Dodawanie wektorów, metoda analityczna

Metoda ta pozwala, na dodawanie wektorów bez konieczności ich rysowania.

Dodawanie analityczne dowolnych wektorów polega na zsumowaniu współrzędnych przy odpowiednich wektorach kierunkowych.

Przykład:

Niech wektory i będą przedstawione następująco:

Zapisz wektor jeżeli

Zatem wektor

Mnożenie wektorów

O ile dodawaniu podlegały wektory tego samego rodzaju o tyle mnożyć można różne wektory przez siebie. Pomnożone przez siebie wielkości wektorowe, podobnie jak wielkości skalarne, tworzą nowe wielkości fizyczne o nowych wymiarach i własnościach. Jeżeli iloczyn dwóch lub więcej wektorów jest również wektorem to musi on posiadać oprócz wartości również kierunek i zwrot. Musimy więc ustalić nowe reguły mnożenia dla wektorów.

Mnożenie wektora przez skalar

Iloczyn skalara k przez wektor jest z definicji nowym wektorem o wartości k razy większej od wartości wektora . Kierunek i zwrot nowego wektora są zgodne z kierunkiem i zwrotem wektora .

Iloczyn skalarny wektorów

Iloczyn skalarny dwóch wektorów zwany potocznie iloczynem z kropką zdefiniowany jest następująco:

Wynikiem w ten sposób pomnożonych wektorów jest skalar czyli liczba. Gdzie ϕ jest kątem pomiędzy wektorami i

Pomnóżmy skalarnie wektory i przez siebie

ostatecznie

(*)

Iloczyn wektorowy wektorów

Iloczyn wektorowy dwóch wektorów zdefiniowany jest następująco

Znakiem mnożenia w iloczynie wektorowym jest . Znak ten został wprowadzony umownie aby odróżnić iloczyn wektorowy od zdefiniowanego wcześniej iloczynu skalarnego.

Iloczyn wektorowy dowolnych dwóch wektorów jest nowym wektorem. Wartość bezwzględna tego nowego wektora (tu nowo powstały wektor oznaczyliśmy ) jest określona następująco;

Gdzie kąt φ jest kątem jaki tworzą wektory i . Kierunek nowo powstałego wektora jest z definicji prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach i to znaczy, że jest prostopadły zarówno do wektora . jak i wektora . Natomiast zwrot wektora wyznacza się stosując regułę „śruby prawoskrętnej”. Wyobraźmy sobie, że śruba prawoskrętna, której oś jest prostopadła do płaszczyzny na której leżą wektory i , obraca się od wektora do wektora o kąt φ równy kątowi zawartemu miedzy tymi wektorami. Kierunek ruchu postępowego śruby wyznaczy wówczas dodatni kierunek wektora czyli jego zwrot.

Prędkość średnia

Prędkość punktu materialnego jest wielkością, która określa jak szybko zmienia się położenie tego punktu w czasie.

Położenie punktu w jakimś szczególnym układzie odniesienia określone jest za pomocą wektora położenia (promienia wodzącego) poprowadzonego z początku układu do tego punktu. Niech punkt materialny w chwili czasu t₁ zajmuje położenie 1 (rys.1.6), przy czym jego położenie na płaszczyźnie xy dane jest wektorem . W chwili późniejszej t₂ punkt zajmuje położenie 2 dane wektorem . Wektor przemieszczenia opisujący zmianę położenia punktu materialnego podczas ruchu od punktu 1 do punktu 2 jest równy , a czas jaki upłynął podczas tego ruchu wynosi Δt (= t₂ – t₁).

Średnia prędkość punktu w tym przedziale czasu jest zdefiniowana jako

Prędkość jest wielkością wektorową, ponieważ została ona otrzymana z podzielenia wektora przez skalar . Prędkość jako wielkość wektorowa ma zatem określoną wartość liczbową jak i kierunek. Wartość liczbowa prędkości wyrażona jest w jednostkach długości podzielonych przez jednostki czasu. W układzie jednostek SI prędkość wyraża się w m/s.

Prędkość średnia zależy jedynie od całkowitego przemieszczenia i całkowitego przedziału czasu w którym przemieszczenie to nastąpiło.

Prędkość chwilowa

Przypuśćmy, że punkt materialny porusza się w taki sposób, że jego prędkość średnia zmierzona w różnych przedziałach czasu nie jest jednakowa. Mówimy wówczas, że punkt porusza się ze zmienną prędkością. W takich przypadkach konieczne jest określenie prędkości w dowolnej chwili czasu, czyli prędkości chwilowej.

Prędkość może się zmieniać na skutek zmian jej wartości, zmian kierunku lub jednego i drugiego. Prędkość chwilową otrzymujemy licząc granicę właściwą z ilorazu przy żądaniu, że przedział czasu .

Zatem

(1.5.2)

W matematyce granicę stosunku przy dążącym do zera oznaczamy symbolem i nazywamy pochodną wektora względem czasu t. Mamy więc

(1.5.3)

Wartość prędkości chwilowej jest równa wartości bezwzględnej wektora . Znaczy to, że

(1.5.4)

Przyspieszenie średnie

W czasie ruchu prędkość poruszającego ciała często zmienia się co do wartości bądź kierunku, lub i co do wartości i co do kierunku. Mówimy wówczas, że ciało porusza się z przyspieszeniem. Przyspieszenie punktu materialnego informuje o szybkości zmian jego prędkości w czasie.

