Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2006/2007 II kolokwium, semestr zimowy 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
U1 V1
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Znalez
ć wartości najmniejszą i największą na przedziale [ -4, 1 ] 1. Wyznaczyć przedziały, w których funkcja f ( x ) = sin4x + cos4x
funkcji jest jednocześnie rosnąca i wklęsła.
3x - 2
f ( x ) = ( x + 3 )3 e .
2. Oświetlenie punktowe jednostki powierzchni jest wprost proporcjonal-
ne do natę\
enia z
ródła światła i odwrotnie proporcjonalne do kwadratu
2. Napisać wzór Taylora w punkcie x0 = Ą z resztą Lagrange'a R2
odległości tego punktu od z
ródła. Znalez
ć punkt najsłabiej oświetlony
dla funkcji
na odcinku łączącym dwa z
ródła światła, je\
eli odległość między nimi
g ( x ) = x cos x.
wynosi 30 m, a natę\
enia ich promieniowania są do siebie w stosunku
27 : 8.
3. Obliczyć całkę
2x + 3
5x + 3
dx.
+"
3. Obliczyć całkę
dx.
( x - 1 )2 ( x2 + 4 ) +"
( 5x2 + 6x - 8 )3
4. Obliczyć pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego osią Ox,
4. Obliczyć wartość i podać interpretację geometryczną całki
prostymi x = 0, x = Ą oraz krzywą
3
3
x4 - 6x2 + 9 dx.
+"
y = sin 2x ecos x .
0
Zadanie dodatkowe. Zbadać, dla jakich wartości parametru p wykres
Zadanie dodatkowe. Stosując wzór na ró\
niczkę podać przybli\
oną war-
4
funkcji h ( x ) = x3 + px + 16 jest styczny do osi Ox.
tość wyra\
enia 6203 .
Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2006/2007 II kolokwium, semestr zimowy 2006/2007
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
W1 X1
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Zbadać przebieg zmnienności i naszkicować wykres funkcji
1. Napisać wzór Maclaurina z resztą Lagrange'a Rn dla funkcji
1
h ( x ) = e-3x .
f ( x ) = Ą + arctg x - arcctg x
2
2. Po zbadaniu monotoniczności funkcji g wybrać mniejszą z liczb
2. Z trójkątnej deseczki o bokach 3dm i 5dm nachylonych pod kątem
e2,73 , 2, 73e , je\
eli prostym, nale\
y wyciąć (dwoma cięciami) prostokąt o maksymalnym
xe polu. Podać wymiary tego prostokąta.
g ( x ) = .
ex
3. Obliczyć całkę
3. Obliczyć całkę
dx
4
+" sin 2x sin x .
dx .
+" 3x + 2x2
4 - x2
4. Obliczyć objętość bryły V powstałej po obrocie wokół osi Ox ob-
1
4. Krzywa � o równaniu y = 2 x3 dla 0 d" x d" 3 tworzy po obrocie
�
�
�
szaru ograniczonego prostymi x = -3, x = -1, y = 0 oraz krzywą
wokół osi Ox powierzchnię Łx . Obliczyć długość krzywej � oraz
Ł �
Ł �
Ł �
x + 3
y = .
1
objętość bryły Vx ograniczonej powierzchnią Łx i płaszczyzną x = 3 .
Ł
Ł
Ł
x2 + 6x + 13
Zadanie dodatkowe. Zbadać, dla jakich wartości parametru m wykres Zadanie dodatkowe. Stosując wzór na ró\
niczkę podać przybli\
oną wartość
3
funkcji f ( x ) = x3 + mx - 54 jest styczny do osi Ox.
wyra\
enia 2202 .