27. Twierdzenie Blocha
Kryształ przedstawiamy w postaci trzech niewspółliniowych wektorów, tworzących bazę
sieci krystalicznej (tzw. sieci Bravais'a). Kombinacje liniowe (na liczbach całkowitych) tych
wektorów pozwalają na odtworzenie całego kryształu.
ai - wektory sieciowe, dla i=1,2,3
Śą
Śą
" n1,n2,n3"$! wektor translacji sieciowej
R=n1 a1ƒÄ…n2 a2ƒÄ…n3a3
Śą Śą Śą
ęą Śą
T śą Rźą - operator translacji o wektor sieci krystalicznej.
2
ęą ęą
H =-! d ƒÄ…V śąr źą
Śą
2 m d r
Śą
Z uwagi na (dyskretną) symetrię translacyjną w krysztale, hamiltonian winien być
niezmienniczy ze względu na przesunięcia w sieci krystalicznej. Potencjał jest z definicji
niezmiennikiem:
ęą
V śą r ƒÄ…Śą ęą śą r źą
Rźą=V
Śą Śą
2 2
r
ęą ęą ęą
H śą rƒÄ…Śą Rźą=-! d d Śą ƒÄ…V śą rźą
Rźą=-! d ƒÄ…V śą rƒÄ…Śą
Śą Śą Śą
2m 2m d r
Śą
d śą rƒÄ…Śą d śąr ƒÄ…Śą
Rźą Rźą
Śą Śą
d r 1 1 1
Śą
= = = =1
Śą
1ƒÄ…0
d śą rƒÄ…Śą d śą rƒÄ…Śą d r d R
Rźą Rźą
Śą Śą Śą
ƒÄ…
d r d r
d Śą Śą Śą
r
2
d d r
-!2 Śą
ęą ęą ęą
ƒÄ…V śąr źą=-! d ƒÄ…V śą r źą=H śą r źą
Śą Śą Śą
Śą
2 m d r 2m d r
Śą Śą
d śą rƒÄ…Rźą
Śą
Zbadajmy oba operatory.
ęą Śą ęą ęą Śą ęą Śą
T śą Rźąśą H śą r źąµÄ…śą r źąźą=H śąrƒÄ… RźąµÄ…śą rƒÄ…Śą ęą śąr źąµÄ…śąr ƒÄ…Śą ęą śąT śą RźąµÄ… śąr źąźą
Rźą=H Rźą=H
Śą Śą Śą Śą Śą Śą Śą
ęą ęą
Śą
Jest to spełnione dla " R zatem [T , H ]=0
Operator translacji jest operatorem liniowym, zatem
ęą Śą ęą Śą Śą Śą
T śą R1źąT śą R2źąµÄ…śą r źą=µÄ…śą R1ƒÄ…R2ƒÄ…r źą
Śą Śą
ęą Śą Śą Śą Śą
T śą R1ƒÄ… R2źąµÄ…śąr źą=µÄ…śąR1ƒÄ…R2ƒÄ…r źą
Śą Śą
Zakładamy, że w krysztale w każdej komórce elementarnej jest identyczna gęstość
prawdopodobieństwa przebywania elektronu, zatem muszą nam się zgadzać kwadraty modułów
funkcji falowych w każdym punkcie kryształu odległego wektory translacji sieciowej.
f śąŚą źą f śąŚą
R Rźą
Śą
,
µÄ…*śąŚą r śą RƒÄ…Śąźą=µÄ…*śąŚąźą µÄ…śąŚąźą Ò! µÄ…śąŚą r śąŚąźą e #"e #"2=1
RƒÄ…ŚąźąµÄ… r r r RƒÄ…Śąźą=µÄ… r
Zatem
Śą Śą Śą Śą
f śąR1ƒÄ… R2źą
Śą Śą Śą Śą
µÄ…śąŚąźąe =µÄ…śąŚąźąef śąR1źąƒÄ… f śąR2 źą , czyli f śąR1ƒÄ…R2źą= f śą R1źąƒÄ… f śą R2źą
r r
Równanie spełnia jedynie funkcja liniowa:
f śąŚąźą=Śą r
r kÅ"Śą
Śą
Powyższe warunki są spełnione dla " R , więc funkcja falowa w krysztale jest postaci:
Śą
Śą
uk śąr źą=uk śą rƒÄ…Śą
Rźą
µÄ…śąŚąźą=ukśąŚąźąekÅ"r , gdzie Śą Śą
r r