(1.5.5)

Przyspieszenie jest wielkością wektorową. Kierunek wektora przyspieszenia jest zgodny z kierunkiem zmiany wektora prędkości a wartość liczbowa jest równa

(1.5.6)

Przyspieszenie określone równaniem (1.5.5), nazywamy przyspieszeniem średnim, ponieważ nie mówi ono nic o zmianach prędkości z czasem wewnątrz przedziału . Znamy jedynie wypadkową zmianę prędkości po upływie danego czasu. Gdyby zmiana prędkości (wektorowa) podzielona przez odpowiadający jej przedział czasu, , była stała niezależnie od długości tego przedziału, otrzymalibyśmy stałe przyspieszenie. Stałość przyspieszenia oznacza zatem, że prędkość zmienia się jednostajnie w czasie zarówno co do wartości jak i kierunku.. Jeżeli nie ma żadnej zmiany prędkości, tzn. jeżeli zarówno wartość, jak i kierunek prędkości są stałe, wówczas w dowolnym przedziale czasu jest równe zeru i przyspieszenie również jest równe zeru.

Przyspieszenie chwilowe

Jeśli ruch punktu materialnego jest taki, że przyspieszenie mierzone w wielu różnych przedziałach czasu nie jest jednakowe to wówczas punkt ten porusza się z przyspieszeniem zmiennym. Przyspieszenie może zmieniać się co do wartości, kierunku lub obu tych cech jednocześnie.

Przyspieszenie chwilowe określone jest następująco:

(1.5.7)

Przyspieszenie punktu materialnego w chwili t jest więc równe granicy ilorazu gdy dąży do zera. Kierunek wektora przyspieszenia chwilowego pokrywa się z granicznym kierunkiem wektorowej zmiany prędkości . Natomiast wartość przyspieszenia chwilowego jest równa

(1.5.8)

Gdy przyspieszenie jest stałe, przyspieszenie chwilowe jest równe przyspieszeniu średniemu.

Ruch jednostajny prostoliniowy

Ruch jednostajny prostoliniowy to taki ruch którego torem jest linia prosta a wektor prędkości jest stały zarówno co do wartości jak i kierunku i zwrotu. definicji prędkości średniej

(1.6.1)

- wektor prędkości średniej równy w tym ruchu wektorowi prędkości chwilowej

- wektor przemieszczenia

- czas ruchu

Wektor przemieszczenia w przestrzennym, prostokątnym układzie współrzędnych xyz można zapisać jako sumę składowych wektorów równoległych do poszczególnych osi układu. Czyli:

(1.6.2)

Gdzie oraz są wektorami jednostkowymi o kierunkach odpowiednio osi x, osi y i osi z. Natomiast oraz są składowymi wektora w kierunku odpowiednich osi układu współrzędnych. W takim zapisie równanie definiujące prędkość przyjmie postać:

(1.6.3)

Ruch jednostajnie zmienny

ruch w którym przyspieszenie jest stałe. Z uwagi na to, że prędkość jest wielkością wektorową, może ona ulegać zmianie ze względu na jej wartość bądź kierunek lub też jedną i drugą cechę jednocześnie. Przykładem ruchu jednostajnie zmiennego ze względu na zmianę wartości wektora prędkości jest ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony bądź jednostajnie opóźniony. Natomiast przykładem ruchu jednostajnie zmiennego ze względu na zmianę kierunku wektora prędkości jest ruch jednostajny po okręgu.

Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu jest przykładem ruchu w którym wektor prędkości nie zmienia swojej długości natomiast jego kierunek zmienia się w sposób ciągły i jednostajny. Torem ruchu punktu materialnego w omawianym przypadku jest okrąg..

to i

To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od stycznego) bo jest prostopadłe do toru ruchu. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również przyspieszeniem dośrodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek prędkości. Często przyspieszenie dośrodkowe oznacza się indeksem r ponieważ jest skierowane wzdłuż promienia okręgu.

Ostatecznie

Przyspieszenie dośrodkowe można również wyrazić przez okres T czyli czas jednego pełnego obrotu w ruchu po okręgu. Ponieważ

więc

  Wielkości kinematyczne opisujące ruch obrotowy.

Jedną z podstawowych wielkości kinematycznych opisujących ruch obrotowy jest prędkość kątowa ω. Podobnie jak przy opisie ruchu postępowego w ruchu obrotowym definiuje się średnią prędkość kątową jak i chwilową prędkość kątową ω. Średnia prędkość kątowa zdefiniowana jest następująco:

Gdzie jest przemieszczeniem kątowym, czyli katem jaki zakreślił wektor wodzący w przedziale czasu Natomiast chwilowa prędkość kątowa jest rozumiana jako granica właściwa z ilorazu różnicowego przy , czyli jako pochodna przemieszczenia kątowego względem czasu. Zatem

Związek pomiędzy liniowymi i kątowymi wielkościami kinematycznymi w ruchu obrotowym

gdzie: f – częstotliwość, T - okres

Ponieważ

a w szczególności

to

Z kolei prędkość liniową v (styczną) do toru w ruchu jednostajnym po okręgu można wyrazi równaniem

; r – promień okręgu

Stąd

Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i jego prędkości.

(2.2.2)

Pęd jest wielkością wektorową. Wektor pędu przyjmuje kierunek i zwrot wektora prędkości. Jednostką pędu jest iloczyn jednostki masy () i jednostki prędkości (). Czyli:

(Ta wielkość ma istotne znaczenie; na wartość pędu ciała wpływa w jednakowym stopniu jego masa oraz prędkość).

