FIZYKA (W5 prof. Lidia Maksymowicz)

1. Oddziałyawania elektryczne.

2. Matematyka pól wektorowych.

3. Potencjał pola elektrycznego.

4. Dipol elektryczny. Potencjał i natężenie pola od ładunku dipolowego.

Ad 1.) Oddziaływanie elektryczne.

1. Siła Couloba.

(1) ;k = 8,9874 * 10⁹ [Nm²/C²]

(1) to definicja jednostki ładunku Columb, jest to ładunek, który na równy sobie umieszczony w odległości 1 [m] działa siłą k [N].

;ε₀ = 8,857 * 10 ^-12 [C²/Nm²] - przenikalność elektryczna próżni

(1a)

2. Pole elektryczne .

Obszar, w którym na ładunek elektryczny działa siła (Coulomb'owska) nazywamy polem elektrycznym, siła ta wynika z obecności w przestrzeni różnych ładunków elektrycznych. Pole elektryczne jest równe sile działającej na ładunek jednostkowy (E = F; q = 1)

Dla ładunku punktowego rozkład pola elektrycznego jest radialny i pole elektryczne wytworzone przez Q

(2) ;= 1, ||

3. Strumień pola elektrycznego.

Pojęcie strumienia Φ dla dowolnego pola wektorowego V

; ⊥ Σ (3)

(3a) (rys1)

= -dS₁E + dS₂E + dS₃E

= 0

4. Prawo Gaussa.

Prawo Gaussa stosuje się do dowolnej powierzchni (powierzchni Gaussa) i daje ono związek między Φ_E przechodzącym przez tą powierzchnię i całkowitym ładunkiem zamkniętym w jej wnętrzu.

ε₀ = q_całkowity (4)

Wykorzystując (3a) otrzymujemy

ε₀ = q_całkowity (4a)

(4a) pozwala obliczyć natężenie pola elektrycznego wytwarzane przez ładunek q_całkowity w dowolnym punkcie przestrzeni, w której działają siły pola elektrycznego.

Np.

Kulisto-symetryczny rozkład ładunku o promieniu R.

ρ - gęstość objętościowa ładunku

1. r > R

ε₀ = = Q

Powierzchnię Gaussa wybieramy dowolnie, jednak, ze względu na prostotę obliczeń, wygodniej jest wybrać powierzchnię Gaussa spójną z rozważanym rozkładem ładunku elekrycznego. Tak więc dla kulisto-symetrycznego rozkładu powierzchnia Gaussa będzie sferą, gdyż dla niej będą spełnione następujące warunki:

a) jest stałe dla sfery o promieniu "r",

b) jest zawsze prostopadłe do elementu powierzchni,

c) zawsze równoległe do elementu .

ε₀ E = Q

ε₀ E 4 π R² = Q

2. r < R

Dla powierzchni Gaussa w postaci sfery o promieniu r:

(rys2)

Ad 2.) Matematyka pól wektorowych.

1. Operator Nabla.

(1)

T - funkcja skalarna - funkcja wektorowa

T(x,y,z) (x,y,z)

a) T(x,y,z) wektor

grad T wektor (gradian)

b) (x,y,z) skalar

div skalar (divergencja)

c) (x,y,z) wektor

rot wektor (rotacja)

Interpretacja operacji algebraicznych z operatorem Nabla:

Ad a) gradient grad T jest to wektor o znaczeniu fizycznym i przedstawia on zmienność skalarną T(x,y,z) w przestrzeni. "X-owa" grad T(x,y,z) określa zmienność skalara T w kierunku osi "x-ów". Kierunek zmuan wektora grad T(x,y,z) pokrywa siię z tym kierunkiem, w którym T(x,y,z) względem przesunięcia jest największy, czyli grad T(x,y,z) ma kierunek najbardziej stromego wznoszenia składowej skalara T(x,y,z).

Ad b) divegencja div. W celu zilustrowania interpretacji fizycznej div korzysta się z twierdzeń matematycznych, które w teorii pola odgrywają taką rolę, jaką Zasada Zachowania Energii odgrywa w mechanice cząstek. Obliczanie strumienia pola wektora wypływającego z małego sześcianu. (rys3)

Szukamy strumienia przechodzącego przez kostkę.

Sumujemy strumienie przechodzące przez każdą ścianę.

Ściana 1. Strumień z powierzchni "1":

całkę przybliżamy przez wartość w środku ściany (sześcian jest mały) pomnożoną przez yz.

"1" = - yz

"2" = yz

i na ogół trochę się różnią. Dla x małego mamy (wyrażamy poprzez korzystając z rozwinięcia w szereg z pominięciem wyrazów wyższych rzędów):

= +

Wstawiamy to rozwinięcie:

"2" = [ + ]yz

("1" i "2") strumień z powierzchni 1 i 2.

"1" + "2" = - yz + yz + xyz (1)

Uwaga !

Pochodna powinna być liczona w środku ściany "1", czyli w punkcie (x,,). Dla nieskończenie małej kostki popełniamy mały błąd. Można równiaż obliczenia przeprowadzić w narożniku (x, y, z).

