J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
1
Pasmo tarczowe
Ćwiczenie 9
Rozważymy tarczę nieskończoną, o szerokości 2b i grubości g
→ model tarczy ciągłej
Zakładamy, że obciążenia na obu brzegach są okresowe
i symetryczne
względem osi
2
x .
Nie jest to ograniczenie metody –
istnieje bowiem rozkład:
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
f x
f
x
f x
f
x
f x
+
−
−
−
=
+
,
gdzie:
( )
f x
→ dowolna funkcja
( )
(
)
2
f x
f
x
+
−
→ składnik symetryczny (funkcja parzysta)
( )
(
)
2
f x
f
x
−
−
→ składnik antysymetryczny (funkcja nieparzysta)
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
2
Dla obciążenia, które opisane jest funkcją parzystą, możemy
zapisać szeregi cosinusowe:
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
x
x
a
α
∞
=
=
+
∑
,
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
a
x
x
α
∞
=
=
+
∑
;
n
n
l
π
α
=
l
l
b
b
1
x
2
x
1
( )
p x
1
( )
p x
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
3
Ze wzg
lędu na globalny warunek równowagi
0
1
1
1
( )
l
l
a
p x dx
l
−
= ⋅
∫
(rzuty na oś pionową)
otrzymamy:
1
1
0
1
( )
l
l
p x dx
a
l
−
= ⋅
=
∫
Do wyznaczenia funkcji naprężeń zastosujemy zasadę superpozycji
4
1
0
F
∇
=
:
oraz
4
2
0
F
∇
= zatem:
(
)
4
4
1
2
0
F
F
F
∇
+
= ∇
=
(operator
( )
4
∇ jest liniowy!)
Pierwszą składową funkcji naprężeń
1
F
(przy obc. brzegowych
0
1
2
a
⋅
) wyznaczymy, zakładając:
2
1
1
F
C x
= ⋅
, gdzie: C
const
=
2
1
22
2
1
2
F
C
x
σ
∂
=
=
∂
Warunek brzegowy:
(
)
22
2
0
1
2
x
b
a
σ
= ± =
⋅
stąd:
0
4
a
C
=
oraz:
2
0
1
1
4
a
F
x
=
⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
4
Przy wyznaczaniu funkcji
2
F
, ze względu na przyjętą metodę
szeregów Fouriera,
zakładamy rozdzielenie zmiennych:
(
)
( )
2
1
2
2
1
1
,
cos
n
n
n
F x x
f
x
x
α
∞
=
=
⋅
∑
Podstawiając do równania biharmonicznego
4
2
0
F
∇
= , otrzymamy:
(
)
4
2
1
2
,
0
F x x
∇
=
( )
( )
( )
4
2
2
2
2
1
1
2
cos
0
n
n
n
n
n
n
n
f
x
f
x
f
x
x
α
α
α
∞
=
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
⋅
=
∑
Rozwinięcie w szereg funkcji zerowej daje wszystkie współczynniki
równe zero!
Zatem, porównując współczynniki szeregów po obu stronach:
( )
( )
( )
4
2
2
2
2
2
0
n
n
n
n
n
f
x
f
x
f
x
α
α
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
=
Jest to więc zwyczajne równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
5
Przewidujemy:
( )
2
2
r x
n
f
x
e
⋅
=
Zatem:
( )
( )
2
2
2
4
2
2
0
r x
r x
r x
n
n
e
e
e
α
α
⋅
⋅
⋅
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
=
2
2
2
4
2
2
4
2
0
r x
r x
r x
n
n
e
r
e
r
e
α
α
⋅
⋅
⋅
⋅
− ⋅ ⋅
⋅
+ ⋅
=
4
2
2
4
2
0
n
n
r
r
α
α
− ⋅ ⋅
+
=
(
)
2
2
2
0
n
r
α
−
=
→
(
)(
)
2
0
n
n
r
r
α
α
−
+
=
(
) (
)
2
2
0
n
n
r
r
α
α
−
⋅
+
=
Stąd:
1,2
n
r
α
= +
oraz
3,4
n
r
α
= −
→ pierwiastki podwójne
Z
warunku liniowej niezależności otrzymujemy:
( )
2
2
2
2
2
1
2
2
3
4
2
n
n
n
n
x
x
x
x
n
f
x
C e
C
x
e
C e
C
x
e
α
α
α
α
⋅
⋅
− ⋅
− ⋅
=
⋅
+
⋅ ⋅
+
⋅
+
⋅ ⋅
Podstawić można następujące zależności:
(
)
1
2
x
x
ch x
e
e
α
α
α
⋅
− ⋅
= ⋅
+
oraz
(
)
1
2
x
x
sh x
e
e
α
α
α
⋅
− ⋅
= ⋅
−
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
6
( )
2
n
f
x
=
Łącząc poprzednie wzory, otrzymamy:
[
]
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x
B sh x
C
sh x
x
D ch x
α
α
α
α
α
α
α
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
mnożnik wygodny do późniejszego różniczkowania
Otrzymujemy więc ostatecznie:
(
)
1
2
1
2
,
F x x
F
F
=
+
(
)
2
0
1
1
2
1
,
4
a
F x x
x
=
⋅
(
)
( )
2
1
2
2
1
1
,
cos
n
n
n
F x x
f
x
x
α
∞
=
=
⋅
∑
zatem:
(
)
2
0
1
2
1
,
4
a
F x x
x
