Politechnika Białostocka

Katedra Elektrotechniki teoretycznej i Metrologii

Omomierz

Metoda techniczna pomiaru rezystancji

Opracował Ryszard Piotrowski

Wykład 3

Białystok, marzec 1999 r

Metody pomiaru rezystancji

Szeregując metody pomiaru rezystancji według rosnącej dokładności, należy przedstawić je następująco:

1. Metoda odchyłowa, czyli pomiar rezystancji omomierzem

2. Metoda techniczna

3. Metoda mostkowa

Wyraźnie oddzielną grupę stanowią metody cyfrowe, których dokładność zależy od sposobu przetwarzania rezystancji mierzonej na sygnał cyfrowy.

W wykładzie tym omówiona zostanie metoda odchyłowa (omomierz) oraz metoda techniczna.

1. Metoda odchyłowa (omomierz)

Omomierz jest prostym przyrządem wskazówkowym przeznaczonym do szybkiego, choć mało dokładnego pomiaru rezystancji z bardzo szerokiego zakresu (0 - ∞) Ω. Błąd wskazań szybko rośnie w pobliżu skrajnych wartości podanego przedziału, co zostanie omówione dalej, dlatego w praktyce wykorzystywana jest najczęściej środkowa część podziałki przyrządu.

Podstawowym elementem składowym omomierza, zarówno szeregowego jak
i równoległego, jest ustrój pomiarowy magnetoelektryczny (ME). W omomierzu szeregowym rezystancja mierzona włączana jest szeregowo, zaś w równoległym równolegle z tym ustrojem. Omomierz szeregowy wykorzystywany jest znacznie częściej niż równoległy, dlatego w dalszej części wykładu będziemy zajmować się wyłącznie tym pierwszym.

Na rys.1. przedstawiono schemat ideowy najprostszego omomierza szeregowego. Składa się on z ustroju magnetoelektrycznego ME o rezystancji wewnętrznej R₀ , rezystora dodatkowego R_D oraz źródła zasilania E o rezystancji wewnętrznej R_Z .

Rys.1. Schemat ideowy omomierza szeregowego

Gdy do obwodu włączona jest rezystancja mierzona R_X , przez ustrój ME płynie prąd
I_U określony zależnością (1)

(1)

gdzie R_W = R₀ + R_D + R_Z jest rezystancją wewnętrzną omomierza.

Gdy zaciski wejściowe omomierza są zwarte (R_X = 0), w obwodzie płynie prąd znamionowy ustroju I₀ , tzn. prąd powodujący pełne odchylenie jego wskazówki α_max. Prąd ten określony jest zależnością (2), którą otrzymuje się przez podstawienie w równaniu (1) R_X = 0.

(2)

W ustroju ME kąt odchylenia organu ruchomego α jest proporcjonalny do natężenia prądu I płynącego przez cewkę,

α = c I ,

gdzie c - stała konstrukcyjna ustroju.

Podstawiając w powyższej zależności w miejsce prądu I wyrażenie (1), otrzymuje się równanie (3)

(3)

zaś podstawiając wyrażenie (2), dostaje się równanie (4)

(4)

Dzieląc stronami równania (3), (4), otrzymamy,

(5)

skąd

(6)

Zależność (6) nazywana jest funkcją przetwarzania omomierza, czyli związkiem między odpowiedzią α układu a wymuszeniem R_X. Jak wynika z zależności (6) jest to funkcja nieliniowa, czego konsekwencją jest nierównomierność podziałki przyrządu, stanowiąca główną wadę omomierza.

Zwróćmy uwagę na trzy charakterystyczne punkty podziałki omomierza szeregowego:

gdy R_X = 0 , α = α_max

gdy R_X = R_W , α = 0,5 α_max

gdy R_X = ∞ , α = 0

Wynika stąd m. in., że wskazówka przyrządu spocznie dokładnie na środkowej kresce działowej podziałki, gdy rezystancja mierzona R_X będzie równa rezystancji wewnętrznej R_W omomierza. Ten szczególny punkt podziałki jest jednym z charakterystycznych parametrów omomierza.

