Pochodna funkcji

Definicja pochodnej

funkcji

w punkcie x

0

Jeżeli istnieje granica właściwa

iloczynu różnicowego f(x

0

) przy x0 to

granicę tę nazywamy pochodną funkcji
f(x)

w

punkcie

x

0

i oznaczamy f ‘(x

0

).

x

x

f

x

x

f

x

f

x















)

(

)

(

lim

)

(

'

0

0

0

0

Interpretacja

geometryczna f ‘(x

0

)



–kąt, jaki tworzy styczna do krzywej y=f(x) w A(x

0

,y

0

), y

0

=f(x

0

) z dodatnim kierunkiem osi OX

x

0

+

x

x

0



A

f’(x

0

) = tg 

Twierdzenie o

działaniach

arytmetycznych na

pochodnych

Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają pochodne

f’(x)
i g’(x) w punkcie x

0

to:





)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

)

(

0

0

0

'

x

g

x

f

x

x

g

x

f











)

(

'

*

)

(

)

(

0

0

'

x

f

k

x

x

f

k





1)

2)





)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

'

x

g

x

f

x

g

x

f

x

x

g

x

f















2

0

0

0

0

0

0

'

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

'

)

(

)

(

)

(

x

g

x

g

x

f

x

g

x

f

x

x

g

x

f





















3)

4)

Twierdzenie o pochodnej

funkcji złożonej

Jeżeli funkcja u=h(x) ma pochodną h’(x) w

punkcie x

0

oraz funkcja y=f(u) ma pochodną w

punkcie u

0

=h(x

0

) to funkcja złożona f [h(x)] ma

pochodna w x

0

przy czym:













)

(

)

(

)

(

)

(

0

'

0

'

0

'

x

h

x

h

f

x

x

h

f





Pochodne elementarne

 

 

2

'

'

1

'

1

1

2

1

x

x

x

x

nx

x

n

n

























R

n

0



x

0



x

1)

2)

3)

4)

(c)’=0 c-stała

 

 





 

x

x

a

x

x

a

a

a

e

e

a

x

x

x

x

1

ln

ln

1

log

ln

'

'

'

'





















 

x

tgx

x

x

x

x

2

'

'

'

cos

1

sin

cos

cos

sin









5)

6)

7)

8)

9)

10
)

11)

1

0

0







a

a

x









k

x

2

12)

13)

14)

15)

16)













2

'

2

'

2

'

1

1

arccos

1

1

arcsin

sin

1

x

x

x

x

x

ctgx























2

'

2

'

1

1

1

1

x

arcctgx

x

arctgx











)

1

,

1

(



x

)

1

,

1

(



x

R

x



 













,

0

0

,

x

Przykłady zastosowań wzorów na pochodne

elementarne oraz twierdzeń o działaniach

arytmetycznych na pochodnych i pochodnej

funkcji złożonej

x

x

x

x

y

tgx

x

x

x

y

x

x

2

2

'

2

3

cos

2

6

15

4

3

ln

3

2

3

5

ln

4

3



































x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

x

y









































4

3

1

*

3

2

4

3

*

4

3

2

4

4

1

2

3

4

1

2

3

1

'

4

3

1

3

2

4

3

3

2

1)

2)



 

 

 









 



















2

2

2

2

2

'

'

'

1

1

1

2

2

1

2

1

1

1

2

1

*

1

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1









































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

y

3)





 









)

cos

(sin

3

cos

sin

3

)

(sin

sin

3

sin

3

sin

3

'

'

'

'

x

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

x

e

y

x

e

y

x

x

x

x

x

x

x











































4)

















2

ln

1

cos

3

)

(

log

sin

3

log

cos

3

ln

3

*

log

cos

3

4

5

log

cos

3

)

(

4

5

2

4

5

2

4

5

2

3

4

'

2

4

5





























































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

x

x

x

x

y

x

x

x

x

x

5)