J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
1
Pasmo tarczowe
Ćwiczenie 9
Rozważymy tarczę nieskończoną, o szerokości 2b i grubości g
→ model tarczy ciągłej
Zakładamy, że obciążenia na obu brzegach są okresowe
i symetryczne
względem osi
2
x .
Nie jest to ograniczenie metody –
istnieje bowiem rozkład:
( )
(
)
( )
(
)
( )
2
2
f x
f
x
f x
f
x
f x
+
−
−
−
=
+
,
gdzie:
( )
f x
→ dowolna funkcja
( )
(
)
2
f x
f
x
+
−
→ składnik symetryczny (funkcja parzysta)
( )
(
)
2
f x
f
x
−
−
→ składnik antysymetryczny (funkcja nieparzysta)
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
2
Dla obciążenia, które opisane jest funkcją parzystą, możemy
zapisać szeregi cosinusowe:
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
x
x
a
α
∞
=
=
+
∑
,
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
a
x
x
α
∞
=
=
+
∑
;
n
n
l
π
α
=
l
l
b
b
1
x
2
x
1
( )
p x
1
( )
p x
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
3
Ze wzg
lędu na globalny warunek równowagi
0
1
1
1
( )
l
l
a
p x dx
l
−
= ⋅
∫
(rzuty na oś pionową)
otrzymamy:
1
1
0
1
( )
l
l
p x dx
a
l
−
= ⋅
=
∫
Do wyznaczenia funkcji naprężeń zastosujemy zasadę superpozycji
4
1
0
F
∇
=
:
oraz
4
2
0
F
∇
= zatem:
(
)
4
4
1
2
0
F
F
F
∇
+
= ∇
=
(operator
( )
4
∇ jest liniowy!)
Pierwszą składową funkcji naprężeń
1
F
(przy obc. brzegowych
0
1
2
a
⋅
) wyznaczymy, zakładając:
2
1
1
F
C x
= ⋅
, gdzie: C
const
=
2
1
22
2
1
2
F
C
x
σ
∂
=
=
∂
Warunek brzegowy:
(
)
22
2
0
1
2
x
b
a
σ
= ± =
⋅
stąd:
0
4
a
C
=
oraz:
2
0
1
1
4
a
F
x
=
⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
4
Przy wyznaczaniu funkcji
2
F
, ze względu na przyjętą metodę
szeregów Fouriera,
zakładamy rozdzielenie zmiennych:
(
)
( )
2
1
2
2
1
1
,
cos
n
n
n
F x x
f
x
x
α
∞
=
=
⋅
∑
Podstawiając do równania biharmonicznego
4
2
0
F
∇
= , otrzymamy:
(
)
4
2
1
2
,
0
F x x
∇
=
( )
( )
( )
4
2
2
2
2
1
1
2
cos
0
n
n
n
n
n
n
n
f
x
f
x
f
x
x
α
α
α
∞
=
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
⋅
=
∑
Rozwinięcie w szereg funkcji zerowej daje wszystkie współczynniki
równe zero!
Zatem, porównując współczynniki szeregów po obu stronach:
( )
( )
( )
4
2
2
2
2
2
0
n
n
n
n
n
f
x
f
x
f
x
α
α
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
=
Jest to więc zwyczajne równanie różniczkowe o stałych
współczynnikach!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
5
Przewidujemy:
( )
2
2
r x
n
f
x
e
⋅
=
Zatem:
( )
( )
2
2
2
4
2
2
0
r x
r x
r x
n
n
e
e
e
α
α
⋅
⋅
⋅
′′
′′′′
⋅
− ⋅
⋅
+
=
2
2
2
4
2
2
4
2
0
r x
r x
r x
n
n
e
r
e
r
e
α
α
⋅
⋅
⋅
⋅
− ⋅ ⋅
⋅
+ ⋅
=
4
2
2
4
2
0
n
n
r
r
α
α
− ⋅ ⋅
+
=
(
)
2
2
2
0
n
r
α
−
=
→
(
)(
)
2
0
n
n
r
r
α
α
−
+
=
(
) (
)
2
2
0
n
n
r
r
α
α
−
⋅
+
=
Stąd:
1,2
n
r
α
= +
oraz
3,4
n
r
α
= −
→ pierwiastki podwójne
Z
warunku liniowej niezależności otrzymujemy:
( )
2
2
2
2
2
1
2
2
3
4
2
n
n
n
n
x
x
x
x
n
f
x
C e
C
x
e
C e
C
x
e
α
α
α
α
⋅
⋅
− ⋅
− ⋅
=
⋅
+
⋅ ⋅
+
⋅
+
⋅ ⋅
Podstawić można następujące zależności:
(
)
1
2
x
x
ch x
e
e
α
α
α
⋅
− ⋅
= ⋅
+
oraz
(
)
1
2
x
x
sh x
e
e
α
α
α
⋅
− ⋅
= ⋅
−
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
6
( )
2
n
f
x
=
Łącząc poprzednie wzory, otrzymamy:
[
]
2
2
2
2
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x
B sh x
C
sh x
x
D ch x
α
α
α
α
α
α
α
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
mnożnik wygodny do późniejszego różniczkowania
Otrzymujemy więc ostatecznie:
(
)
1
2
1
2
,
F x x
F
F
=
+
(
)
2
0
1
1
2
1
,
4
a
F x x
x
=
⋅
(
)
( )
2
1
2
2
1
1
,
cos
n
n
n
F x x
f
x
x
α
∞
=
=
⋅
∑
zatem:
(
)
2
0
1
2
1
,
4
a
F x x
x
=
⋅
+
[
]
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x B sh x
C sh x
x D ch x
x
α
α
α
α
α
α
α
α
∞
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+ ⋅
+
⋅ ⋅
⋅
∑
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
7
Stałe
,
,
,
n
n
n
n
A B C D
wyznacza się z odpowiednich warunków
brzegowych dla
22
σ
i
12
σ
,
gdzie:
2
0
22
2
1
2
a
F
x
σ
∂
=
=
+
∂
[
]
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
x B sh x
C sh x
x D ch x
x
α
α
α
α
α
α
α
∞
=
−
⋅
+
⋅ ⋅
+ ⋅
+
⋅ ⋅
⋅
∑
oraz:
2
12
1
2
F
x x
σ
∂
= −
=
∂ ∂
( )
1
1
...
