teoria niez, Zadania z niezawodności, ZADANIE 1


ZADANIE 1

Czas zdatności obiektu może być opisany rozkładem wykładniczym. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że po upływie czasu równego oczekiwanemu czasowi zdatności tego obiektu, obiekt ten będzie jeszcze zdatny?

0x01 graphic

0x01 graphic

Odp.: 0,36.

ZADANIE 2

Czas zdatności urządzenia opisany jest rozkładem wykładniczym. Jaki co najmniej musi być oczekiwany czas zdatności tego urządzenia, aby przed upływem 100 godzin jego pracy funkcja niezawodności nie przyjęła wartości mniejszych od 0,99.

0x01 graphic

Jak się dzieli obie strony przez liczbę mniejszą od 0, to zmieniamy znak.

Odp.: 0x01 graphic

ZADANIE 3

Stwierdzono, że intensywność uszkodzeń pewnego urządzenia jest wprost proporcjonalna do czasu jego pracy. Oblicz funkcję niezawodności tego urządzenia.

0x01 graphic
; a - proporcjonalność

Wzór WIENERA 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

ZADANIE 4

Stwierdzono, że gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń można przedstawić w postaci zależności:

0x01 graphic
. Oblicz funkcję niezawodności, intensywności uszkodzeń i oczekiwany czas zdatności tych urządzeń.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Funkcja niezawodności

0x01 graphic

Intensywność uszkodzeń

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Ten sam wyrób produkują dwa zakłady: zakład A, produkujący x % oraz zakład B produkujący y %.

x + y = 100%.

Jeden produkuje trochę lepiej, drugi gorzej.

ZADANIE 5

Stwierdzono, że funkcja niezawodności pewnych urządzeń ma postać:

0x01 graphic

Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń tych urządzeń.

0x01 graphic

ZADANIE 6

(POTENCJALNE EGZAMINACYJNE)

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z II jednakowych elementów, których funkcje niezawodnościowe są znane. Obliczyć intensywność uszkodzeń urządzenia.

(tramwaj)

R1(t) R2(t)

0x08 graphic
0x01 graphic
gdzie:

λ - intensywność uszkodzeń U - urządzenia

0x01 graphic
→→→ 0x01 graphic
→→→

0x01 graphic

Odp.: 0x01 graphic

ZADANIE 7

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z II jednakowych elementów, których

intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu pracy urządzenia. Oblicz ile razy oczekiwany czas zdatności urządzenia przewyższa oczekiwany czas zdatności elementu.

λ

λ

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
→→→ →→→

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odp.: 1,5.

ZADANIE 8

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z III jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem jednostajnym na przedziale od 0 do a. Stwierdzono, że oczekiwany czas zdatności tego urządzenia wynosi 90 jednostek czasu. Oblicz gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementów.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- kres górny czasu zdatności elementu

fe(t)

1/a

α t

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odp.: 0x01 graphic

ZADANIE 9

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z n jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem jednostajnym na przedziale od 0 do k. 0x01 graphic
Stwierdzono, że oczekiwany czas zdatności tego urządzenia jest 1,8 raza większy od oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów składa się to urządzenie?

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odp.: n = 9

ZADANIE 10

Urządzenie o strukturze mieszanej przedstawionej na rysunku składa się z 4 jednakowych elementów, których czasy zdatności opisane są rozkładem wykładniczym o parametrze λ. Oblicz oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.

A B

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Odp.: 0x01 graphic
.

ZADANIE 11

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej przedstawionej na rysunku, składa się z 6 jednakowych elementów, których intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu ich pracy. Obliczyć do jakiej wartości dąży intensywność uszkodzeń urządzenia, gdy czas jego pracy dąży do +∞.

B

C

A

C

Funkcja niezawodności elementu opisana jest funkcją wykładniczą.

0x01 graphic

0x01 graphic

intensywność uszkodzeń: 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
to jest zawodność elementu

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
(skracamy przez 0x01 graphic
) = 0x01 graphic

0x01 graphic

ZADANIE 12

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego będącego rezerwą nieobciążoną. Czasy zdatności elementów opisane są rozkładami wykładniczymi o jednakowych parametrach = λ. Obliczyć funkcję niezawodności, gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń i oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.

1

2

Czas zdatności 0x01 graphic

Dystrybuantą sumy zmiennych losowych niezależnych

0x01 graphic

t

f1(τ)dτ - prawdopodobieństwo tego, że element 1 uszkodził się w „chwili” δ (w bardzo małym przedziale czasu, którego środkiem jest δ); F2(t - τ) prawdopodobieństwo tego, że element drugi przepracował mniej niż (t - δ) jednostek czasu.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Funkcja niezawodności

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Wartość oczekiwana sumy niezależnych zmiennych losowych = sumie wartości oczekiwanych tych zmiennych losowych.

0x01 graphic

0x01 graphic

ZADANIE 13

Urządzenie z rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń nie zależy od czasu pracy. Obliczyć funkcję niezawodności urządzenia.

0x01 graphic

0x01 graphic
- gdyż elementy te „są połączone” szeregowo

0x01 graphic

ZADANIE 14

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej, przedstawionej na rysunku składa się z III jednakowych elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu ich pracy. Obliczyć intensywność uszkodzeń urządzenia.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ZADANIE 15

Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej, składa się z 20 elementów. W rozpatrywanej chwili czasu wartość funkcji niezawodności każdego z tych elementów jest równa 0x01 graphic
. Dysponujemy 40-stoma elementami rezerwowymi, które mogą być wykorzystane do rezerwowania ogólnego lub indywidualnego tego urządzenia.