Siła Jeżeli na ciało o masie m działa pojedyncza siła , to definiujemy ją jako zmianę pędu ciała w czasie

(2.2.3)

po rozwinięciu

Dla ciała o stałej masie

(2.2.4)

Jednostką siły w układzie jednostek SI jest 1 N (Newton)

Zasady dynamiki Newton

Pierwsza zasada dynamiki Newtona

”Każde ciało pozostaje w stanie spoczynku lub ruchu jednostajnego po linii prostej dopóty, dopóki nie zostanie zmuszone, za pomocą wywierania odpowiednich sił, do zmiany tego stanu”

Czyli

, gdy

Gdzie jest sumą wektorową wszystkich sił działających na ciało.

Druga zasada dynamiki Newtona

Tempo (szybkość) zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.

, czyli (2.3.2)

dla stałej masy m ciała.

Jeżeli powyższe równanie zapiszemy w postaci:

(2.3.3)

to drugą zasadę dynamiki Newtona można sformułować następująco:

Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła wypadkowa to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do działającej na to ciało siły wypadkowej. Przyspieszenie ma kierunek zgodny z kierunkiem siły oraz dla danej (ustalonej) siły przyspieszenie jest odwrotnie proporcjonalne do masy ciała.

Zwróćmy uwagę, że w definicji siły (równanie 2.2.3) mówimy o pojedynczej sile, a tu mamy do czynienia z siłą wypadkową.

Trzecia zasada dynamiki Newtona

Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie

Siła tarcia

Siły kontaktowe, o których mówiliśmy są normalne (prostopadłe) do powierzchni styku ciał. Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyźnie powierzchni styku. Dla przykładu: jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie, po pokonaniu przez ciało pewnego dystansu, ciało to zatrzyma się. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wiemy, że przyczyną ruchu przyspieszonego (lub opóźnionego) ciała jest działanie na to ciało siły. Taką siłę nazywamy siłą tarcia.

Maksymalna siła tarcia statycznego (dla pary suchych powierzchni) spełnia dwa prawa empiryczne:

Jest w przybliżeniu niezależna od powierzchni zetknięcia (w szerokim zakresie),

Jest proporcjonalna do siły normalnej (prostopadłej) z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.

Stosunek siły do siły nacisku F_N (rys. 2.4) nazywamy współczynnikiem tarcia statycznego µ_s

Praca – definicja

Pracę W definiuje się jako iloczyn skalarny wektorów siły i przemieszczenia w następujący sposób:

(2.7.1)

Praca wykonana przez siłę na drodze (wektor przemieszczenia) zależy również od kąta α między tymi wektorami Zatem

(2.7.2)

Dla ruchu jednowymiarowego, np. wzdłuż osi OX wzór na pracę przyjmie postać

(2.7.3)

Jednostką pracy jest praca wykonana przez jednostkową siłę przy przemieszczeniu ciała na jednostkową odległość w kierunku działania tej siły. W układzie jednostek SI jednostką pracy jest . Jednostka ta nazywa się dżulem [J].

Czyli 2.7.3

 Praca wykonana przez stałą siłę (zrównoważoną)

Rozpatrywany poniżej przykład dotyczy sytuacji w której siła wypadkowa działająca na ciało jest równa zeru. Zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona ciało wtedy może pozostać w spoczynku lub poruszać się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

Zatem praca W jest równa

Z rysunku wynika, że oraz że, kąt α pomiędzy siłą F i przesunięciem r jest równy zeru. Zatem

Jeżeli przyjąć, że poziomem odniesienia jest poziom h = h_o = 0 to ostatnie równanie na pracę można przepisać w postaci

Każdy z wyrazów po prawej stronie znaku równości powyższego wyrażenia jest energią potencjalną.

Wniosek:

Praca wykonana przez zrównoważoną siłę jest równa zmianie (różnicy) energii potencjalnej ciała.

Praca wykonana przez stałą siłę (niezrównoważoną).

Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

Jaką pracę wykonuje ta siła przy przemieszczeniu ciała na odległość x?

Załóżmy, że kierunek siły i przyspieszenia pokrywają się z kierunkiem osi x (ruch jednowymiarowy). Dla stałego przyspieszenia (patrz wstęp - §2.7.1) mamy

oraz

co w połączeniu daje

Praca W wykonana przez siłę na drodze x jest równa

ponieważ

zatem

Połowę iloczynu masy ciała i kwadratu prędkości nazywamy energią kinetyczną.

Praca wykonana przez wypadkową siłę F działającą na ciało o masie m (punkt materialny) jest równa zmianie energii kinetycznej tego punktu.

To jest twierdzenie o pracy i energii.

Zasada zachowania energii

Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że

Często na punkt materialny(ciało) działa kilka sił, których wektorowa suma jest siłą wypadkową:

Wtedy praca jest sumą algebraiczną prac wykonanych przez poszczególne siły:

Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początkowego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to, że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą.

Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest niezachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.

Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od położenia tych punktów, a nie od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi łączącej te punkty.

Zasada zachowania energii

Gdy na ciało działają siły zachowawcze to

oraz

Czyli

Stąd

(2.10.1)

Równanie (2.10.1) nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej.

Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia potencjalna jest równa E_p, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie działają inne siły).