=
⋅
+
[
]
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x B sh x
C sh x
x D ch x
x
α
α
α
α
α
α
α
α
∞
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+ ⋅
+
⋅ ⋅
⋅
∑
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
7
Stałe
,
,
,
n
n
n
n
A B C D
wyznacza się z odpowiednich warunków
brzegowych dla
22
σ
i
12
σ
,
gdzie:
2
0
22
2
1
2
a
F
x
σ
∂
=
=
+
∂
[
]
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x B sh x
C sh x
x D ch x
x
α
α
α
α
α
α
α
∞
=
−
⋅
+
⋅ ⋅
+ ⋅
+
⋅ ⋅
⋅
∑
oraz:
2
12
1
2
F
x x
σ
∂
= −
=
∂ ∂
( )
1
1
...
sin
n
n
x
α
∞
=
=
⋅
∑
( ) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
...
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
B
sh x
x B ch x
C
D
ch x
x D sh x
α
α
α
α
α
α
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+
+
⋅
+
⋅ ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
8
Warunki brzegowe:
dla:
( )
22
2
12
1
1)
2)
0
x
b
p x
σ
σ
+
=
=
=
oraz dla:
( )
22
2
12
1
3)
4)
0
x
b
p x
σ
σ
+
=
= −
=
gdzie:
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
x
x
a
α
∞
=
=
+
∑
,
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
a
x
x
α
∞
=
=
+
∑
;
n
n
l
π
α
=
l
l
b
b
1
x
2
x
1
( )
p x
1
( )
p x
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
9
Rozwiązując układ czterech równań algebraicznych liniowych,
o czterech niewiadomych, otrzymujemy:
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
sh b
b ch b
A
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
α
α
+
⋅
= −
+
⋅
+
(
)
2
n
n
n
n
n
n
sh b
B
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
=
+
⋅
+
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
ch b
b sh b
C
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
α
α
+
⋅
= −
−
⋅
−
(
)
2
n
n
n
n
n
n
ch b
D
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
=
−
⋅
−
Zatem funkcja
(
)
1
2
,
F x x jest
całkowicie określona!
Jej zróżniczkowanie prowadzi do uzyskania naprężeń
11
22
12
,
,
σ σ σ
w dowolnym punkcie danego pasma tarczowego!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
10
Najbardziej istotne, podobnie jak w belkach, są naprężenia
11
σ
:
2
11
2
2
F
x
σ
∂
=
∂
( )
1
1
...
cos
n
n
x
α
∞
=
=
⋅
∑
gdzie:
( )
2
2
2
2
...
2
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
B ch x
x
B sh x
α
α
α
α
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
C
sh x
D
sh x
x
D ch x
α
α
α
α
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
( )
11
1
1
...
cos
n
n
x
σ
α
∞
=
=
⋅
∑
Zatem:
gdzie:
( ) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
...
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
B
ch x
x B sh x
C
D
sh x
x D ch x
α
α
α
α
α
α
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+
+
⋅
+
⋅ ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
11
Szeregi te są na ogół wolnozbieżne (szczególnie dla
2
x
b
= ± ).
Drogą przekształceń można z nich otrzymać szeregi o lepszej
zbieżności:
(
)
11
2
x
b
σ
=
=
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
α
α
α
∞
∞
∞
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
+
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
oraz:
(
)
11
2
x
b
σ
= − =
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
α
α
α
∞
∞
∞
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
−
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
gdzie:
2
2
n
n
n
n
b
c
sh 2
b
b
α
α
α
=
+
oraz:
2
2
n
n
n
n
b
d
sh 2
b
b
α
α
α
=
−
← nowe stałe!
( )
1
1
0
1
1
cos
2
n
n
n
a
x
p x
a
α
∞
=
=
−
∑
Poza tym, z założenia:
,
( )
1
1
0
1
1
cos
2
n
n
n
a
x
p x
a
α
∞
=
=
−
∑
;
n
n
l
π
α
=
Document Outline