0,9 - niezawodność

Obliczyć wartość funkcji niezawodności urządzenia w rozpatrywanej chwili bez rezerwowania oraz w przypadku rezerwowania ogólnego i indywidualnego (rezerwa obciążona)

Bez rezerwowania

0x01 graphic

Rezerwowanie ogólne

0x01 graphic

Rezerwowanie indywidualne

0x01 graphic

Wnioski!!!

Urządzenie o niezawodności haniebnej!!! Ru = 0,12.

Niezawodność 3x podnosimy przy rezerwowaniu ogólnym - niezawodność nadal podła Ruo = 0,32.

Przy rezerwowaniu indywidualnym podnosimy 8x → jest O.K.

ZADANIE 16

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej, składa się z II jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu = λ, a intensywność jego odnowy wynosi μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, zakładając, że nie występują żadne ograniczenia co do liczby elementów, które mogą być jednocześnie odnawiane i nie występują tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie. EGZAMIN!!!

Stany:

0 - wszystkie elementy zdatne,

1 - jeden element niezdatny,

2 - dwa elementy niezdatne

Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, tego przejścia nie nanosimy na grafie

Układ równań (układ równań tożsamościowych czyli trzecie wynika z dwóch wcześniejszych):

0x01 graphic

Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego (konieczne jest wprowadzenie warunku normującego)

Mamy teraz IV równania i trzy niewiadome... Co robimy? !!! Pozbywamy się najdłuższego (tj. 2)

0x01 graphic

Stacjonarny współczynnik gotowości urządzenia kg.

Urządzenie ma strukturę równoległą - gdy co najmniej jeden element jest zdatny to urządzenie jest zdatne co można zapisać jak niżej:

0x01 graphic

ZADANIE 17

Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej, składa się z II jednakowych elementów, których intensywność uszkodzeń i odnowy wynoszą odpowiednio λ i μ. Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że w urządzeniu nie ma elementów uszkodzonych, przy założeniu, że uszkodzone elementy są odnawiane kolejno.

0x08 graphic
0x08 graphic
2λ λ

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 1 2

0x08 graphic
0x08 graphic
μ μ

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ZADANIE 19

Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ1 w okresie pracy i λ2 w okresie rezerwowania. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy jest równa μ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:

  1. obciążoną

  2. nieobciążoną

  3. częściowo obciążoną

Wypisujemy stany:

0 - wszystkie elementy zdatne

1 - jeden element niezdatny

2 - dwa elementy niezdatne

Ad. c

λ1 + λ2 λ1

2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
1

0x08 graphic
0

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
μ

μ

0x01 graphic
usuwamy największe

0x01 graphic

0x01 graphic

Ad. a

λ1 + λ1 1 λ1

0

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 2

μ μ

0x08 graphic
0x08 graphic
μ

0x01 graphic

Ad. b

λ1 λ1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 1 2

μ

0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

Nie ma sensu liczyć gdy można wykorzystać fakt, że dla przypadku a) λ2 = λ1, a w przypadku b) λ2 = 0.

ZADANIE 20

Czas zdatności urządzenia między kolejnymi uszkodzeniami opisany jest rozkładem wykładniczym. Zakładając, że czas odnowy uznajemy za pomijalnie mały, obliczyć dystrybuantę czasu pracy tego urządzenia do III uszkodzenia.

Oś czasu

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
T T T

0x08 graphic
0 1 2 3

Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy.

Dystrybuanta czasu do drugiego uszkodzenia była wyprowadzona w jednym z poprzednich zadań

0x01 graphic

Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego:

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

ZADANIE 21

Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany i wynosi 10 lat. Urządzenie to do chwili obecnej bezawaryjnie przepracowało 4 lata. Ile wynosi oczekiwany pozostały czas zdatności tego urządzenia, jeżeli czas jego zdatności jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym, a ile jeśli zmienną losową o rozkładzie jednostajnym z kresem dolnym = 0.

W przypadku rozkładu wykładniczego, pozostały czas zdatności urządzenia równa się oczekiwanemu czasowi zdatności urządzenia = 10 lat.

Przy rozkładzie jednostajnym:

0x01 graphic

ZADANIE 22

Urządzenie o strukturze niezawodnościowej przedstawionej na schemacie składa się z III jednakowych elementów. Czas zdatności elementu opisany jest rozkładem jednostajnym o kresie dolnym = 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest znany i równy 1000 godzin. Obliczyć:

0x01 graphic

0x08 graphic
f(t)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
a

0x01 graphic

0x01 graphic
funkcja niezawodności

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
teoria niez, Zadania z niezawodności ok, ZADANIE 1
teoria niez, ZADANIE 1, ZADANIE 1
Algebra z geometrią teoria, przykłady, zadania
FUNKCJA KWADRATOWA teoria oraz zadania
Teoria ryzyka - zadania, STUDIA
teoria niez, Teoria niezawodności
teoria gier zadanie K6ALSIDLZEKVSGXKBVI6IMHVAVXRNTMUBWM5WOY
Gewert, Skoczylas Równania różniczkowe zwyczajne , teoria przykłady, zadania
Gewert M, Skoczylas Z Wstęp do analizy i algebry Teoria, przykłady, zadania wyd 2
cz1 teoria czwórników zadania
cz1 teoria czwórników zadania
Logistyka [ teoria], MRP zadanie1, HARMONOGRAM ZAPOTRZEBOWANIA - ZADANIE 2
raporty, teoria1, Celem zadania jest pomiar siły elektromotorycznej SEM generowanej w ogniwie organi
FUNKCJA WYKŁADNICZA – teoria oraz zadania
CIĄGI – teoria oraz zadania
Teoria maszyn zadania
DZIAŁANIA NA LOGARYTMACH teoria oraz zadania
TRYGONOMETRIA – teoria oraz zadania

więcej podobnych podstron