(2.10.2)

Z równania (2.10.2) wynika, że każda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost energii wewnętrznej. Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko zachowanie energii (całkowitej).

Wynika z niego, że energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.

Środek masy

średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty układ. Niech w dwóch koszykach znajdują się jabłka o różnej masie. W jednym koszyku jest n₁ jabłek, każde o masie m₁, a w drugim koszyku n₂ jabłek, każde o masie m₂. Obliczmy jaka jest średnia masa jabłka z dwóch koszyków.

(3.1.1)

czyli

(3.1.1a)

Powyższe zależności definiują średnią ważoną (wagami są ułamki ilości jabłek w poszczególnych koszykach). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.

Natomiast środek masy (współrzędną środka masy) definiujemy podobnie, przy czym wagami są ułamki mas zajmujących określone położenie w przestrzeni.

Zasada zachowania pędu

Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona

albo

Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały.

Moment siły

Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) .

Jeżeli siła działa na cząstkę to moment siły jest zdefiniowany jako

(4.3.1)

gdzie wektor reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi:

(4.3.2)

Jednostką momentu siły, w układzie jednostek SI, jest

Jest to taki sam wymiar jak wymiar pracy. Jednakże moment siły, w odróżnieniu od pracy, jest wielkością wektorową.

Zwróćmy uwagę, że moment siły zależy nie tylko od wartości siły i jej kierunku ale także od punktu przyłożenia tej siły czyli od wektora . Wielkość nazywamy ramieniem siły. Zatem wartość bezwzględną momentu siły τ , (równanie 4.3.2) możemy zapisać albo jako

(4.3.2a)

albo jako

(4.3.2b)

Moment pędu

Moment pędu definiuje równanie (4.3.3).

(4.3.3)

gdziejest pędem cząstki, a reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment pędu jest wielkością wektorową, którego kierunek i zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej (rys. 4.5). Natomiast długość wektora momentu pędu obliczamy z zależności

(4.3.4)

Gdzie θ jest kątem pomiędzy wektorami i . Wyrażenie na wartość wektora można zapisać albo jako

(4.3.4a)

Zasada zachowania momentu pędu

Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (4.3.11) po wszystkich n cząstkach

(4.3.12)

Zauważmy, że jeżeli na układ cząstek (ciał) nie działa zewnętrzny moment siły lub gdy wektorowa suma momentów siły jest równa zeru to wypadkowy moment pędu układu cząstek, pozostaje stały. Czyli

Moment bezwładności

Wartość momentu pędu tego ciała można obliczyć

(4.3.13)

Wielkość w nawiasie w równaniu (4.3.13) nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako

(4.3.14)

Moment bezwładności jest wielkością skalarną i zależy nie tylko od masy ciała ale także od jego kształtu i sposobu rozmieszczenia masy ciała wokół osi obrotu Jest on odpowiednikiem masy dla ruchu postępowego Jednostką momentu bezwładności jest .

Ciśnienie i gęstość

siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednostkę powierzchni. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na dowolne przekroje płynów prostopadle do tych ścianek i przekrojów w każdym punkcie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.

W układzie SI jednostką jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m². Innymi jednostkami są bar (1 bar = 10⁵ Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg ( Hg = 1 atm).

(12.1.2)

Gęstość ρ definiujemy jako iloraz masy M zawartej w pewnej objętości V i tej objętości. Czyli

(12.1.4)

M – masa płynu zawarta w objętości V.

Gęstość materii zależy od wielu czynników takich jak temperatura czy też ciśnienie. W tabeli 12.1 przedstawiony jest zakres wartości gęstości materii spotykanych w przyrodzie.

1.3. Zmiany ciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu

Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od poziomu odniesienia (Wybranym dowolnie poziomem odniesienia jest płaskie, poziomo zorientowane dno naczynia). Grubość dysku wynosi , a powierzchnia każdej strony (dołu i góry dysku) wynosi S. Masa takiego elementu jest równa , a jego ciężar .

Prawo Pascala i prawo Archimedesa

prawem Pascala. Prawo to formułuje się następująco: ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.

Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa.

Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się siłą wyporu.

Ponieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego jest zrobione możemy więc zastąpić rozpatrywane ciało płynem takim samym płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił. Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi płynu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy prawo Archimedesa: ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu. Tak więc

(12.1.9)

gdzie:

- siła wyporu

- masa wypartego płynu

- gęstość wypartego płynu

- objętość wypartego płynu – objętość zanurzonej części ciała

- przyspieszenie ziemskie

Równanie Bernoulliego

Rozważmy nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu przez rurę (rys. 12.10). Ciecz na rysunku płynie w stronę prawą. W czasie Δt powierzchnia przemieszcza się o odcinek do położenia . Analogicznie powierzchnia przemieszcza się o odcinek do położenia Na powierzchnię działa siła a na powierzchnię siła Zwróćmy uwagę, że efekt sumaryczny przepływu płynu przez rurkę polega na przeniesieniu pewnej objętości V płynu ograniczonej powierzchniami do położenia .

Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Może być stosowane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia (rurka Venturiego, rurka Pitota). Można też w oparciu o nie wyznaczyć dynamiczną siłę nośną.

