Arytmetyka Komputerowa
Arytmetyka Komputerowa
podstawy dzia ania
uk adów cyfrowych
Idea dzia ania
Idea funkcjonowania uk adów cyfrowych oparta jest na
za eniu, e wszelka informacja i wszelkie wielko ci
przetwarzane przez te uk ady reprezentowane s
przez dwa stany.
Stany te mo emy umownie nazywa zerem (0) i jedynk
(1) lub stanem niskim (L) i wysokim (H). Tak
przedstawion informacj lub wielko ci nazywamy
dyskretnymi, w przeciwie stwie do informacji
lub wielko ci analogowych, które reprezentowane s
przez bardzo wiele po onych blisko siebie stanów.
Okaza o si , ze informacja dyskretna, czyli informacja
w postaci cyfrowej (dwójkowej, binarnej),
ma w zastosowaniach elektronicznych bardzo istotne
zalety.
Poziomy logiczne
Poziomy logiczne dla wej cia i wyj cia
Ka da informacja przechowywana w komputerze lub
wyst puj ca w dzia aniach wykonywanych za pomoc komputera,
ona z cyfr, liter, rysunków, d wi ków itd., jest zapisywana
w postaci dwójkowej, zwanej te binarn , czyli za pomoc
dwóch cyfr 0 i 1. Najmniejsza porcja informacji przechowywanej w
komputerze, przyjmuj ca jedn z tych dwóch warto ci, nazywa si
bitem (od angielskiego okre lenia binary digit - cyfra dwójkowa).
Wi ksz jednostk informacji jest bajt, z ony z o miu bitów.
Jednostki pami ci:
bit (b): najmniejsza jednostka pami ci: 0 lub 1
bajt (B) 1B = 8 b
kilobajt (kB) 1kB = 1024B
megabajt (MB) 1MB = 1024 kB
gigabajt (GB) 1GB = 1024 MB
System dziesi tny
Jest to system, w którym ka da cyfra liczby oznacza ilo
jednostek okre lonych przez jej pozycj w liczbie. Pierwsza cyfra
z prawej strony liczby jest cyfr jedno ci, druga z prawej jest cyfr
dziesi tek, nast pna to cyfra setek itd. Dla przyk adu liczba 737
jest z ona z cyfr 7, 3 i 7 oznacza warto :
7·100+3·10+7 = 7 ·102+3·101+7·100
Mówimy w takim przypadku, e pierwsza cyfra 7 jest cyfr
setek (czyli liczb setek w danej liczbie), cyfra 3 jest cyfr
dziesi tek, a druga cyfra 7 - cyfr jedno ci. Opisany tutaj sposób
zapisu liczb nazywany jest systemem pozycyjnym dziesi tnym.
System ten nazywamy dziesi tnym, poniewa ywa dziesi ciu
cyfr, a jego podstaw jest 10, za pozycyjnym, gdy pozycja
cyfry w liczbie rozstrzyga, czy jest to liczba jednostek, dziesi tek,
setek...
System ten do zapisu liczb stosujemy wszystkie dziesi cyfr,
od 0 a po 9. Podstaw pot gi jak wida jest liczba 10.
DZIESI TNY SYSTEM LICZBOWY
DZIESI TNY SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
dziesi symboli (cyfr):
dziesi symboli (cyfr):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Dowoln liczb w systemie dziesi tnym mo emy
Dowoln liczb w systemie dziesi tnym mo emy
przedstawi jako nast puj ca sum :
przedstawi jako nast puj ca sum :
n 1
(an-1...a1a0)D = an-1*10(n-1) +...+ a1*101 + a0*100 =
(an-1...a1a0)D = an-1*10(n-1) +...+ a1*101 + a0*100 =
a 10i
i
i 0
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
ai - dowolna z cyfr od 0 do 9,
ai - dowolna z cyfr od 0 do 9,
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
Przyk ad:
Przyk ad:
424D = 4*102 + 2*101 + 5*100
424D = 4*102 + 2*101 + 5*100
pozycja jedynek (0)
pozycja jedynek (0)
pozycja dziesi tek (1)
pozycja dziesi tek (1)
pozycja setek (2)
pozycja setek (2)
System dwójkowy
W systemie dziesi tnym dysponujemy dziesi cioma cyframi do zapisania dowolnej
liczby bez znaku, w systemie dwójkowym musimy do tego celu u ywa jedynie dwóch
cyfr: 0 i 1. Jak ju wspomniano, obydwa systemy s pozycyjne, co oznacza, e cyfr na
danej pozycji mno y si przez okre lon wag . Dla systemu dwójkowego podstaw jest
liczba 2 (p = 2) i wagami s odpowiednie pot gi tej liczby. Kolejne pozycje liczby zwane
wi c pozycjami jedynek, dwójek, czwórek, ósemek i tak dalej. Zapis w systemie
dwójkowym, zwanym inaczej systemem binarnym, liczby 10100B
(litera B sygnalizuje liczb w systemie dwójkowym) oznacza:
10100B =1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*2° = 1*16+ 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 16+ 4 = 20D
PAMI TAJ, E 20=1 a NIE 0
1011100001B = 1·29+0·28+1·27+1·26+1·25+0·24+0·23+0·22+0·21+1·20 =
512+128+64+32+1 = 737
Zapisujemy w takim przypadku: (1011100001)2 = 737D.
DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY
DWÓJKOWY SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
dwa symbole (cyfry):
dwa symbole (cyfry):
0, 1
0, 1
Dowoln liczb w systemie dwójkowym mo emy
Dowoln liczb w systemie dwójkowym mo emy
przedstawi jako nast puj ca sum :
przedstawi jako nast puj ca sum :
n 1
(an-1...a1a0)B = an-1*2(n-1) +...+ a1*21 + a0*20 =
(an-1...a1a0)B = an-1*2(n-1) +...+ a1*21 + a0*20 =
a 2i
i
i 0
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
ai - dowolna z cyfr (0 lub 1),
ai - dowolna z cyfr (0 lub 1),
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
Przyk ad:
Przyk ad:
10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20
10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20
System szesnastkowy
Jest to system liczbowy, w którym za podstaw przyjmuje si liczb 16.  Cyframi w
tym systemie s kolejne cyfry dziesi tne: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oraz A, B, C, D, E i F.
Dziesi tna liczba 20 ma w tym systemie przedstawienie 14, gdy 20 = 1·161 + 4·160,
a 30 ma posta 1E, gdy 30 = 1·161 + E·160 .
HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)
HEKSADECYMALNY (SZESNASTKOWY)
SYSTEM LICZBOWY
SYSTEM LICZBOWY
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
Do zapisu dowolnej liczby system wykorzystuje
szesna cie symboli (cyfr i liter):
szesna cie symboli (cyfr i liter):
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Dowoln liczb w systemie heksadecymalnym
Dowoln liczb w systemie heksadecymalnym
mo emy przedstawi jako nast puj ca sum :n 1
mo emy przedstawi jako nast puj ca sum :
a 16i
i
(an-1...a1a0)H = an-1*16(n-1) +...+ a1*161 + a0*160 =
(an-1...a1a0)H = an-1*16(n-1) +...+ a1*161 + a0*160 =
i 0
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
gdzie: i - numer pozycji w liczbie,
ai - dowolna cyfra heksadecymalna,
ai - dowolna cyfra heksadecymalna,
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
n - ilo cyfr (pozycji) w liczbie
Przyk ad:
Przyk ad:
1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160
1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160
Komputer rozumie liczby
w systemie bitowym
" System bitowy  dwójkowy
Liczba zapisywana jest ci giem liczb: 1 lub 0
1 0 1 0 = 1*23 +0*22 + 1*21 +0*20 = 10
Bit  najmniejsza
jednostka danych
" System szesnastkowy
Podobnie jak wy ej, liczba zapisywana jest ci giem liczb: od 0 do 15 (0 do E)
00011110 = 0*27 + 0*26+ 0*25+ 1*24+ 1*23 +1*22 + 1*21 +0*20 = 30
1 E
Bajt  jednostka danych
" System dziesi tny
sk adaj ca si z 8 bitów
zapisany liczbami arabskimi
Jedn z metod konwersji liczby dziesi tnej na dwójkow poka na przyk adzie,
pomijaj c uzasadnienie jej poprawno ci. Metoda ta polega na wykonywaniu kolejnych
dziele ca kowitoliczbowych (wynik jest liczb ca kowit ) przez liczb 2, z zapisem
reszty. Rozpoczynamy od podzielenia liczby przeliczanej przez 2. Kolejne dzielenie
wykonujemy na liczbie b cej ilorazem (wynikiem) poprzedniego dzielenia.
