FUNKCJA WYKŁADNICZA – teoria oraz zadania

aⁿ * a^m = a^n + m

aⁿ  :  a^m = a^n − m

(aⁿ)^m = a^nm

$$a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$$

$$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$$

$$a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[n]{a^{m}}$$

$$a^{- \frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$$

$$\left( \frac{a}{b} \right)^{- n} = {(\frac{b}{a})}^{n}$$

aⁿ * bⁿ = (a * b)ⁿ

$$\frac{a^{n}}{b^{n}} = {(\frac{a}{b})}^{n}$$

Zadanie 1 Oblicz.

1. $7^{x - 4} = ({\sqrt{7})}^{2 - 3x}$

2. ${(\frac{1}{8}\sqrt{2})}^{x} = 8*4^{3 - 2x}$

3. ${(\frac{1}{8}*4^{x})}^{x} = 2^{3x - 4}$

4. 7^5x − 7^5x − 1 = 6

5. 2 * 16^x − 17 * 4^x + 8 = 0

6. 4^x − 9 * 2^x + 8 = 0

7. 8^x − 3 = 9^x − 3

8. 15^2x + 4 = 3^3x * 5^4x − 4

9. 6^2x + 4 = 3^3x * 2^x + 8

Zadanie 2 Oblicz.

1. ${\sqrt{2 + \sqrt{3}}}^{x} + {\sqrt{2 - \sqrt{3}}}^{x} = 4$

2. $\left( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} \right)^{x} + \left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2}} \right)^{x} = 6$

3. ${(\frac{1}{3})}^{x} < ({\frac{1}{3})}^{2}$

4. 3^x + 2 + 7^x < 4 * 7^x − 1 + 34 * 3^x − 1

Zadanie 3 Dla jakich wartości parametru m równanie:

1. 4^x − 3 * 2^x − m = 0 ma 2 różne pierwiastki?

2. 16^x − 4^x + 1 − m² + 1 = 0 ma 1 pierwiastek?

Zadanie 4 Oblicz.

1. $\left\{ \begin{matrix} 2^{x}*3^{y} = 12 \\ 3^{x}*2^{y} = 18 \\ \end{matrix} \right.\ $

2. $\left\{ \begin{matrix} 5*5^{x - y} = \sqrt{25^{2y + 1}} \\ 8^{2x + 1} = 32*2^{4y - 1} \\ \end{matrix} \right.\ $

Zadanie 5 Oblicz.

1. 16^x + 4^x + 2 − 36 = 0

2. 5^x − 1 − 5 * 2^x = 5^x − 2 + 5 * 2^x − 2

3. $2^{\sqrt{x}} = \sqrt{16^{\sqrt{x}}} - 2$

4. $\left( \sqrt{4 - \sqrt{15}} \right)^{x} + \left( \sqrt{4 + \sqrt{15}} \right)^{x} = 8$

5. $5*25^{\frac{1}{x}} + 3*10^{\frac{1}{x}} = 2*4^{\frac{1}{x}}$

6. $4^{\left| x - 1 \right|} + 2^{\sqrt{x^{2} - 2x + 1}} - 2 = 0$

Zadanie 6 Wykaż bez użycia kalkulatora, że $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7}$ jest liczbą całkowitą.

Zadanie 7 Rozwiąż równanie (5 − x)^{x3 − 4x2 + x + 6} = 1.