Błąd pomiaru rezystancji w układzie omomierza szeregowego

Wyjdźmy z powszechnie znanej definicji błędu względnego:

(7)

Z zależności (6) wyznaczymy R_X :

(8)

Bezwzględny błąd pomiaru ΔR_X określa zależność (9):

(9)

Obliczając pochodną funkcji (8) względem zmiennej α , otrzymujemy zależność (10)

(10)

Podstawiając do definicji (7) wyrażenia (8), (10), otrzymamy po przekształceniach:

Mnożąc następnie licznik i mianownik ułamka Δα/α przez α_max , dostaniemy po przekształceniach:

(11)

Iloraz Δα/α_max przedstawia bezwzględny błąd wskazań Δα odniesiony do maksymalnego odchylenia wskazówki α_max. Iloraz ten zależy od precyzji wykonania ustroju magnetoelektrycznego ME. Przyjmiemy, że: Δα/α_max = 0,01 wobec czego zależność (11) przyjmie ostateczną postać wyrażenia (12).

[%] (12)

Zależność błędu wskazań δ_Rx omomierza szeregowego od ilorazu α/α_max przedstawiona jest na rys.2. Jak widać, powyższy błąd jest ujemny w całym zakresie zmienności α oraz ma maksimum dla α = 0,5 α_max .

Oto charakterystyczne wartości błędu δ_Rx :

dla α = 0 δ_Rx → - ∞

dla α =0,5 α_max δ_Rx = (δ_Rx)_max = - 4 %

dla α = α_max δ_Rx → - ∞

Rys.2. Błąd wskazań δ_Rx omomierza szeregowego w funkcji α/α_max

Z punktu widzenia dokładności pomiaru najkorzystniejsza sytuacja istnieje wówczas, gdy wskazówka spoczywa na środkowej kresce działowej podziałki. Moduł błędu pomiaru osiąga wtedy najmniejszą, co modułu, wartość: 4 %. Należy zaznaczyć, że wartość ta jest prawdziwa przy uczynionym wcześniej założeniu: Δα/α_max = 0,01.

Z powyższego wynika jasno, że używając omomierza, należy korzystać ze środkowej części podziałki przyrządu, gdzie błąd ma najmniejsze i mało różniące się wartości. Jest to możliwe w fabrycznych omomierzach, w których środkowa kreska działowa podziałki odpowiada różnym wartościom rezystancji, np. środkowej kresce działowej odpowiadać może rezystancja
50 Ω, 500 Ω, 5000Ω, zależnie od nastawionego „podzakresu” „x1” , „x10' , „x100”.

Warto zauważyć, że pośród stosowanych metod pomiaru rezystancji metoda odchyłowa, której realizacją jest omomierz, stoi zdecydowanie najniżej w hierarchii dokładności. Na wyższym szczeblu tej hierarchii znajduje się metoda techniczna, zaś najwyżej - metoda mostkowa (np. mostek Wheatstone'a, mostek Thomsona).

Omomierz wykorzystywany jest często do sprawdzania ciągłości obwodów elektrycznych, co żargonowo określane bywa przez techników mianem „przedzwaniania obwodu”.

Klasa dokładności omomierza

Szczególne właściwości omomierza znajdują swój wyraz także w sposobie definiowania jego klasy dokładności. Jest ona określona następująco:

gdzie:

k - klasa dokładności

Δ_max - trzysigmowy błąd wskazań

l_max - całkowita długość podziałki

Jest to definicja sformułowana według ogólnych zasad, z tym że zakres pomiarowy (równy nieskończoności) musiał zostać z konieczności zastąpiony całkowitą długością podziałki, co pociągnęło za sobą konieczność wyrażenia w jednostkach długości także błędu Δ_max.