Post powanie kontynuujemy a do momentu otrzymania jako wyniku 0. Reszty dziele
ustawione w odpowiedniej kolejno ci daj poszukiwan liczb binarn .
Dokona konwersji liczby 23D na liczb binarn .
23:2=11 r=1
11:2=5 r=1
Kierunek
5:2=2 r=1
odczytu
2:2=1 r=0
wyniku
1:2=0 r=1
23D =10111B
Konwersja liczby szesnastkowej na dziesi tn
[*]Mamy liczb szesnastkow np. 1A4B
[*]Bierzemy znak najbardziej wysuni w prawo (B)
[*]Mno ymy j przez 16 do pot gi odpowiadaj cej miejscu jej po enia w liczbie tj.
11*16^0=11 (Miejsca liczymy od prawej strony 1 miejsce odpowiada pot dze 0 drugie 1
trzecie 2 itd.)
[*]Post pujemy tak ze wszystkimi znakami w liczbie. 4*16^1=64, 10*16^2=2560,
1*16^3=4096
[*]Dodajemy otrzymane wyniki: 11+64+2560+4096=6731
[*]Liczba 1A4B w systemie szesnastkowym równa si 6731 w systemie dziesi tnym.
[/list:o]
Konwersja liczby dziesi tnej na szesnastkow
Teraz zajmiemy si odwróceniem liczby 6731 do systemu szesnastkowego.
[*]Wypisujemy wielokrotno ci liczby 16. S to 1, 16, 256, 4096, 65536, 1048576 itd.
[*]Szukamy przedzia u, w którym znajduje si nasza liczba. Jest ona wi ksza, od 4096
ale mniejsza od 65536
[*]Bierzemy pod uwag wielokrotno mniejsz , ale najbli sz naszej liczbie, wi c 4096.
[*]Jest ona czwart wielokrotno ci , wi c liczymy 4 znak naszej liczby.
[*]Teraz sprawdzamy ile razy najbli sza, mniejsza wielokrotno ci mie ci si w naszej
liczbie. Na oko wida tylko raz, wi c pierwsz liczb dzie 1.
[*]Szukamy odpowiednika liczby w systemie szesnastkowym. Odpowiednikiem 1 jest 1.
[*]Od naszej liczby odejmujemy warto , któr sprawdzali my pomno on przez cyfr ,
któr otrzymali my w systemie szesnastkowym (lecz bierzemy jej odpowiedniki w
systemie dziesi tnym). Wi c 6731-4096*1=2635.
[*]Powtarzamy punkty 2-7 dla uzyskania ca ej liczby.
Wi c:
256 < 2635 < 4096 2635:256=10 10=A 2635-256*10=75
16 < 75 < 256 75:16=4 4=4 75-16*4=11
1<11<16 11:1=11 11=B 11-1*11=09.
[*] czymy ostateczne wyniki w identycznej kolejno , w jakiej je otrzymali my, dlatego
nasza liczba wynosi: 1A4B[/list:o]
przekszta czenie liczby 2-kowej na 16-kow :
Mamy liczb dwójkow 1000111010100010 dzielimy j co cztery liczby na:
1000 1110 1010 0010 i zamieniamy na odpowiedniki szesnastkowe:
8 E A 2 - w systemie szesnastkowym to 8EA2.
Liczba Liczba
Cyfra hex Cyfra hex
binarna binarna
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 A 1010
3 0011 B 1011
4 0100 C 1100
5 0101 D 1101
6 0110 E 1110
7 0111 F 1111
Konwersja liczb dziesi tnych na szesnastkowe przy u yciu kalkulatora
[*] W cz kalkulator.
[*] Z menu widok wybierz pozycj "naukowy".
[*]Nast pnie wpisz liczb dziesi tn i wci nij okienko HEX.
[*] Otrzymujemy liczb w systemie szesnastkowym.
Je eli chcemy skonwertowa liczb z postaci szesnastkowej post pujemy na odwrót:
[*] Wpisujemy liczb szesnastkow .
