycznego

B = B(t)

V_E = - dφ_B\dt

Korzystając z definicji siły elektromotorycznej w krzywej gamma:

_Γcałka pow.E dl = -d\dt _Σ całka pow. B ds (2)

Korzystając z twierdzenia Stokes'a można zapisać:

całka rot E ds = -d\dt _Σ całka pow. B ds (2a)

rot E = - dB\dt

rot E = -δB\δt (3a)

(2) - postać całkowa prawa Faraday'a

(3), (3a) - postać różniczkowa prawa Faraday'a

ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU:

Całkowity ładunek jest zawsze zachowany. Jeżeli rozważamy dynamiczny problem związany z ładunkiem, który przenika przez jakąś powierzchnię, to strata ładunku równa się ładunek wchodzący w powierzchnię Σ minus ładunek wychodzący.

I = _Σ całka pow. j ds (4)

i to jest równe całkowitemu ładunkowi przechodzącemu przez pow. Σ na zewnątrz. Zatem strata ładunku w jednostce czasu wynosi:

-dq\dt = _Σ całka pow. j ds (4a)

Równanie (4a) jest zasadą zachowania ładunku dla przypadku dynamicznego.

Korzystamy z tw. Gaussa:

q\ε₀ = _Σ całka pow. E ds

-dq\ds = -ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (5)

Wzór (5) wynika z tw. Gaussa.

(5) → (4a) ⇒ _Σ całka pow. j ds + ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds = 0 (6) -ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU DLA

PRZYPADKU DYNAMICZNEGO

Należy się spodziewać, że ze wzgl. na symetrię, która występuje w przyrodzie, zmienny w czasie strumień pola E powinien emitować pole magnetyczne. Korzystamy z krążenia pola E

_Γ całka pow.B dl = μ₀I = μ₀ całka pow. j ds (7)

Dla dynamicznego przypadku całka pow. j ds ≠ 0 korzystamy z zasady zachowania ładkunku. Do równania (7) wstawiamy związek (6).

_Γ całka pow.B dl = μ₀ całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt całka pow. E ds (8)

Korzystając z tw. Stokes'a mamy:

_Σ całka pow. rot B ds = μ_{0 Σ} całka pow. j ds + μ₀ ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (9)

Prawo (8) nosi nazwę prawa Ampera-Maxwella.

W tym prawie uwzględnia się wpływ dynamicznego zachowania ładunku na pole B.

rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ d\dt E (10) - POSTAĆ RÓŻNICZKOWA PRAWA AMPERA-MAXWELLA

Dla pól statycznych otrzymujemy prawo Ampera rot B = μ₀ j

Dla pól dynamicznych otrzymujemy prawo Anpera-Maxwella.

Gdy I = 0 j = 0, to całkowa postać prawa A-M. (8)

_Γ całka pow. B dl = μ₀ε₀ d\dt _Σ całka pow. E ds (11)

λ_B = μ₀ε₀ dθ_E\dt (12)

RÓWNANIA MAXWELLA

Teoria elektromagnetyczna zapisana jest w 4 prawach Maxwella:

PRAWO FORMA CAŁKOWA FORMA RÓŻNICZKOWA

Tw. Gaussa (E) _Σ całka pow. E u_N ds = q\ε₀ div E = ρ\ε₀, gdzie ρ = q\V

Tw. Gaussa (B) _Σ całka pow. B u_N ds = 0 div B = 0

Tw. Faraday'a _Lcałka pow. E dl = - d\dt _Σ całka pow. B u_N ds rot E = -δB\δt

Tw. Ampera-Maxwella _Lcałka pow. B dl = rot B = μ₀ j + μ₀ε₀ δ\δt E

= μ_{0 Σ} całka pow. j u_N ds +

+ ε₀μ₀ d\dt całka pow. E u_N ds

Prawa te są niezmiennicze wzgl. T.L.

Nie stosują się do cząstek elementarnych.

---