Prawo Coulomba

Charles Augustin de Coulomb (1736 – 1806) w roku 1785 zmierzył po raz pierwszy wielkość sił elektrycznych przyciągających i odpychających i sformułował prawo, które można zapisać równaniem

(26.1)

gdzie:

F – siła oddziaływania pomiędzy ładunkami zgromadzonymi na ciałach,

Q₁ i Q₂ – wartości ładunków zgromadzonych na ciałach,

r – odległość między środkami ciał,

ε_o – przenikalność dielektryczna próżni.

W celu uproszczenia zapisu można przyjąć, że

Wtedy równanie obrazujące Prawo Coulomba przyjmuje postać:

(26.2)

Jeśli natomiast ciała obdarzone ładunkami znajdują się w innym ośrodku niż próżnia to Prawo Coulomba można zapisać w bardziej ogólnej postaci:

(26.3)

gdzie:

– przenikalność dielektryczna względna wskazująca ile razy przenikalność dielektryczna danego ośrodka jest większa od przenikalności dielektrycznej próżni.

Prawo to jest słuszne dla takich ciał obdarzonych ładunkiem elektrycznym, których rozmiary są małe w porównaniu z dzielącą je odległością r.

W układzie jednostek MKS (metr, kilogram, sekunda), czyli układzie SI jednostką ładunku elektrycznego jest kulomb (C).

„1C (kulomb) jest równy ładunkowi jaki przepływa przez poprzeczny przekrój przewodnika w ciągu jednej sekundy jeżeli w przewodniku płynie prąd o natężeniu I równym jednemu amperowi”

Zgodnie z prawem Coulomba

Z podobieństwa trójkątów równoramiennych (rys. ) wynika, że

Stąd

gdzie iloczyn jest wartością elektrycznego momentu dipolowego.

Wektor natężenia pola elektrycznego

Przestrzeń otaczającą ładunek elektryczny nazywamy polem elektrycznym. Każdemu punktowi przestrzeni wokół ładunku elektrycznego można przypisać wektor natężenia pola elektrycznego

W celu ilościowego opisania pola elektrycznego umieszczamy w badanym punkcie przestrzeni ładunek próbny (z założenia mały i dodatni) i mierzymy siłę oddziaływania elektrycznego (kulombowskiego) pomiędzy ładunkiem źródłowym Q i próbnym _. Natężenie pola elektrycznego w tym punkcie definiujemy jako:

(26.4)

 - jest wielkością wektorową i ma kierunek wektora siły czyli kierunek w jakim poruszałby się dodatni ładunek próbny  umieszczony w tym punkcie pola elektrycznego.

Natomiast długość wektora Można wyliczyć posługując się zależnością:

Jednostką natężenia pola elektrycznego E, zgodnie z definicją

lub

Linie pola elektrycznego

a) ładunku punktowego dodatniego, b) ładunku punktowego ujemnego, c) dwóch ładunków punktowych różnoimiennych (taki układ ładunków nazywamy dipolem elektrycznym), d) dwóch ładunków punktowych jednoimiennych i e) jednorodnie (dodatnio) naładowanej płaskiej płyty. Zaznaczono również wektor natężenia pola elektrycznegow wybranych punktach przestrzeni otaczającej ładunki.

Ruch ładunku elektrycznego w polu elektrycznym.

Doświadczenie Millikana

Doświadczenie Millikana pozwoliło wyznaczyć (zmierzyć) najmniejszy ładunek elektryczny – ładunek elementarny.

Ideowy schemat aparatury

Rys. 26.9. Ideowy schemat aparatury stosowanej przez Millikana do wyznaczania ładunku elementarnego

Między okładki kondensatora płaskiego wprowadzano bardzo drobne kropelki rozpylanej ponad kondensatorem cieczy, np. oleju parafinowego.. Kropelki te posiadały uzyskany na skutek tarcia podczas rozpylania pewien ładunek elektryczny. Za pomocą umieszczonego z boku kondensatora mikroskopu obserwowano i mierzono prędkość opadania kropelek.

Przypadek I

Załóżmy, że do okładek kondensatora nie jest podłączone napięcie elektryczne. Wtedy na opadającą ze stałą prędkością v kropelkę działają następujące siły: siła ciężkości , siła wyporu ośrodka oraz siła lepkości zwana siłą Stokesa. Gdzie:

m – masa kropelki, g – przyspieszenie ziemskie, R – promień kropelki (zakładamy, że kropelka ma kształt kulki o promieniu R), ρ_c – gęstość cieczy, ρ_p – gęstość ośrodka (powietrza), η - współczynnik lepkości.

Rys.26.10. Siły działające na kropelkę (przypadek I)

Zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, skoro prędkość kropelki v = const., to wypadkowa siła działająca na kropelkę musi być równa zeru. Czyli

Stąd

Z powyższej zależności można obliczyć promień R kropelki..