[*] Naciskamy DEC.
[*] Otrzymujemy liczb w systemie dziesi tnym.
program
INFORMACJA CYFROWA
INFORMACJA CYFROWA
Def.1. Informacj
Def.1. Informacj cyfrow nazywamy informacj przedstawion w postaci s ów
cyfrow nazywamy informacj przedstawion w postaci s ów
cyfrowych
cyfrowych
Def.2. S owem cyfrowym nazywamy dowolny ci g sk adaj cy si
Def.2. S owem cyfrowym nazywamy dowolny ci g sk adaj cy si z symboli 0 i/lub 1
z symboli 0 i/lub 1
Oznaczenie
Nazwa
ugo owa
symboliczne
a0 bit
1
a3...a0 tetrada, k s
4
a7.....a0 bajt
8
a15.......a0 owo 16-bitowe, s owo
16
a31.........a0 podwójne s owo, dwus owo
32
a63...........a0 owo 64-bitowe, czteros owo
64
1b - oznacza 1 bit 1B=8b
1b - 1 bit 1B=8b
1B - oznacza 1 bajt 1kB=1024B (210)
1B - oznacza 1 bajt 1kB=1024B (210)
1MB=1024kB
1MB=1024kB
1GB=1024MB
1GB=1024MB
Przyk ad: 20 MB jest ilo ci informacji o miokrotnie wi ksz ni 20Mb
Przyk ad: 20 MB jest ilo ci informacji o miokrotnie wi ksz ni 20Mb
Systemy liczbowe
Przedstawiaj c liczb dziesi tn w
systemie binarnym lub heksadecymalnym
nale y pami ta , e w dalszym ci gu jest
to ta sama liczba lecz przedstawiona za
pomoc innego zestawu znaków.
Mo na wi c mówi o kodzie binarnym czy
te kodzie heksadecymalnym.
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
1.
1.
10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =
10100B = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =
= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20D
= 1*16 + 0*8 + 1*4 + 0*2 + 0*1 = 20D
2.
2.
20:2 = 10 reszta=0
20:2 = 10 reszta=0
10:2 = 5 reszta=0
10:2 = 5 reszta=0
5:2 = 2 reszta=1
5:2 = 2 reszta=1
2:2 = 1 reszta=0
2:2 = 1 reszta=0
1:2 = 0 reszta=1
1:2 = 0 reszta=1
czyli 20D = 10100B
czyli 20D = 10100B
kierunek odczytu wyniku
kierunek odczytu wyniku
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
1.
1.
1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160 =
1C2H = 1*162 + C*161 + 2*160 =
= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450D
= 1*256 + 12*16 + 2*1 = 450D
2.
2.
450:16 = 28 reszta=2
450:16 = 28 reszta=2
28:16 = 1 reszta=C
28:16 = 1 reszta=C
1:16 = 0 reszta=1
1:16 = 0 reszta=1
reszty zapisujemy w postaci
reszty zapisujemy w postaci
cyfry heksadecymalnej
cyfry heksadecymalnej
czyli 450D = 1C2H
czyli 450D = 1C2H
wyniku
wyniku
odczytu
odczytu
kierunek
kierunek
KONWERSJA LICZB
KONWERSJA LICZB
Do konwersji zapisu binarnego na heksadecymalny i odwrotnie
Do konwersji zapisu binarnego na heksadecymalny i odwrotnie
wykorzystuje si tabel :
wykorzystuje si tabel :
cyfra heksadecymalna liczba binarna liczba dziesi tna
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
A 1010 10
B 1011 11
C 1100 12
D 1101 13
E 1110 14
F 1111 15
Konwersja
Konwersja
Konwersja dwójkowo-szesnastkowa i szesnastkowo-dwójkowa
0 0000
1 0001
110101111011010101011101(2)
2 0010
3 0011
1101 0111 1011 0101 0101 1101(2)
4 0100
1101 0111 1011 0101 0101 1101
5 0101
6 0110
7 0111
D 7 B 5 5 D
8 1000
110101111011010101011101(2) = D7B55D(16)
9 1001
A 1010
D 7 B 5 5 D
B 1011
C 1100
D 1101
1101 0111 1011 0101 0101 1101
E 1110
D7B55G(16) = 111101010100000001(2)
F 1111