Dla pozostałych ścian mamy:

"3" + "4" = xyz (2)

"5" + "6" = xyz (3) (1) + (2) + (3) = (4)

= (++)xyz ;V = xyz, = ++

= (4)

Wynika stąd, że divergencja w punkcie P jest równa strumieniowi ("przypływowi") na jednostkę objętości, w otoczeniu punktu P, nieskończenie małego obszaru. Dla dowolnie skończonego obszaru korzystamy z faktu, że całkowity strumień z jakiegoś obszaru jest sumą strumieni z każdej z jago części. Całka po dowolnej powierzchni zamkniętej ze składowej normalnej wektora jest równa całce objętościowej po obszarze ograniczonym tą powierzchnią z divergencją tego wektora. To jest twierdzenie Gaussa:

=

gdzie S jest dowolną powierzchnią zamykającą obszar V.

Pole źródłowe lub bezźródłowe

= =

Dla jednostki objętości

= =

= - gęstośc objętościowa ładunku.

Ad c) rotacja rot , krążenie pola wektorowego.

Pojęcie krążenia jest zaczerpnięte z rozważań dotyczących krążenia w zamkniętych rurach.

Dowolna krzywa zamknięta: (rys4)

Twierdzenie Stoksa:

=

Całka krzywoliniowa po obwodzie zamkniętym z dowolnego pola V jest równa całce powierzchniowej po powierzchni zamkniętej wewnątrz krzywej z rotacji , gdzie

|| elementu

|| normalnej do powierzchni

Dla pola , dla którego rot = 0, krążenie po dowolnej krzywej zamkniętej będzie równe zero. Takie pole nazywamy polem bezwirowym (np. pole elektryczne).

2. Drugie pochodne pól wektorowych.

a) = div (grad T)

b) = rot (grad T) 0

c) = grad (div )

d) = div (rot ) 0

e) = rot (rot )

Ad b) Tw:

= grad ϕ(x,y,z)

Ad d) Tw:

div 0 = rot

Operator jest skalarem i oznaczany jest jako [laplasian].

Ad 3.) Potencjał pola elektrycznego.

Potencjał pola wiąże się z natężeniem pola elektrycznego podobnie jak energia potencjalna z siłą.

= -grad U(x,y,z)

=

Dla ładunku jednostkowego = czyli = -grad U(x,y,z) (1)

= (2) postać całkowa prawa Gaussa

= (3) postać różniczkowa

Jeżeli spełnione jest (1) przez analogię do mechaniki to z drugich pochodnych pól wektorowych wynika

= 0 (4)

a z twierdzenia Stoksa wynika

= 0 (5)

Równania (2) i (3) oznaczają, że pole jest polem źródłowym, tzn., że zawsze można wskazać w którym punkcie przestrzeni zaczynają się linie pola elektrycznego. Równania (4) i (5) oznaczają, że pole jest polem bezwirowym. Równania (2)(3)(4)(5) są to tzw. równania elektrostatyki. Równanie (5) jest innym zapisem prawa Kirchoffa, które mówi, że suma wszystkich spadków napięć w obwodzie zamkniętym (oczko) jest równa zero.

= = =

= - równanie Poissona

Równanie Poissona służy do wyliczenia potencjałów, gdy znana jest gęstość ładunku lub rozkład gęstości ładunku. Dla = 0 czyli = 0 jest to równanie La Plasa. Obydwa te równania służą do obliczania potencjału pola elektrycznego w dowolnym elemencie objętości. Znając potencjał możemy przedstawić go w relacji całkowej z natężeniem pola elektrycznego.

=

Potencjał w punkcie P pochodzący od ładunku punktowego

= =

Ad 4.) Dipol elektryczny. Potencjał i natężenie pola od ładunku dipolowego.

1. Potencjał pola elektrycznego od ładunku dipolowego.

(rys5)

Potencjał punkcie P

(1)

Założenia:

Ładunki "+q" i "-q" są położone blisko siebie. Wyliczamy potencjał w punkcie P w odległości r>>d. Taką bliską parę ładunków elektrycznych nazywamy dipolem elektrycznym (dipole atomowe, dipole molekularne, zjawisko polaryzacji materii w skali mikroskopowej).

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

Stosując rozwinięcia w szereg (1e) i (1f) i traktując oraz wstawiając do (1) przybliżenia dostajemy:

(1e) (1g)

(1f) (1h)

(2)

Moment dipolowy:

p = q d

Oś dipola jest zgodna z osią d:

(3)

W danym kierunku od dipola potencjał maleje jak , podczas, gdy dla ładunku monopoloweg maleje jak . Natężenie pola elektrycznego od dipola maleje jak , podczas, gdy dla ładunku monopolowego maleje jak .

(rys6)

Dipol opisany za pomocą wektora:

(4)

Moment dipolowy jest wektorem skierowanym zgodnie z osią dipola o kierunku "-q" do "+q"

Wzór (3) lub (4) stosuje się dla dowolnej orientacji dipola w stosunku do obserwacji, jeżeli tylko jest wektorem prowadzącym od dipola do punktu obserwacji. Prowadzimy go zawsze od środka dipola .

2. Natężenie pola elektrycznego od ładunku dipolowego.

(5)

Liczymy składową pola wzdłuż osi dipola

(6)

(7)

(7a)

!

W przypadku dipola elektrycznego szczególnie interesujące są składowe || oraz ⊥ składowa transwensalna, która leży w płaszczyźnie xy i skierowana jest od osi dipola.

Pole elektryczne dipola: (rys7)

Dla = 0 i = składowa transwensalna = 0.

W przyrodzie dipol elektryczny występuje w skali mikroskopowej, szczególnie to jest uwidocznoine w zjawiskach związanych z polaryzacją materii.

---