Omomierze szeregowe budowane są w klasach dokładności 1,0 1,5 2,5.

2. Metoda techniczna pomiaru rezystancji

Spośród kilku metod pomiaru rezystancji, metodę techniczną wyróżnia pewna istotna cecha. Metoda ta mianowicie pozwala na pomiar rezystancji przy żądanym natężeniu prądu
w elemencie badanym. Ma to zasadnicze znaczenie przy pomiarze rezystancji zależnych od prądu, kiedy to wymagana jest regulacja prądu pomiarowego w stosunkowo szerokich granicach w celu wyznaczenia charakterystyki prądowo - napięciowej badanego elementu.

We wszystkich pozostałych metodach natężenie prądu narzucane jest przez układ pomiarowy i albo zmienia się w niewielkim zakresie albo ma wartość stałą.

Metoda techniczna polega na pomiarze natężenia prądu I_X płynącego przez element badany oraz napięcia U_X panującego na jego zaciskach. Poszukiwaną wartość rezystancji R_X oblicza się następującej według formuły :

Pomiar dokonywany jest najczęściej przy zasilaniu układu napięciem stałym, może być jednak realizowany także przy zmiennym napięciu zasilającym, wtedy symbole U_X , I_X
w powyższym wzorze oznaczają wartości skuteczne napięcia i prądu. W niniejszym ćwiczeniu badany będzie wyłącznie pierwszy przypadek.

Analiza stosowanych układów pomiarowych

Metoda techniczna może być realizowana w jednym z dwóch układów pomiarowych: w układzie „z dokładnym pomiarem prądu” (rys.3) albo w układzie „z dokładnym pomiarem napięcia” (rys. 4). Określenia te oznaczają, że w pierwszym wypadku amperomierz włączony jest tak, iż mierzy dokładnie prąd, który przepływa przez rezystancję R_x , natomiast woltomierz nie mierzy dokładnie napięcia, które panuje między zaciskami tej rezystancji. W drugim wypadku pozycja woltomierza w układzie pozwala na dokładny pomiar różnicy potencjałów między zaciskami R_x , amperomierz natomiast nie mierzy wyłącznie tego prądu, który płynie przez badaną rezystancję.

Układ z dokładnym pomiarem prądu

Rys.3. Układ z dokładnym pomiarem prądu

Zgodnie z prawem Ohma napiszemy:

(13)

gdzie:

U_V,, I_A - wskazania przyrządów

R_A - rezystancja wewnętrzna amperomierza

U_A - spadek napięcia na rezystancji wewnętrznej amperomierza

Zależność (13) uwzględnia spadek napięcia na rezystancji wewnętrznej amperomierza, który powiększa wskazania woltomierza. Jeżeli okaże się, że pierwszy składnik (U_V/I_A) wyrażenia (13) jest dużo większy od R_A, można pominąć w obliczeniach tę rezystancję. Wzór (13) przyjmie wtedy postać (14):

(14)

Obliczając błąd graniczny pomiaru z uwzględnieniem zależności (13), stosować trzeba wzór (15), natomiast dla formuły (14) obowiązuje wzór (16). Różnica w pracochłonności obliczeń błędów
w obydwu wariantach jest oczywista.

(15)

(16)

Poszczególne symbole w wyrażeniach (15) i (16) oznaczają:

U_V, I_A - wskazania woltomierza i amperomierza

Z_V, Z_A -zakresy pomiarowe tych przyrządów

k_V, k_A, - klasy dokładności woltomierza i amperomierza

R_A - rezystancja wewnętrzna amperomierza

δ_RA - błąd, z jakim określona jest rezystancja wewnętrzna amperomierza

Wzór (16) ma tę zaletę, że pozwala łatwo określić pewna podstawową zasadę pomiarów
z użyciem mierników wskazówkowych. Mówi ona o tym, że błąd pomiaru jest tym mniejszy, im wskazania przyrządów są bliższe ich zakresom pomiarowym. Błąd (16) osiąga wartość minimalną, gdy wskazówki obydwu przyrządów odchylają się do końca swoich zakresów pomiarowych
(U_V = Z_V oraz I_A = Z_A). Jest on wtedy równy sumie klas dokładności amperomierza i woltomierza.

