POLITECHNIKA ŚLĄSKA
WYDZ.:MAT.-FIZ.
KIERUNEK :
FIZYKA TECHNICZNA .
WAHADŁO MATEMATYCZNE .
BADANIE RUCHU DRGAJĄCEGO I ZALEŻNOŚCI
DRGAŃ OD DŁUGOŚCI WAHADŁA .
SEKCJA 7.
JAROSŁAW KONIECZNY
GRZEGORZ SZYC
1. WSTĘP.
Celem ćwiczenia jest sprawdzenie przybliżonego wzoru na okres wahań
wahadła matematycznego dla małych wychyleń , badanie zależności
okresu drgań wahadła od amplitudy oraz wyznaczenie wartości przyspie -
szenia ziemskiego .
T = 2 Π√ l / g
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny zawieszony na
nieważkiej , nierozciągliwej nici , umieszczony w polu siły ciężkości .Układ
taki nie istnieje w rzeczywistości , ale jego przybliżonym modelem może być ciężkie ciało zawieszone na lekkiej nici , o długości znacznie większej od rozmiarów ciała . Ruch wahadła matematycznego jest przykładem ru -
chu drgającego prostego ( harmonicznego ) , tzn. takiego , w którym siła kierująca jest proporcjonalna do wychylenia , w kierunku środka wahań .
Jeżeli wahadło jest w spoczynku , to siła ciężkości zostaje zrównoważo-
na przez naprężenie nici , natomiast jeżeli wahadło o długości l wychylimy z położenia równowagi o kąt α , a następnie puścimy je to będzie ono wa-
hać się pod wpływem składowej Qs własnego ciężaru .
Qs = Q sin α = mg sin α
jeżeli kąt α jest mały to sin α można zastąpić przez sam kąt .Wówczas Qs
będzie równe w przybliżeniu Qα . Siła wywołująca powrót wahadła do po -
łożenia równowagi jest przy małych kątach α proporcjonalna do kąta .
Pod jej wpływem wahadło zostaje wprowadzone w ruch oscylacyjny wokół
swego położenia równowagi . Zgodnie z prawem Hooke'a :
F = - k * s
Znak „ - ” oznacza , że siła jest skierowana stale przeciwnie do kierunku
wychylenia . Korzystając z 2 zasady dynamiki Newtona oraz tego , że
przyspieszenie jest drugą pochodną drogi s względem czasu możemy zapisać równanie ruchu dla wahadła :
d2s / dt2 = g sinα
m ( d2s / dt2 ) = F = k * s
d2s / dt2 = ( k / m ) s
Ponieważ obie wielkości k i m są dodatnie , możemy przyjąć , że ich sto -
sunek równa się kwadratowi pewnej wielkości :
k / m = ω02
więc d2s / dt2 = ω02 s
Równanie przedstawiające ruch ma postać :
s = A sin ( ω0 t + α0 )
gdzie A i α0 są wielkościami stałymi , które można wyznaczyć z warun -
ków początkowych .
Okresem drgań nazywamy czas , w ciągu którego drgający punkt ma -
terialny przejdzie przez wszystkie możliwe położenia i wróci do położenia
równowagi ( czas jaki upłynie między dwoma najbliższymi momentami
odpowiadającymi identycznej fazie drgania ) . Ponieważ s = l * α to
d2 (α l ) / dt2 + g sinα = 0 lub d2α / dt2 + (g / l ) sinα = 0
Okres wahadła opisuje wtedy wzór :
T = 2Π ( l /g )1/2 [ 1 + (1/2)2 sin2 (α0 /2 ) + (1*3/2*4) sin4 (α0 / 2 ) + ...]
gdzie α0 jest maksymalnym wychyleniem ( amplitudą kątową ) .
