ĆWICZENIE NR9
Sprawdzanie równania ruchu obrotowego brył.
I. Zagadnienia wstępne.
Wielkości charakterystyczne w ruchu postępowym.
Wielkości charakterystyczne w ruchu obrotowym.
Zasady dynamiki dla ruchu .
postępowego
obrotowego
Ad.1. Wielkości charakterystyczne w ruchu prostoliniowym jednostajnym przyśpieszonym lub opóźnionym(ruch postępowy)
a) prędkość liniowa
v (definicja prędkości chwilowej)
= at
gdzie: -prędkość liniowa końcowa
-prędkość liniowa początkowa
a -przyspieszenie
(definicja przyśpieszenia chwilowego)
t - czas
(symbol oznacza „jest zdefiniowany jako”)
b) droga s
znak :
+ dla ruchu przyśpieszonego,
- dla ruchu opóźnionego.
Ad.2 Wielkości charakterystyczne w ruchu po okręgu ( ruch obwodowy)
prędkość kątowa
(definicja prędkości chwilowej)
gdzie: prędkość kątowa końcowa
prędkość kątowa początkowa
- przyśpieszenie kątowe
( definicja przyśpieszenia chwilowego )
b) kąt obrotu
znak :
+ dla ruchu przyśpieszonego,
- dla ruchu opóźnionego.
Punkt materialny poruszający się po okręgu z prędkością liniowa v posiada prędkością kątową ,przyśpieszenie kątowe i wykonuje drogę kątową
gdzie: r - promień okręgu
Ad.3 Zasady dynamiki dla ruchu:
postępowego
Jeżeli ciało o masie m. porusza się z przyśpieszeniem a ,to na ciało działa siła F
obrotowego
Moment bezwładności I ciała względem osi O określamy następująco
Jeżeli ciało o momencie bezwładności I porusza się z przyspieszeniem kątowym ,to na ciało działa moment siły M.
M.=I
Część teoretyczna ćwiczenia .
Równanie ruchu obrotowego bryły ma postać M.= I
gdzie : M. - moment siły,
I - moment bezwładności ,
- przyśpieszenie kątowe.
Równanie dynamiki dla ciała o masie m. przedstawia zależność
ma= mg -N
gdzie : a - przyśpieszenie z jakim porusza się ciężarek o masie m.
g - przyśpieszenie ziemskie,
N - siła naciągu nici.
W omawianym przypadku moment siły wyraża się wzorem:
=r N
gdzie : r - ramię siły , czyli promień tej części walca na której nawija się nić.
Obliczamy N z równania (2a) i podstawiamy do równania (2b) , co daje
M.=rm(g-a) (3)
Moment bezwładności układu I równy jest sumie momentów stałej części I i walców I
I= I + I
Moment bezwładności walców I , zgodnie z prawem Steinera wynosi:
I = 4I + 4MR
gdzie : I -moment bezwładności walca W względem osi przechodzącej przez środek ciężkości i równoległej do osi obrotu .
Ze względów praktycznych odległość R zastępujemy odległością przeciwległych walców d(d=2R).
Zatem całkowity moment bezwładności wyraża się wzorem :
I= I +4I +Md (3a)
Pierwsze dwa wyrazy po prawej stronie tego wyrażenia są wielkościami stałymi.
Wprowadzamy więc oznaczenia : I = I +4I i otrzymujemy :
I = I + Md (3b)
Łącząc równanie (1), (3) , (3b) otrzymujemy :
mr(g -a) = ( I + Md ) (4)
Ze względu na to , że wektory r i g są prostopadłe do osi obrotu , a wektor jest do niej równoległy , w równaniu (4) , możemy zaniedbać znaki wektorów.
Pamiętając że oraz a=
gdzie : h - wysokość spadania ciężarka o masie m.,
t - czas spadania
i wykonując ponadto przekształcenia algebraiczne otrzymujemy :
W układzie współrzędnych w którym na osi y odkładamy t , na osi x d , równanie (5) jest równaniem prostej typu:
y=Ax+B (6)
B=
daje wartość rzędnej w punkcie, w którym prosta przecina oś rzędnych. Stromość otrzymanej prostej wyraża się poprzez:
Prostoliniowy przebieg zależności t=f(d ) jest dowodem słuszności równania ruchu obrotowego bryły. Zależność tą należy wyznaczyć doświadczalnie.
L.p. |
M. |
m. |
r |
d |
d |
t |
t |
I |
I |
- |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|