6. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji: monotoniczność funkcji a znak

pochodnej, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji,
największa i najmniejsza wartość funkcji, wklęsłość i wypukłość a znak drugiej pochodnej,
warunek konieczny i dostateczny na istnienie punktu przegięcia funkcji. Przykłady
wykorzystania rachunku różniczkowego w ekonomii.

Przebieg zmienności funkcji

Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji danej wzorem:

a)

1

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

b)

1

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

c)

2

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

1. Analiza funkcji:

(a) Wyznaczenie dziedziny funkcji
(b) Obliczenie granic na krańcach przedziałów określoności
(c) Wyznaczenie asymptot

(d) Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią

OX

oraz z osią

OY

(e) Zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.

2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:

(a) Obliczenie

)

(

' x

f

i wyznaczenie zbioru, w którym funkcja

)

(x

f

jest różniczkowalna

(b) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których

0

)

(

'



x

f

i w których

0

)

(

'



x

f

oraz określenie

monotoniczności
funkcji

)

(x

f

(d) Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji

)

(x

f

3. Analiza drugiej pochodnej funkcji:

(a) Obliczenie

)

(

'

' x

f

i wyznaczenie zbioru, w którym

)

(

' x

f

jest różniczkowalna

(b) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których

0

)

(

''



x

f

i w których

0

)

(

''



x

f

oraz określenie

przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji

)

(x

f

(1 pkt.)

4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji (informacje z punktów 1, 2, 3)

x

)

(

' x

f

)

(

'' x

f

)

(x

f

5. Sporządzenie wykresu funkcji

)

(x

f

Zadanie 1.

1

Funkcja podaży na pewne dobro przy cenie jednostkowej

określona jest

wzorem

. Znaleźć funkcję utargu oraz

oraz podać interpretację

otrzymanego wyniku.

Zadanie 2. Koszt całkowity

wyprodukowania jednostek pewnego towaru oraz cena

tego towaru, przy której popyt jest równy podaży, zostały określone wzorami:

,

. Przy jakiej wielkości produkcji utarg krańcowy

będzie równy kosztowi krańcowemu?

Zadanie 3. Koszt całkowity wyprodukowania

jednostek pewnego artykułu wyraża się

wzorem

. Przy jakiej wielkości produkcji koszt przeciętny

wyprodukowania jednostki tego artykułu będzie równy kosztowi krańcowemu?

1

Zadania 1,2,3 pochodzą z książki Bażańska T., Nykowska M., „MATEMATYKA W ZADANIACH DLA

WYŻSZYCH ZAWODOWYCH UCZELNI EKONOMICZNYCH”

x

)

(x

f