Przypadek II

Do okładek kondensatora przykładamy napięcie elektryczne U, którego wartość dobieramy tak aby obserwowana kropelka zawisła nieruchomo. Wtedy prędkość v kropelki będzie równa zeru. Zerową wartość będzie miała również siła lepkości . Na kropelkę będą działały trzy siły: siła ciężkości , siła wyporu oraz siła oddziaływania elektrostatycznego pomiędzy okładkami kondensatora a ładunkiem Q zgromadzonym na kropelce

Rys.26.11. Siły działające na kropelkę (przypadek II)

Podobnie jak poprzednio, zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona, siła wypadkowa działająca na kropelkę będzie równa zeru. Czyli

Stąd ładunek Q zgromadzony na kropelce jest równy

Przypadek III

Rozpatrzmy przypadek tak dobranego pola o natężeniu , aby pod jego wpływem kropelka naładowana ładunkiem wznosiła się ku górze ze stałą prędkością Wtedy na kropelkę będą działały cztery równoważące się siły: Siła ciężkości , siła lepkości , siła wyporu oraz siła elektrostatyczna . Czyli

Wyznaczony ładunek Q₁ zgromadzony na kropli wynosi

Rys.26.12. Siły działające na kropelkę (przypadek III)

Celem uniknięcia błędów zmieniono ładunek zgromadzony na kropli i podobnie wyznaczono jego wartość Q₂.(Zmiany ładunku zgromadzonego na kropli, można dokonać kierując wiązką promieni Rőentgena na przestrzeń pomiędzy okładkami kondensatora. Promienie Rőentgena wywołują jonizację powietrza. Wytworzone w ten sposób jony osiadają na kropli zmieniając jej ładunek).

Pomiarów ładunku Q₃, Q₄, itd. dokonywano w podobny sposób jak pomiary ładunków Q₁ i Q₂. Okazało się, że zawsze jest całkowitą wielokrotnością pewnego ładunku . Ładunek ten jest ładunkiem elementarnym. W doświadczeniu Millikana zawsze spełnione było równanie

Gdzie n = 1, 2, 3,… (liczba naturalna)

27.1. Prawo Gaussa

pole elektryczne w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw. linii pola elektrycznego zwanych liniami sił. Linie nie tylko pokazują kierunek wektora ale również jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni przekroju poprzecznego).

Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię ΔS oznaczymy to wówczas

gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni i wektorem .

W ogólności więc

(27.1)

- jest strumieniem elektrycznym a równanie (27.1) definicją strumienia elektrycznego.

Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę przyczynków od elementów powierzchni

Suma ta przedstawia całkę powierzchniową

(27.2

. Prawo Gaussa i prawo Coulomba

Skorzystajmy z rozwiązania w przykładzie 1. Otrzymaliśmy tam, że strumień Φ pola elektrycznego przechodzący przez powierzchnię Gaussa S otaczającą punktowy ładunek elektryczny Q jest równy

Stąd wynika, że

gdzie jest powierzchnią sfery – powierzchnią Gaussa.

Zatem

Umieśćmy w punkcie w którym natężenie pola elektrycznego jest równe E, ładunek próbny . Siłę oddziaływania pomiędzy ładunkiem próbnym a ładunkiem Q można przedstawić równaniem

Czyli

Jest to prawo Coulomba.

Potencjał elektryczny V

Aby wyznaczyć różnicę potencjałów elektrycznych między punktami A i B pola elektrycznego przesuwamy ładunek próbny z punktu A do punktu B mierząc jednocześnie pracę którą w tym celu należy wykonać. Różnica potencjałów pomiędzy punktami A i B pola elektrycznego określona jest następująco

(28.1)

Praca może być dodatnia, ujemna lub równa zeru. Wtedy potencjał w punkcie B będzie odpowiednio wyższy, niższy lub taki sam jak w punkcie A.

Jednostką potencjału elektrycznego jest 1V (volt).

Zazwyczaj jako punkt A wybiera się punkt znajdujący się w znacznej odległości od wszystkich innych ładunków (ściśle biorąc w nieskończoności) i potencjał elektryczny w tym punkcie jest umownie przyjmowany za równy zeru. Pozwala to na określenie potencjału elektrycznego w konkretnym, dowolnym punkcie pola elektrycznego. Przyjmując możemy zapisać

, (28.2)

gdzie W jest pracą jaką należy wykonać aby przenieść ładunek próbny z nieskończoności do danego punktu.

Czytelnik powinien pamiętać, że podstawowym pojęciem jest różnica potencjałów a równanie (28.2) jest wynikiem umownego przyjęcia, że potencjał elektryczny w nieskończoności jest równy zeru.

Potencjał elektryczny zdefiniowany równaniem (28.2) jest skalarem, gdyż W i występujące w tym równaniu są skalarami.

Zarówno praca W jaki i różnica potencjałów , występujące w równaniu (28.1) nie zależą od drogi, którą przebywa ładunek próbny . Pola, które mają tę własność nazywamy polami zachowawczymi.

Związek pomiędzy natężeniem pola elektrycznego E a potencjałem elektrycznym V.

Natężenie pola elektrycznego zdefiniowane jest jako iloraz siły działającej pomiędzy źródłowym ładunkiem punktowym Q a ładunkiem próbnym i ładunku próbnego. Dla dwóch ładunków punktowych ( źródłowego Q i próbnego ) otrzymujemy

,

Natomiast potencjał elektryczny V zgodnie z równaniem (28.3) lub (28.5)

Zatem

Stąd

(28.7)

Zbiór punktów, w których potencjał elektryczny jest jednakowy nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.

Pojemność elektryczna C.

Potencjał elektryczny naładowanej ładunkiem dodatnim +Q przewodzącej, odosobnionej kuli o promieniu R wynosi

Natomiast potencjał naładowanej ładunkiem ujemnym –Q przewodzącej, odosobnionej od innych naładowanych i nie naładowanych ciał kuli o promieniu R wynosi

Różnica potencjałów, gdy te naładowane kule są w nieznacznej odległości jest równa

Stąd

Q ∼ U

Współczynnik proporcjonalności pomiędzy Q i U nosi nazwę pojemności elektrycznej C i zależy od odległości R między przewodnikami, zmienia się bowiem różnica potencjałów przy zachowaniu stałego ładunku Q.

