Monotoniczność funkcji

Twierdzenie 1. Niech I oznacza dowolny przedział. Jeżeli dla każdego x ∈ I

funkcja f spełnia warunek:

1. f

0

(x) = 0, to jest stała na I;

2. f

0

(x) > 0, to jest rosnąca na I;

3. f

0

(x) < 0, to jest malejąca na I;

4. f

0

(x) ≥ 0, to jest niemalejąca na I;

5. f

0

(x) ≤ 0, to jest nierosnąca na I.

Zastosowania twierdzenia

1. Dowodzenie tożsamości np. sin

2

x + cos

2

x = 1.

2. Dowodzenie nierówności np. sin x < x, dla x > 0.
3. Badanie monotoniczności funkcji np. wyznaczyć przedziały monotonicz-

ności funkcji y = e

−x

2

.

Ekstrema lokalne

Definicja 1. Funkcja f ma w punkcie x

0

maksimum lokalne właściwe, gdy

_

δ>0

^

x

(x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ) ∧ x 6= x

0

) ⇒ f (x) < f (x

0

).

Analogicznie

Definicja 2. Funkcja f ma w punkcie x

0

minimum lokalne właściwe, gdy

_

δ>0

^

x

(x ∈ (x

0

− δ, x

0

+ δ) ∧ x 6= x

0

) ⇒ f (x) > f (x

0

).

Twierdzenie 2. Jeżeli funkcja f ma w punkcie x

0

ekstremum lokalne oraz

pochodną f

0

(x

0

), to f

0

(x

0

) = 0.

Uwaga:

1) Funkcja może mieć ekstremum i nie mieć pochodnej - np. y = |x| w x

0

= 0.

2) Funkcja może nie mieć ekstremum choć pochodna f

0

(x

0

) = 0. - np. y = x

3

w x

0

= 0.

Warunek ten pozwala na wyszukiwanie punktów, w których funkcja może

mieć ekstremum lokalne, gdyż funkcja może mieć ekstrema jedynie w punktach,
w których f

0

się zeruje lub , w których f

0

nie istnieje.

Weryfikację czy tak rzeczywiście jest umożliwiają warunki wystarczające.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. f

0

(x

0

) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x

0

)

2.

W

δ > 0 taka, że

• f

0

(x

0

) > 0 dla każdego x ∈ S(x

−

0

, δ) (t.j f ↑),

• f

0

(x

0

) < 0 dla każdego x ∈ S(x

+

0

, δ) (t.j f ↓),

to funkcja ma w punkcie x

0

maksimum lokalne właściwe.

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. f

0

(x

0

) = 0 ( lub funkcja jest ciągła w x

0

)

2.

W

δ > 0 taka, że

• f

0

(x

0

) < 0 dla każdego x ∈ S(x

−

0

, δ) (t.j f ↓),

• f

0

(x

0

) > 0 dla każdego x ∈ S(x

+

0

, δ) (t.j f ↑),

to funkcja ma w punkcie x

0

minimum lokalne właściwe.

Ekstrema globalne.

Niech funkcja f (x) będzie określona na przedziale domkniętym [a, b].

Przez największą wartość funkcji rozumiemy największą ze wszystkich wartości,
a przez wartość najmniejszą - najmniejszą ze wszystkich wartości, które funkcja
przyjmuje na tym przedziale.

Uwagi:
1. Funkcja może mieć tylko jedną wartość największą i najmniejszą.
2. Wartości największej i najmniejszej można także szukać w przedziale

otwartym (a, b) lub w przedziale nieskończonym. Wtedy jednak funkcja może
nie posiadać ekstremów globalnych, a jedynie kresy górny lub dolny.

Szukanie ekstremów globalnych.

Niech funkcja f (x) będzie ciągła i różniczkowalna w przedziale [a, b] lub niech
f (x) będzie ciągła w [a, b] i różniczkowalna w przedziale [a, b] poza skończoną
liczbą punktów, w których pochodna właściwa nie istnieje.

I. Znajdujemy punkty wewnątrz przedziału [a, b], w których spełniony jest

warunek konieczny istnienia ekstremum i obliczamy wartości jakie funkcja przyj-
muje w tych punktach.

II. Obliczamy wartości jakie funkcja przyjmuje w tych punktach, w których

pochodna właściwa nie istnieje (a funkcja jest określona).

III. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału, czyli f (a) i f (b)
IV. Porównujemy otrzymane wartości: największa z nich jest wartością naj-

większą, a najmniejsza - wartością najmniejszą funkcji f w przedziale [a, b]

Jeśli przedział jest otwarty w III liczymy granice na końcach przedziałów i

porównując w IV sprawdamy, czy wartość najmniejsza i największa jest osią-
galna wewnątrz (a, b).

Wklęsłość i wypukłość funkcji

Twierdzenie 5. Jeżeli dla każdego x ∈ (a, b) funkcja f spełnia warunek:

1. f

00

(x) > 0, to jest ściśle wypukła na (a, b);

2

2. f

00

(x) < 0, to jest ściśle wklęsła na (a, b).

Punkty przegięcia wykresu funkcji .

Twierdzenie 6. Jeżeli punkt (x

0

, f (x

0

)) jest punktem przegięcia wykresu funk-

cji oraz istnieje f

00

(x

0

), to f

00

(x

0

) = 0.

Uwaga:

2) Punkt (x

0

, f (x

0

)) może nie być punktem przegięcia choć pochodna f

00

(x

0

) =

0. - np. y = x

4

w x

0

= 0.

UWAGA: Funkcja może mieć punkty przegięcia jedynie w punktach, w któ-

rych f

00

się zeruje lub , w których f

00

nie istnieje.

Twierdzenie 7. Jeżeli funkcja f spełnia warunki:

1. f ma w punkcie x

0

pochodną właściwą lub niewłaściwą

2.

W

δ > 0 taka, że

• f

00

(x

0

) > 0 dla każdego x ∈ S(x

−

0

, δ) ,

• f

00

(x

0

) < 0 dla każdego x ∈ S(x

+

0

, δ) ,

(lub nierówności dla f

00

są odwrotne), to punkt (x

0

, f (x

0

)) jest punktem prze-

gięcia wykresu funkcji f .

3