(17)

Przykład pomiaru rezystancji w układzie z dokładnym pomiarem prądu

W wyniku pewnego pomiaru rezystancji metodą techniczną, odczytano następujące wskazania przyrządów:

U_V = 30 V

I_A = 5,9 mA,

przy czym przyrządy te miały następujące zakresy pomiarowe:

Z_V = 30 V

Z_A =7,5 mA,

zaś ich klasy dokładności wynosiły:

k_V = k_A = 0,5 %

Rezystancja wewnętrzna miliamperomierza wynosiła R_A = 3,07 Ω, zaś błąd, z jakim została ona określona δ_RX = 0,05%

Poszukiwaną wartość rezystancji obliczono zarówno według wzoru (13) jak i (14):

wg (13) R'_X = 5081,67 Ω

wg (14) R”_X = 5084,74 Ω

Błąd pomiaru obliczono odpowiednio według zależności (15) i (16):

wg (15) δ'_Rx = 1,14 %

wg (16) δ''_Rx = 1,13 %

Wniosek: W rozpatrywanym przypadku różnice wyników obliczeń dokonywanych według wzorów ścisłych i uproszczonych okazały się nieznaczne, jednak skrupulatny metrolog przyjąłby za prawdziwy wynik obliczony według formuły (13).

Układ z dokładnym pomiarem napięcia

Rys.4. Układ z dokładnym pomiarem napięcia

Tutaj także zgodnie z prawem Ohma napiszemy:

(18

gdzie:

U_V, I_A - wskazania przyrządów

I_V - prąd pobierany przez woltomierz

R_V - rezystancja wewnętrzna woltomierza

Wzór (18) uwzględnia prąd I_V pobierany przez woltomierz, jeżeli jest on dużo mniejszy od prądu I_A , zależność (18) można uprościć do postaci (19):

(19)

Wzór (19) jest identyczny ze wzorem (14), wobec czego związana z nim formuła wyrażająca błąd pomiaru (20) jest identyczne z wyrażeniem (16).

(20)

Natomiast błąd obliczany zgodnie z formułą (18) wyraża się dość skomplikowaną zależnością (21)

(21)

Przykład pomiaru rezystancji w układzie z dokładnym pomiarem napięcia

W wyniku pewnego pomiaru rezystancji metodą techniczną, odczytano następujące wskazania przyrządów:

U_V = 30 V

I_A = 6,9 mA,

przy czym ich zakresy pomiarowe wynosiły:

Z_V = 30 V

Z_A =7,5 mA,

zaś klasy dokładności:

k_V = k_A = 0,5 %

Rezystancja wewnętrzna woltomierza wynosiła R_V = 30 kΩ, zaś błąd, z jakim została określona
δ_RX = 0,05%

Poszukiwaną wartość rezystancji obliczono zarówno według wzoru (18) jak i (19):

wg (18) R'_X = 5084,74 Ω

wg (19) R”_X = 4347,83 Ω

Różnica wyników okazała się w tym przypadku znacząca, dlatego wynik obliczony według formuły (19) uzyskanej w wyniku założeń upraszczających, został odrzucony.

Błąd pomiaru obliczono oczywiście według zależności (21):

δ_Rx = 1,23 %

Wniosek: W rozpatrywanym przypadku różnice wyników obliczonych według wzoru ścisłego
i uproszczonego okazały się znaczące. Przyczyną tego stanu rzeczy są porównywalne wartości prądów: I_X (6,9mA) oraz pobieranego przez woltomierz I_V (1 mA).

10

Metody pomiaru rezystancji

2

Omomierz

11

Metoda techniczna

---