Pojemnością elektryczną C ciała przewodzącego nazywamy stały dla tego ciała stosunek wprowadzonego na nie ładunku Q do uzyskanego przez nie potencjału (różnicy potencjałów) U.

(28.9)

Wielkość pojemności elektrycznej C informuje jak wielki ładunek Q należy wprowadzić na dane ciało by je naładować do jednostkowego potencjału.

Jednostką pojemności elektrycznej C jest Farad.

Inne używane jednostki pojemności elektrycznej to:

Linie pola magnetycznego

Przestrzeń otaczającą magnes albo przewodnik, w którym płynie prąd elektryczny nazywamy polem magnetycznym.

Linie indukcji mają, według umowy, swój początek na biegunie północnym (N) a koniec na biegunie południowym (S).

Linie pola magnetycznego wytwarzanego przez przewodnik są zamkniętymi współśrodkowymi okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika. To, że linie pola B są zamknięte stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego linie zaczynają się i kończą na ładunkach.

Kierunek linii indukcji wyznacza się stosując regułę „prawej dłoni”: Jeżeli prawą dłonią obejmiemy przewodnik w ten sposób, że wystający kciuk wskaże umowny kierunek przepływu prądu w przewodniku (od potencjału wyższego do niższego) to zgięte palce wskażą kierunek linii pola magnetycznego.

Wektor indukcji magnetycznej

Definicja indukcji magnetycznej

Jeżeli dodatni ładunek próbny porusza się w stronę punktu P z prędkością i jeżeli na ten ładunek działa odchylająca siła, to w punkcie P istnieje pole magnetyczne o indukcji, gdzie jest wektorem spełniającym związek

, i są wielkościami mierzonymi.

Wartość magnetycznej siły odchylającej określona jest wzorem

Natomiast kierunek i zwrot wektora siły wyznaczyć można stosując regułę śruby prawoskrętnej lub regułę prawej dłoni.

Jeśli mamy określony kierunek wektora indukcji, to możemy zorientować wektor prędkości w taki sposób by ładunek próbny poruszał się w kierunku prostopadłym do wektora indukcji. Wtedy na ten ładunek będzie działać maksymalna siła

Czyli gdy wektory i są wzajemnie prostopadłe ( ⊥ )

Wielkość indukcji B można wówczas zdefiniować przez wartość maksymalnej siły działającej na ładunek próbny jako

Jednostką indukcji magnetycznej B jest Tesla (T)

lub

Wb – Weber – jednostka strumienia magnetycznego.

Ruch cząstki naładowanej w jednorodnym polu magnetycznym.

Rozważmy ruch cząstki o masie m naładowanej ładunkiem elektrycznym q wprowadzonej z prędkością v w obszar jednorodnego pola magnetycznego o indukcji B. Niech w dodatku wektor prędkości tworzy z wektorem indukcji magnetycznej kąt prosty (rys.29.8). Na cząstkę będzie działać siła Lorentza o wartości bezwzględnej , której wektor leży w płaszczyźnie rysunku.

Cząstka o masie m i ładunku elektrycznym q będzie poruszać się w płaszczyźnie rysunku a torem jej ruchu będzie okrąg. Ponieważ jedyną siłą działającą na cząstkę jest siła a cząstka poruszać się będzie po okręgu to siła ta musi stanowić siłę dośrodkową w ruchu jednostajnym po okręgu. (Siła pola magnetycznego często nazywana jest siłą Lorentza i oznaczona symbolem . Równie często mianem siły Lorentza określa się sumę sił pola elektrycznego i magnetycznego; czyli: ).

Zatem

- siła Lorentza

- siła dośrodkowa

Stąd

R – promień okręgu, po którym porusza się cząstka.

Po uproszczeniach otrzymujemy

Z ostatniej zależności wynika, że dla określonej cząstki i zadanych parametrów pola magnetycznego promień R zakreślanego okręgu przez cząstkę będzie wprost proporcjonalny do prędkości v, z którą cząstka wpadnie w obszar jednorodnego pola magnetycznego. Szybsze cząstki zakreślą okręgi o większych promieniach niż cząstki wolniejsze.

Korzystając z relacji pomiędzy prędkością liniową v a prędkością kątową ω;

otrzymujemy

Stąd

Ponieważ

ν - częstość

to porównując ostatnie dwie zależności otrzymujemy

Wyznaczona częstość ν nosi nazwę częstości cyklotronowej i nie zależy ona od prędkości v z jaką cząstka zostanie wpuszczona w obszar pola magnetycznego. Cząstki szybsze poruszać się będą po większych okręgach niż cząstki wolniejsze, ale wszystkie będą potrzebować tyle samo czasu aby zakreślić jeden pełny okrąg . Działanie pola magnetycznego na przewodnik, w którym płynie prąd elektryczny.

Prąd elektryczny jest zborem poruszających się ładunków elektrycznych. Ponieważ pole magnetyczne wywiera działanie odchylające na pojedynczy poruszający się ładunek elektryczny, spodziewamy się, że będzie także odchylać przewodnik, w którym płynie prąd elektryczny.

Na rysunku 29.9 przedstawiono drut o długości l, w którym płynie prąd elektryczny o natężeniu i, umieszczony w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Dla uproszczenia drut jest zorientowany tak, że wektor gęstości prądu tworzy z wektorem indukcji magnetycznej kąt prosty.