Dla małych kątów równanie ruchu przyjmuje postać równania harmonicz -
nego :
d2α / dt2 + (g / l ) sinα = 0
a wzór na okres wahań upraszcza się do wyrażenia : T = 2Π ( l /g )1/2
Oznacza to , że okres nie zależy od amplitudy .
2. STANOWISKO POMIAROWE .
Stanowisko pomiarowe składa się z wahadła matematycznego , ukła-
du elektronicznego , który mierzy okres wahań , przelicznika wyświetlają-
cego wartość okresu oraz kątomierza do odczytywania wartości amplitudy.
3. PRZEBIEG POMIARÓW I OPRACOWANIE WYNIKÓW .
1. Włączyć zasilacz .
2. Upewnić się czy czasomierz mierzy czas w sekundach ( zapalona czer-
wona dioda przy s ) - jeśli nie , wcisnąć przycisk s/m ( przełącznik jednos -
tki czasu - sekundy i minuty ) .
3. Wybrany powinien być pomiar czasu ( wciśnięty niebieski przycisk T ) .
Ponadto należy wybrać pomiar czasu w ms ( wciśnięty przycisk 1/105 ) .
4. Przycisnąć RESET a potem START .
5. Wprawić wahadło w ruch i sprawdzić czy wyświetlacz wskazuje wartość
okresu - jeśli nie należy poprosić o pomoc prowadzącego zajęcia .
6. Długość wahadła można zmieniać przez przesuwanie kątomierza wzdłuż pręta , na którym jest osadzony - pamiętać należy o wcześniej -
szym zwolnieniu „krokodylka” .
7. Odczytu kątów należy dokonywać obserwując podziałkę wzdłuż linii
prostopadłej do kątomierza i przechodzącej przez nić , na której jest za -
wieszone wahadło - unikamy w ten sposób błędu paralaksy .
8. Długość wahadła mierzymy od punktu jego zawieszenia do środka cię-
żkości ciężarka .
9. Zmierzyć okresy drgań wahadła dla długości zmienianej co 10 cm od
najmniejszej ( 30 cm ) do największej (1,4 m ) , odchylając wahadło o
ok. 50 od położenia równowagi .
10. Przy minimalnej długości wahadła odchylić je o ok. 450 . W miarę ma-
lenia amplitudy , co 50 odczytywać wartość okresu .
11. Na papierze milimetrowym sporządzić wykres zależności okresu drgań od pierwiastka kwadratowego długości wahadła .
12. Przeprowadzić regresję liniową przyjmując jako zmienną niezależną pierwiastek kwadratowy długości , a za zmienną zależną okres drgań .
Dopasowana prosta ma postać :
T = a √l + b gdzie a = 2∏ √ 1/g
13. Wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego . Jej błąd obliczyć ze
wzoru : Δg = 2g (Δa / a)
14. Wykreślić zależność okresu drgań wahadła od amplitudy i na tej pod -
stawie określić amplitudę , przy której okres różni się o 1% od okresu dla
małych amplitud .
ZALEŻNOŚĆ OKRESU OD
DŁUGOŚCI WAHADŁA .
l.p |
l [ cm] |
√ l [ cm1/2] |
T [ s ] |
1. |
|
|
|
2. |
|
|
|
3. |
|
|
|
4. |
|
|
|
5. |
|
|
|
6. |
|
|
|
7. |
|
|
|
8. |
|
|
|
9. |
|
|
|
10. |
|
|
|
11. |
|
|
|
12. |
|
|
|
13. |
|
|
|
14. |
|
|
|
15. |
|
|
|
ZALEŻNOŚĆ OKRESU OD
AMPLITUDY DRGAŃ .
l.p. |
α [ 0 ] |
T [ s ] |
1. |
|
|
2. |
|
|
3. |
|
|
4. |
|
|
5. |
|
|
6. |
|
|
7. |
|
|
8. |
|
|
9. |
|
|
10. |
|
|
11. |
|
|
12. |
|
|
13. |
|
|
14. |
|
|