sin
n
n
x
α
∞
=
=
⋅
∑
( ) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
...
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
B
sh x
x B ch x
C
D
ch x
x D sh x
α
α
α
α
α
α
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+
+
⋅
+
⋅ ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
8
Warunki brzegowe:
dla:
( )
22
2
12
1
1)
2)
0
x
b
p x
σ
σ
+
=
=
=
oraz dla:
( )
22
2
12
1
3)
4)
0
x
b
p x
σ
σ
+
=
= −
=
gdzie:
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
x
x
a
α
∞
=
=
+
∑
,
( )
0
1
1
1
1
cos
2
n
n
n
p
a
a
x
x
α
∞
=
=
+
∑
;
n
n
l
π
α
=
l
l
b
b
1
x
2
x
1
( )
p x
1
( )
p x
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
9
Rozwiązując układ czterech równań algebraicznych liniowych,
o czterech niewiadomych, otrzymujemy:
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
sh b
b ch b
A
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
α
α
+
⋅
= −
+
⋅
+
(
)
2
n
n
n
n
n
n
sh b
B
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
=
+
⋅
+
(
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
ch b
b sh b
C
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
α
α
+
⋅
= −
−
⋅
−
(
)
2
n
n
n
n
n
n
ch b
D
a
a
sh 2
b
b
α
α
α
=
−
⋅
−
Zatem funkcja
(
)
1
2
,
F x x jest
całkowicie określona!
Jej zróżniczkowanie prowadzi do uzyskania naprężeń
11
22
12
,
,
σ σ σ
w dowolnym punkcie danego pasma tarczowego!
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
10
Najbardziej istotne, podobnie jak w belkach, są naprężenia
11
σ
:
2
11
2
2
F
x
σ
∂
=
∂
( )
1
1
...
cos
n
n
x
α
∞
=
=
⋅
∑
gdzie:
( )
2
2
2
2
...
2
n
n
n
n
n
n
n
A ch x
B ch x
x
B sh x
α
α
α
α
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
C
sh x
D
sh x
x
D ch x
α
α
α
α
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
( )
11
1
1
...
cos
n
n
x
σ
α
∞
=
=
⋅
∑
Zatem:
gdzie:
( ) (
)
(
)
2
2
2
2
2
2
...
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
A
B
ch x
x B sh x
C
D
sh x
x D ch x
α
α
α
α
α
α
=
+
⋅
+
⋅ ⋅
+
+
⋅
+
⋅ ⋅
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 9 • KMBiM WILiŚ PG
11
Szeregi te są na ogół wolnozbieżne (szczególnie dla
2
x
b
= ± ).
Drogą przekształceń można z nich otrzymać szeregi o lepszej
zbieżności:
(
)
11
2
x
b
σ
=
=
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
α
α
α
∞
∞
∞
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
+
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
oraz:
(
)
11
2
x
b
σ
= − =
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
x
a
a
c
x
a
a
d
x
α
α
α
∞
∞
∞
=
=
=
=
⋅
−
+
⋅ ⋅
−
−
⋅ ⋅
∑
∑
∑
gdzie:
2
2
n
n
n
n
b
c
sh 2
b
b
α
α
α
=
+
oraz:
2
2
n
n
n
n
b
d
sh 2
b
b
α
α
α
=
−
← nowe stałe!
( )
1
1
0
1
1
cos
2
n
n
n
a
x
p x
a
α
∞
=
=
−
∑
Poza tym, z założenia:
,
( )
1
1
0
1
1
cos
2
n
n
n
a
x
p x
a
α
∞
=
=
−
∑
;
n
n
l
π
α
=
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
34) TSiP 2010 11 ćw13
25) TSiP 2010 11 ćw07
35) TSiP 2010 11 ćw11
36) TSiP 2010 11 ćw12
24) TSiP 2010 11 ćw06
31) TSiP 2010 11 ćw10
29) TSiP 2010 11 ćw08
37) TSiP 2010 11 ćw14
34) TSiP 2010 11 ćw13
25) TSiP 2010 11 ćw07
więcej podobnych podstron