- wektor poprzecznego przekroju przewodnika

S – pole poprzecznego przekroju przewodnika.

Na pojedynczy elektron przewodnictwa poruszający się w przewodniku z prędkością v działa ze strony pola magnetycznego o indukcji odchylająca siła

Kierunek i zwrot siłyzostał wyznaczony (rys. 29.10) według reguły śruby prawoskrętnej. (Należy zwrócić uwagę, że ładunek elektronu e ma znak ujemny)

Natomiast jej wartość wyznacza równanie

ponieważ

Przyjmując, że każdy elektron przewodnictwa porusza się wewnątrz drutu z prędkością zwaną prędkością unoszenia to siłę F’ działającą ze strony pola magnetycznego na pojedynczy elektron przewodnictwa można przedstawić równaniem

Niech n oznacza liczbę elektronów przewodnictwa w jednostce objętości drutu (n – koncentracja). Wówczas jest liczbą wszystkich elektronów przewodnictwa znajdujących się w drucie o długości l i polu poprzecznego przekroju S. Natomiast całkowity ładunek przewodnictwa Q zawarty w drucie jest równy

Jeśli wszystkie elektrony poruszają się z prędkością unoszenia v_u to czas t potrzebny na przesunięcie elektronów przewodnictwa na odległość l jest równy

Zgodnie z definicją natężenia i prądu elektrycznego

Natomiast całkowita siła F działająca ze strony pola magnetycznego na wszystkie elektrony przewodnictwa zawarte w drucie jest iloczynem ilości elektronów przewodnictwa N i siły F’ działającej na pojedynczy elektron przewodnictwa. Czyli

Porównując dwie powyższe zależności można siłę F wyrazić następująco

Przyjmując, że długość drutu l reprezentuje wektor przemieszczenia elektronów ostatnie równanie można przedstawić w zapisie wektorowym

 - wektor przemieszczenia elektronów o kierunku wyznaczonym przez prosty drut.

Analiza i wnioski z oddziaływania pola magnetycznego na przewodnik elektryczny

Ujemne ładunki elektryczne poruszające się w drucie (rys. 10.11) w lewą stronę, są równoważne dodatnim ładunkom elektrycznym poruszającym się w prawą stronę. Tak więc, przez pomiar odchylającej siły magnetycznej działającej na drut przewodzący prąd elektryczny i umieszczony w polu magnetycznym, nie można rozstrzygnąć, czy nośnikami prądu elektrycznego są ujemne ładunki poruszające się w jednym kierunku, czy też ładunki dodatnie poruszające się w kierunku przeciwnym gdyż kierunek i zwrot odchylającej siły są takie same.

Prawo Stefana-Boltzmana

Według ustalonego doświadczalnie prawa przez Stefana, a następnie uzasadnionego teoretycznie przez Boltzmana, całkowita zdolność emisyjna dla ciała doskonale czarnego, zależy od temperatury wyrażonej w skali bezwzględnej w następujący sposób.

Gdzie - stała Stefana-Boltzmana

Natomiast dla ciał szarych

a – współczynnik szarości

0 < a < 1

Prawo przesunięć Wiena

Poniższe wykresy (rys.33.5) przedstawiają zależności spektralnej zdolności emisyjnej w funkcji długości fali dla ciał doskonale czarnego będącego w różnych temperaturach.

Jak widać, w miarę wzrostu temperatury nie tylko pole pod krzywą emisyjną gwałtownie wzrasta, lecz także maksimum krzywej przesuwa się wyraźnie w stronę fal krótszych.

Wien stwierdził, że obowiązuje przy tym zależność:

którą można odczytać następująco:

Iloczyn długości fali , przy której występuje maksimum krzywej emisyjnej i temperatury T jest stały.

C – stała

Zjawisko fotoelektryczne (zewnętrzne)

W latach 1886 i 1887 Henrich Hertz wykonał doświadczenie, w którym wykazał, że wyładowanie elektryczne pomiędzy dwoma elektrodami zachodzi łatwiej, gdy na jedną z elektrod pada promieniowanie nadfioletowe. Wkrótce potem Leonard wykazał, że w wyniku naświetlania promieniowaniem nadfioletowym katody następuje emisja elektronów z jej powierzchni i dlatego ułatwione jest zachodzenie wyładowania elektrycznego.

Zjawisko uwalniania przez światło (falę elektromagnetyczną) elektronów z powierzchni rozmaitych substancji nazywane jest zjawiskiem fotoelektrycznym.

W bańce szklanej, w której panuje wysoka próżnia, znajdują się dwie elektrody. Światło monochromatyczne wchodzące przez okienko kwarcowe kierowane jest na katodę K uwalniając z niej elektrony. Elektrony te można rejestrować jako płynący prąd elektryczny wytwarzając pomiędzy elektrodami (katodą K i anodą A) odpowiednią różnicę potencjałów U. Do pomiaru natężenia tego prądu służy włączony w obwód galwanometr G lub amperomierz. Napięcie elektryczne pomiędzy elektrodami można zmieniać w sposób ciągły; można zmieniać również znak potencjału na elektrodach.

Zjawisko Halla

Polega on na wystąpieniu różnicy potencjałów w przewodniku, w którym płynie prąd elektryczny, gdy przewodnik znajduje się w poprzecznym do płynącego prądu polu magnetycznym.